一. 有理分式的列项1. 分母分解因式后有一次 $k$ 重因式2. 分母因式分解后有二次质因式3. 综合二. 不定积分1. 判断下列等式是否正确题型2. 判断函数的同一原函数3. 抽象函数凑微分4. 扩展积分表三. 三角有理式积分四. 直接积分法五. 凑微分1. 凑微分的使用2. 二次三项式积分3. 带根式的积分六. 分部积分1. 分部积分简化求法2. 积分再现

一. 有理分式的列项

$\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}$ ：

$(n<m)$
$(n\ge m)$

$\xrightarrow{多项式除法}$ $+$ 有理真分式

以下为有理真分式分解：

$k$ 重¹因式

方法：

\begin{array}{r} \frac{P_{n} (x)}{(x - a)^{k}} {\begin{array}{c} k = 1, & \frac{P_{n} (x)}{x - a} \overset{设 为 ：}{\to} \frac{A}{x - a} \\ k = 2, & \frac{P_{n} (x)}{(x - a)^{2}} \overset{设 为 ：}{\to} \frac{A}{x - a} + \frac{B}{(x - a)^{2}} \\ k = 3, & \frac{P_{n} (x)}{(x - a)^{3}} \overset{设 为 ：}{\to} \frac{A}{x - a} + \frac{B}{(x - a)^{2}} + \frac{C}{(x - a)^{3}} \\ k = k, & \frac{P_{n} (x)}{(x - a)^{k}} \overset{设 为 ：}{\to} \frac{A}{x - a} + \frac{B}{(x - a)^{2}} + . . . + \frac{k}{(x - a)^{k}} \end{array} \end{array}

总结：几重列出几项，次数分子比分母低一次

$\Large 例:分解因式\frac{4x^2+9x-17}{(x-1)(x-3)^2}$

\begin{aligned} 解 ： \\ 观 察 原 式 可 知 分 母 为 一 个 一 次 一 重 因 式 和 一 个 一 次 二 重 因 式 构 成 \\ 原 式 = \frac{A}{x - 1} + [\frac{B}{x - 3} + \frac{C}{(x - 3)^{2}}] \\ \overset{通 分}{\to} \frac{A (x - 3)^{2} + B (x - 1) (x - 3) + c (x - 1)}{(x - 1) (x - 3)^{2}} \\ \overset{合 并}{\to} \frac{A x^{2} - 6 A x + 9 A + B x^{2} - 4 B x + 3 B + C x - C}{(x - 1) (x - 3)^{2}} \\ = \frac{(A + B) x^{2} + (C - 6 A - 4 B) x + (9 A + 3 B - C)}{(x - 1) (x - 3)^{2}} \\ 由 等 式 两 边 系 数 等 式 代 换 {\begin{array}{c} A + B = 4 \\ C - 6 A - 4 B = 9 \\ 9 A + 3 B - C = - 17 \end{array} ⟹ {\begin{array}{c} A = - 1 \\ B = 5 \\ C = 23 \end{array} \end{aligned}

2. 分母因式分解后有二次质因式

$\frac{P_{n}(x)}{(x^2+px+q)^k}(\Delta=p^2-4q<0)$

二次因式：

$\Delta<0$ )
$\Delta>0$ $x^2-x-2=(x+1)(x-2)$

\begin{aligned} \frac{P_{n} (x)}{(x^{2} + p x + q)^{k}} {\begin{array}{c} k = 1, & \frac{P_{n} (x)}{(x^{2} + p n + 1)^{1}} = \frac{A x + B}{x^{2} + p x + q} \\ k = 2, & \frac{P_{n} (x)}{(x^{2} + p x + q)^{2}} = \frac{A x + B}{x^{2} + p x + q} + \frac{C x + D}{(x^{2} + p x + q)^{2}} \\ k = k, & \frac{P_{n} (x)}{(x^{2} + p x + q)^{k}} = \frac{A x + B}{x^{2} + p x + q} + \frac{C x + D}{(x^{2} + p x + q)^{2}} + . . . + \frac{y x + z}{(x^{2} + p x + q)^{k}} \end{array} \end{aligned}

总结：几重列出几项，次数分子比分母低一次

$\Large 例1:分解\frac{1}{x^4-1}$

\begin{aligned} 解 ： \\ \frac{1}{x^{4} - 1} = \frac{1}{(x^{2} + 1) (x^{2} - 1)} = \frac{1}{(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)} \\ 通 过 观 察 上 式 可 知 : (x^{2} + 1) 为 二 次 一 重 质 因 式, (x + 1) 与 (x - 1) 为 一 次 一 重 因 式 \\ 原 式 = \frac{A x + B}{x^{2} + 1} + (\frac{C}{x + 1} + \frac{D}{x - 1}) \\ \overset{通 分}{\to} \frac{(A x + B) (x + 1) (x - 1) + C (x^{2} + 1) (x - 1) + D (x^{2} + 1) (x + 1)}{(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)} \\ \overset{合 并 同 类 项}{\to} \frac{(A + C + D) x^{2} + (B - C + D) x^{2} + (C - A + D) x + (D - B - C)}{(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)} \\ {\begin{array}{c} A + C + D = 0 \\ B - C + D = 0 \\ C - A + D = 0 \\ D - B - C = 1 \end{array} ⟹ {\begin{array}{c} A = & 0 \\ B = & - \frac{1}{2} \\ C = & - \frac{1}{4} \\ D = & \frac{1}{4} \end{array} \\ 从 而 原 式 = \frac{A x + B}{x^{2} + 1} + (\frac{C}{x + 1} + \frac{D}{x - 1}) = \frac{- \frac{1}{2}}{x^{2} + 1} + \frac{- \frac{1}{4}}{x + 1} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 1} \end{aligned}

$\large 例2:分解因式\frac{1+2x^2}{x^2(1+x^2)}$

\begin{aligned} 解 ： \\ 观 察 原 式 可 知 分 母 都 为 二 重 质 因 式 \\ 原 式 = \frac{A x + B}{x^{2}} + \frac{C x + D}{1 + x^{2}} \\ \overset{通 分}{\to} \frac{(A x + B) (1 + x^{2}) + (C x + D)}{x^{2} (1 + x^{2})} = \frac{A x + A x^{3} + B + B x^{2} + C x^{3} + D x^{2}}{x^{2} (1 + x^{2})} \\ \overset{合 并 同 类 项}{\to} \frac{(A + C) x^{3} + (B + D) x^{2} + A x + B}{x^{2} (1 + x^{2})} \\ {\begin{array}{c} A + C = 0 \\ B + D = 2 \\ A = 0 \\ B = 1 \end{array} ⟹ {\begin{array}{c} A = & 0 \\ B = & 1 \\ C = & 0 \\ D = & 1 \end{array} \\ 原 式 = \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{1 + x^{2}} \end{aligned}

3. 综合

$\Large 例1:\frac{1}{(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)}$

\begin{aligned} 解 ： \\ 原 式 = \frac{A x + B}{x^{2} + a x + b} + \frac{C x + D}{x^{2} + c x + d} \end{aligned}

$\Large 例2:\frac{1}{(x+a)(x^2+bx+c)^2}$

\begin{aligned} 解 ： \\ 原 式 = \frac{A}{x + a} + [\frac{B x + C}{x^{2} + b x + c} + \frac{D x + E}{(x^{2} + b x + c)^{2}}] \end{aligned}

$\Large 例3:\frac{1}{(x+a)^2(x^2+bx+c)^2}$

\begin{aligned} 解 ： \\ 原 式 = [\frac{A}{x + a} + \frac{B}{(x + a)^{2}}] + [\frac{C x + D}{x^{2} + b x + c} + \frac{E x + F}{(x^{2} + b x + c)^{2}}] \end{aligned}

注意：分子和分母相差较大时，用倒代换或者换元。

$\Large 例4:分解因式\frac{1}{x^6+x^4}$

\begin{aligned} 解 ： \\ 原 式 = \frac{1}{x^{4} (x^{2} + 1)} \\ 令 t = x^{2}, 原 式 = \frac{1}{t^{2} (t + 1)} \\ 由 此 可 知 分 母 是 一 个 二 次 一 重 质 因 式 和 一 重 质 因 式 \\ ∴ & 原 式 = (\frac{A}{t} + \frac{B}{t^{2}}) + \frac{C}{t + 1} \\ = \frac{A t (t + 1) + B (t + 1) + C t^{2}}{t^{2} (t + 1)} \\ = \frac{A t^{2} + A t + B t + B + C t^{2}}{t^{2} (t + 1)} \\ \overset{合 并 同 类 项}{\to} \frac{(A + C) t^{2} + (A + B) t + B}{t^{2} (t + 1)} \\ {\begin{array}{c} A + C = 0 \\ A + B = 0 \\ B = 1 \end{array} ⟹ {\begin{array}{c} A = - 1 \\ B = 1 \\ C = 1 \end{array} \\ 原 式 = \frac{- 1}{t} + \frac{1}{t^{2}} + \frac{1}{t + 1} \\ \overset{t 换 为 x}{\to} \frac{- 1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2} + 1} \end{aligned}

二. 不定积分

1. 判断下列等式是否正确题型

注意：

$+C$
$dx$
$\frac{dy}{dx}$ )结果无特殊项

以上以等式最后运算为准

$\Large 例:等式正确的一项为：A.d\int df(x)=f'(x)+C\quad B.d\int df(x)=f(x)+C\\\Large C.\int f'(x)dx=f(x)+C\quad D.\int df(x)=f(x)$

\begin{aligned} 解 ： \\ A 项 最 后 运 算 为 微 分 ， 所 以 后 面 要 加 d x \\ B 项 最 后 运 算 为 微 分 ， 后 面 也 要 加 d x \\ C 项 最 后 运 算 为 积 分 ， 后 面 加 C ， 正 确 \\ D 项 最 后 运 算 为 积 分 ， 后 面 加 C \end{aligned}

2. 判断函数的同一原函数

我们只需要对两个函数求导，看求导结果是否相同即可。

同一原函数的导数相等。

$\Large 例:设函数f(x),g(x)均可微,且同为某函数的原函数,f(1)=3,g(1)=1\\\Large则求f(x)-g(x)$

\begin{aligned} 解 ： \\ 由 于 F (x) 和 g (x) 均 可 微, 且 同 为 某 函 数 的 原 函 数 \\ 则 f^{'} (x) = g^{'} (x) ⟹ \int f^{'} (x) d x = \int g^{'} (x) d x \\ 可 得 f (x) + c = g (x) + c ⟹ f (x) - g (x) = c \\ 由 于 f (1) = 3, g (1) = 1, 可 知 f (1) - g (1) = 2 \\ ∴ & c = 2 ， 则 f (x) - g (x) = 2 \end{aligned}

3. 抽象函数凑微分

指的是积分中含有抽象函数的导数

情况：

$d$ 后(凑微分)。
如果导数有两阶导数，那么就需要凑微分后再分部积分(具体用不用看情况)

$\Large 例:如果f(x)的一个原函数是xlnx,求\int x^2f''(x)dx结果$

\begin{aligned} 解 ： \\ 由 题 可 知 f (x) 的 一 个 原 函 数 是 x l n x \\ 从 而 可 知 ： \int f (x) d x = x l n x ⟹ f (x) = l n x + 1 ⟹ f^{'} (x) = \frac{1}{x} \\ \int x^{2} f^{″} (x) d x = \int x^{2} d (f^{'} (x)) \\ = & x^{2} f^{'} (x) - \int f^{'} (x) d x^{2} \\ = & x^{2} \cdot \frac{1}{x} - \int \frac{1}{x} \cdot 2 x d x \\ = & x - 2 x + c = c - x \\ 方 法 二 ： & 或 者 也 可 以 对 积 分 求 两 次 导 数 后 代 入 \end{aligned}

4. 扩展积分表

扩展积分表：

扩展积分(三角函数)：

扩展积分表(三角函数2)：

三. 三角有理式积分

$f(sinx,cosx)$ $\frac{sinx}{1+cosx}$ $\frac{x+sinx}{1+cosx}$ 则不是

改方法较为复杂，所以用在最后没其他方法时使用。

步骤：

$\Large tan\frac{x}{2}=t,则sinx=\frac{2t}{1+t^2},cosx=\frac{1-t^2}{1+t^2},dx=\frac{2}{1+t^2}dt$
目的：把三角有理式转换为有理分式。有理分式分为两种:
$+$ 有理真分式
$ln$ $\int\frac{1}{\Delta}d\Delta$ $arc$ $\int\frac{1}{1+\Delta^2}d\Delta$

$\Large 例:求\int \frac{cosx}{1+cosx}dx$

\begin{aligned} 解 ： \\ 令 c o s x = \frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}}, t = t a n \frac{x}{2}, d x = \frac{2}{1 + t^{2}} d t \\ 原 式 = & \int \frac{\frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}}}{1 + \frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}}} \cdot \frac{2}{1 + t^{2}} d t \\ = & \int \frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}} d t = - \int 1 - \frac{2}{1 + t^{2}} d t \\ = & - (t - 2 a r c t a n t) + c \\ \overset{还 原}{\to} & - (t a n \frac{x}{2} - x) + c \end{aligned}

$\Large 例:求积分\int\frac{1}{3+cos^2x}$

\begin{aligned} 解 ： \\ 原 式 = & \int \frac{\frac{1}{c o s^{x}}}{\frac{3 + c o s^{2} x}{c o s^{2} x}} d x = \int \frac{s e c^{2} x}{3 s e c^{2} x + 1} d x \\ = & \int \frac{s e c^{2} x}{3 (t a n^{2} x) + 1} = \int \frac{s e c^{2} x}{4 + 3 t a n^{2} x} d x \\ = & \frac{1}{\sqrt{3}} \int \frac{1}{2^{2} + (\sqrt{3} + t a n x)^{2}} d (\sqrt{3} \cdot t a n x) \\ = & \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{2} a r c t a n \frac{\sqrt{3} + t a n x}{2} + c \\ = & \frac{\sqrt{3}}{6} a r c t a n (\frac{\sqrt{3}}{2} t a n x) + c \end{aligned}

四. 直接积分法

三角函数积分：
$sin^2x,cos^2x$ 用降幂
$tan^2x,cot^2x$ 倒三角平方和
$sec^2x,csc^2x$ 直接用公式

$\Large 例1:\int\frac{1}{sin^2xcos^2x}$

\begin{aligned} 解 ： \\ 原 式 = & \int \frac{s i n^{2} x + c o s^{2} x}{s i n^{2} x c o s^{2} x} = \int \frac{1}{c o s^{2} x} d x + \int \frac{1}{s i n^{2} x} d x \\ = & \int s e c^{2} x d x + \int c s c^{2} x d x \\ = t a n x - c o t x + c \end{aligned}

$\Large 例2:\int\frac{x^4}{1+x^2}$

\begin{aligned} 解 ： \\ 原 式 = & \int \frac{x^{4} - 1 + 1}{1 + x^{2}} d x = \int \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} - 1)}{1 + x^{2}} + \frac{1}{1 + x^{2}} d x \\ = & \frac{1}{3} x^{3} - x + a r c t a n x + c \end{aligned}

也可以用多项式除法：

$x^2-1+\frac{1}{x^2+1}$
$商+\frac{1}{被除数}$

五. 凑微分

1. 凑微分的使用

$d$ $d$ $\Delta$ 。方法：直接凑。

情况2：被积函数中一部分导数是另一部分(或另一部分倍数)。方法：凑两部分中较为复杂函数的主要部分。

$\int(x-1)e^{x^2-2x}dx中(x^2-2x)是(x-1)倍数,我们凑复杂函数e^{x^2-2x}的主要部分x^2-2x$

$\Large 例：求\int\frac{1}{(x+a)(x-a)}dx$

\begin{aligned} 解 ： \\ 原 式 = & - \frac{1}{2 a} \int \frac{1}{x + a} - \frac{1}{x - a} d x \\ = & - \frac{1}{2 a} [\int \frac{1}{x + a} d (x + a) - \int \frac{1}{x - a} d (x - a)] \\ = & - \frac{1}{2 a} [l n | x + a | - l n | x - a |] + c \\ = & \frac{1}{2 a} l n | \frac{x - a}{x + a} | + c \end{aligned}

2. 二次三项式积分

$ax^2+bx+c$ 这种类型的我们称之为，二次三项式。

方法：

$\ln\Delta$ 的积分公式
$arctan\Delta$ 积分公式

$\Large 例：\int\frac{1}{x^2-4x+3}dx$

\begin{aligned} 解 ： \\ 原 式 = & \int \frac{1}{(x - 2)^{2} + 4} d x \\ = & \int \frac{1}{2^{2} + (x - 2)^{2}} d (x - 2) \\ = & \frac{1}{2} a r c t a n (\frac{x - 2}{2}) + c \end{aligned}

3. 带根式的积分

一般为带根式的分式积分

方法：

简单根式：
$\sqrt[n]{ax+b}$ $t=\sqrt{ax+b}$
$\sqrt[n]{ax+b}$ $\sqrt[m]{ax+b}$ $u=\sqrt[t]{ax+b}(t为m,n最小公倍数)$
复杂根式
$\sqrt{a^2+x^2}:令x=atant$
$\sqrt{a^2-x^2},令=xasint$
$\sqrt{x^2-a^2},令x=asect$

$\Large 例1：求\int\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}$

\begin{aligned} 解 ： \\ 令 x = a s i n t ⟹ \sqrt{a^{2} - a^{2} s i n^{2} t} = a \sqrt{1 - s i n^{2} t} = a \sqrt{c o s^{2} t} = a c o s t \\ d x = d a s i n t = a c s o s t d t \\ = \int \frac{1}{a c o s t} \cdot a c o s t d t = t + c = a r c s i n \frac{x}{a} + c \end{aligned}

$\Large 例2:\int\frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx(a>0)$

\begin{aligned} 解 ： \\ 令 x = a t a n t ⟹ \sqrt{(a + t a n t)^{2} + a^{2}} = a \sqrt{t a n^{2} t + 1} = a \sqrt{s e c^{2} t} = a s e c t \\ d x = d a t a n t = a s e c^{2} t d t \\ 原 积 分 = \int \frac{1}{a s e c t} \cdot a s e c^{2} t d t = \int s e c t d t \\ = \int s e c t \cdot \frac{s e c t + t a n t}{s e c t + t a n t} d t = \int (s e c^{2} t + s e c t \cdot t a n t) \cdot \frac{1}{s e c t + t a n t} d t \\ = \int \frac{1}{s e c t + t a n t} d (s e c t + t a n t) \\ = l n | s e c t + t a n t | + c \\ = l n | \frac{x + \sqrt{a^{2} + x^{2}}}{a} | + c \end{aligned}

六. 分部积分

1. 分部积分简化求法

条件：只适用于幂在前得情况，即：幂函数²和三角函数、幂函数和指数函数²搭配情况下可以使用。

步骤：

$/$ 指数函数求积分，直到幂函数为零
对每次求导得结果斜线相乘，中间符号为一正一负

$\Large 例1：\int x^3sinxdx$

\begin{aligned} 方 法 一 ： \\ 原 积 分 = & - \int x^{3} d c o s x \\ = & - (x^{3} c o s x - \int c o s x d x^{3}) \\ = & - x^{3} c o s x + 3 \int c o s x \cdot x^{2} d x \\ = & - x^{3} c o s x + 3 \int x^{2} d s i n x \\ = & x^{3} c o s x + 3 [x^{2} s i n x - \int s i n x d x^{2}] \\ = & - x^{3} c o s x + 3 x^{2} s i n x - 6 \int x s i n x d x \\ = & - x^{3} c o s x + 3 x^{2} s i n x + 6 \int x d c o s x \\ = & - x^{3} c o s x + 3 x^{2} s i n x + 6 [x c o s x - \int c o s x d x] \\ = & - x^{3} c o s x + 3 x^{2} s i n x + 6 x c o s x - 6 s i n x + c \\ 方 法 二 ： \end{aligned}

简化分部积分求法：

$\Large 例2：\int e^{\sqrt{x+1}}dx$

\begin{aligned} 方 法 一 ： \\ 令 \sqrt{x + 1} = t, 则 x = t^{2} + 1, d x = d (t^{2} + 1) = 2 t d t \\ 原 式 = & \int e^{t} \cdot 2 t d t \overset{使 用 简 化 分 部 积 分 法}{\to} 2 (t e^{t} - e^{t}) + c \\ = & 2 (\sqrt{x + 1} e^{\sqrt{x + 1}} - e^{\sqrt{x + 1}}) + c \end{aligned}

2. 积分再现

出现条件：三指型积分，也只有再三指型积分会出现这种现象。

$\Large 例：\int e^xsinxdx$

\begin{aligned} 解 ： \\ 原 式 = & \int s i n x d e^{x} \\ = & e^{x} s i n x - \int e^{x} d s i n x \\ = & e^{x} s i n x - \int e^{x} c o s x d x \\ = & e^{x} s i n x - \int c o s x d e^{x} \\ = & e^{x} s i n x - e^{x} c o s x + \int e^{x} d c o s x \\ = & e^{x} s i n x - e^{x} c o s x - \int e^{x} s i n x d x \\ 此 时 发 生 积 分 再 现 情 况 ： \\ \int e^{x} s i n x d x = e^{x} s i n x - e^{x} c o s x - \int e^{x} s i n x d x \\ = & \frac{e^{x} s i n x - e^{x} c o s x}{2} + c \end{aligned}

$\Large 例：\int x^3cosx^2dx$

\begin{aligned} 解 ： \\ 原 式 = & \int x^{2} \cdot x \cdot c o s x^{2} d x = \frac{1}{2} \int x^{2} c o s x^{2} d x^{2} \\ = & \frac{1}{2} [\int x^{2} d s i n x^{2}] = \frac{2}{2} [x^{2} s i n x^{2} - \int s i n x^{2} d x^{2}] \\ = & \frac{1}{2} (x^{2} s i n x^{2} + c o s x^{2}) + c \end{aligned}

(x - a)^{k}

$(x-a)^k$ 这里一次

k

$k$ 是重数，指有几个一模一样的跟。 ↩

2 按照反、对、幂、三、指，即原式必须要为：

幂 函 数 \cdot 三 角 函 数 / 指 数 函 数

$幂函数·三角函数/指数函数$ 的形式。 ↩ ↩