前言

本文根据《高等数学》第三版，及网上资料整理所得。

本文将介绍不定积分所有方法及应用，本文较长，可能会分几篇。内容主要为：有理函数积分、三角有理函数积分、换元法$+$分部积分等。读者可以根据自己薄弱项自行浏览观看。

三角有理函数积分

三角有理式：纯三角函数与常数组成的函数式，记作$f(sinx,cosx)$。如：$\frac{sinx}{1+cosx}$，而$\frac{x+sinx}{1+cosx}$则不是。

所有的三角有理函数积分我们都可以通过$(令\tan\frac{x}{2}=t)$的方法将三角函数转换为有理分式形式。要想了解请参阅之前不定积分-三角有理式积分一章。但用过的都知道这种方法有时候很麻烦，如：有的时候$\sin x和\cos x$次方太高$(超过二次)$，这时计算量就很大。所以这里再介绍几种方法。

1. 缩分母

分母为：$1\pm\sin x$或$1\pm\cos x$、$\sin x\pm\cos x$与$\cos x\pm\sin x$同下。

方法：分子分母可以同时乘以$1\mp\sin x$或$1\mp\cos x$，这样做的目的是让分母从两项变为一项。这就是"缩分母"。我们也可以利用二倍角公式：$1+\cos x=2\cos^2\frac{x}{2}$也能将分母变为一项。

$\Large 例1:求\int\frac{1}{1+\cos x}dx$

$\Large 例2:求\int\frac{\cos x}{\sin x+\cos x}dx$

2. 化为有理函数

使用条件：函数$f(\sin x,\cos x)$，我们将其中$\cos x$变为$-\cos x$，满足$f(\sin x,-\cos x)=-f(\sin x,\cos x)$，那么我们可以使用。

方法：直接$d\sin x$，之后将$\sin x$看作整体，令其为$t$，此时积分可以化为有利分式积分。

$\Large 例:求\int\frac{\cos^3x-2\cos x}{1+\sin^2x+\sin^4x}dx$

同理，我们将$\sin x=-\sin x$代入积分也同样适用。此时$d\cos x$。

3. 化为有理分式2

使用条件：函数$f(\sin x,\cos x)$，我们将其中$\cos x$和$\sin x$变为$-\cos x$与$-\sin x$，满足$f(-\sin x,-\cos x)=f(\sin x,\cos x)$，此时满足这种情况

方法：凑成$d\tan x$，再将$\tan x$看为整体，令其为$t$。

经过我们前面联系，发现做题的时候有很多题是分子分母同时除以$\cos x$或$\cos^2x$，这是因为这样会出现$\sec^2 x$，方便$d\tan x$。

$\Large 例1:求\int\frac{1}{(3\sin x+2\cos x)^2}dx$

$\Large 例2:\int\frac{1}{a^2\sin^2x+b^2\cos^2x}dx$

3. 降幂公式简化积分

在做题过程中合理运用降幂公式可以简化积分，特别是对于多个三角函数相乘形式。

对于$\int\sin^mx·\cos^nxdx$，我们有以下规律：

1. 当$m,n$中至少有一个奇数时，我们用凑微分。

2. 若$m,n$均为偶数，则用降幂和二倍角公式。

   $\sin^2x=\frac{1-\cos2x}{2}$

   $\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin2x$

$\Large 例1:\int\sin^4x\cos^3xdx$

$\Large 例2:\int\sin^4x\cos^2xdx$

结尾思考

以上方法我们掌握后就能解决大部分不定积分问题。

对于分部积分$+$积分重现题目，我们可以算出以下三角函数积分：

对于$\int\sin^nxdx和\int\cos^nxdx$我们可以用华里士公式解决。