前言

本文根据《高等数学》第三版，及网上资料整理所得。

本文将介绍不定积分所有方法及应用，本文较长，可能会分几篇。内容主要为：有理函数积分、三角有理函数积分、换元法$+$分部积分等。读者可以根据自己薄弱项自行浏览观看。

有理分式积分

特点：$\int\frac{多项式}{多项式}dx$

在之前已经讲过有理分式积分方法，其通用方法是：裂项$+$待定系数。要想了解请参阅之前不定积分一章。

但是经过裂项这一步之后，会发现系数$A,B...$等系数很难解出。特别是二次质因式系数。所以这里有四种方法可以很快求出系数：

1. 极限法
2. 求导法
3. 特殊值法
4. 留数法

这里讲一个通用求解系数方法$——$留数法(其他方法实在找不到可供参考资料我也不会)。以下方法是留数法变形，由于留数法之前学过，但面对一些复杂有理分式，不用特殊方法，留数法并没有达到简化目的。所以这里对其进行简化。

1. 留数法求一次质因式系数

留数法本质是抵消掉多余项，通过等式两边相等取得系数。先看个例子：

$\Large 例:拆分\int\frac{8x+3}{(x+3)(2x-1)}dx$

网上关于留数法介绍十分繁华。但经过不断地摸索，以上就是简化后的方法：

1. 让所求系数分母${x_n}$等于$0$求出$x$
2. 右边原式$f(x)$消去系数相同分母${x_n}$，再代入$x$

当然，这只是简单的一次质因式。更难得二次质因式需要单独介绍。

2. 留数法求二次质因式系数

先看例子：

$\Large 例:拆分\int\frac{2x^2-x-1}{(x+1)(x^2+3x+1)}dx$

但另一部分$B$，就不再那么简单了。先列出方法：

1. 分子分母低次项系数十字相乘相加$=$原式分子低次项系数。
2. 分子分母高次项系数十字相乘相加$=$原式分子高次项前系数。

接着解$B$的系数：

该方法确实可以简化待定系数求法，但建议二次质因式中多做题，熟练之后用。不然如果忘记哪个系数和哪个系数相乘就玩砸了。

3. 拆分成三项有理分式系数

第三种关键是找特殊值。

$\Large 例:\frac{2x^2+17x-16}{(x+3)(2x-1)^2}$

以上就是常见有理分式求系数方法。关于更高阶质因式平时很难遇到，这里也不做讨论。

4. 特殊值法

有的多项式可以通过特殊值求系数

$\Large 例:\frac{4x^2-6x-1}{(x+1)(2x-1)^2}$