十三. 微分学与积分学应用

1. 一元函数微分学应用

1.1 物理应用

已知质点运动的位移$s$$s$关于时间$t$$t$的函数$s=s(t)$$s=s(t)$，称它为质点的运动方程(位移方程)，则其速度为$v=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}=s^{\prime }(t)$$v=\lim_\limits{\Delta t\to0}\frac{\Delta s}{\Delta t}=s'(t)$

其加速度为$a(t)=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}=v^{\prime }(t)=s^{″}(t)$$a(t)=\lim_\limits{\Delta t\to0}\frac{\Delta v}{\Delta t}=v'(t)=s''(t)$

常用关系式：$v=\frac{ds}{dt}$$v=\frac{ds}{dt}$，$a=\frac{dv}{dt}$$a=\frac{dv}{dt}$，$a=\frac{dv}{ds}\frac{ds}{dt}=v·\frac{dv}{ds}$$a=\frac{dv}{ds}\frac{ds}{dt}=v·\frac{dv}{ds}$

1.2 相关变化率

若函数$y=f(x),\text{且}x=x(t),y=y(t)$$y=f(x),且x=x(t),y=y(t)$均可导，则$\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}\frac{dx}{dt}=f^{\prime }(x)\frac{dx}{dt}$$\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}\frac{dx}{dt}=f'(x)\frac{dx}{dt}$，上式中，$\frac{dy}{dt}$$\frac{dy}{dt}$与$\frac{dx}{dt}$$\frac{dx}{dt}$由$f^{\prime }(x)$$f'(x)$联系在一起，称这种相互关系关联的变化率为相关变化率

$\text{例}:$$\Large 例:$已知动点$P$$P$在曲线$y=x^3$$y=x^3$上运动，记坐标原点与点$P$$P$间的距离为$l$$l$，若点$P$$P$的横坐标队时间的变化率为常数$v_0$$v_0$，则当点$P$$P$运动到点$(1,1)$$(1,1)$时，$l$$l$对时间的变化率是多少

1.3 几何应用

设$y(x)$$y(x)$二阶可导，则曲线$y=y(x)$$y=y(x)$在其上点$(x,y(x))$$(x,y(x))$处的曲率公式为

曲率半径计算公式

2. 一元函数积分学应用

2.1 变力沿直线做功

设方向沿$x$$x$轴正向的力函数为$F(x)(a\le x\le b)$$F(x)(a\le x\le b)$，则物体沿$x$$x$轴从点$a$$a$移动到点$b$$b$时，变力$F(x)$$F(x)$所做的功为

功的微元$dW=F(x)dx$$dW=F(x)dx$

变力沿直线做工：

注意：力关于位移的定积分就是功

$\text{例}:$$\Large 例:$设地球质量为$M$$M$，半径为$R$$R$，将地面上的质量为$m$$m$的物体举高$H$$H$米，求克服重力所作的功

做功例题：

2.2 抽水做功

如下图所示，将容器中的水全部抽出所做的功为

其中$\rho$$\rho$为水的密度，$g$$g$为重力加速度。功的微元$dW=\rho gxA(x)dx$$dW=\rho gxA(x)dx$为位于$x$$x$处厚度为$dx$$dx$，水平截面面积为$A(x)$$A(x)$的一层水被抽出(路程为$x$$x$)所做的功。

抽水所做的功：

注：抽水所做的功特点：力(重力)不变，路程在变，求解这类问题关键是确定$x$$x$处水平截面面积$A(x)$$A(x)$，其余的量都是固定的。

$\text{例}:$$\Large 例:$有一倒圆锥形容器，高$10m$$10m$，上底半径$4m$$4m$，水面高$8m$$8m$，求将容器中的水全部从容器顶部抽出所做的功(水的密度为$1000kg/m^3$$1000kg/m^3$，重力加速度$g$$g$为$9.8m/s^2$$9.8m/s^2$)

抽水所做的功例题：

2.3 水压力

垂直浸没在水中的平板$ABCD$$ABCD$的一侧收到水压力为

其中$\rho$$\rho$为水的密度，$g$$g$为重力加速度。压力微元$dP=\rho gx[f(x)-h(x)]dx$$dP=\rho gx[f(x)-h(x)]dx$，即图中矩形条所受到的压力，$x$$x$表示水深。$f(x)-h(x)$$f(x)-h(x)$是矩形宽度，$dx$$dx$是矩形条的高度。

水压力：

注：水压力问题特点：压强随水的深度的改变而改变，求解这类问题关键是确定水深$x$$x$处的平板的宽度$f(x)-h(x)$$f(x)-h(x)$

$\text{例}:$$\Large 例:$洒水车上的水箱是一个横放的椭圆柱体，椭圆的尺寸如下图所示，当水箱装满水时，计算水箱的一个端面所受的压力(水的密度为$1000kg/m^3$$1000kg/m^3$，重力加速度$g$$g$为$9.8m/s^2$$9.8m/s^2$)

2.4 几何应用

• "平面上的曲边梯形"的形心坐标公式

  设平面区域$D=\{(x,y)|0\le y\le f(x),a\le x\le b\},f(x)$$D=\{(x,y)|0\le y\le f(x),a\le x\le b\},f(x)$在$[a,b]$$[a,b]$上连续，如下图所示，先推导$D$$D$的形心坐标$\overline{x},\overline{y}$$\bar{x},\bar{y}$的计算公式

  $$\begin{array}{rl}& \overline{x}=\frac{\underset{D}{\iint }xd\sigma }{\underset{D}{\iint }d\sigma }=\frac{{\int }_a^{b}dx{\int }_0^{f(x)}xdy}{{\int }_a^{b}dx{\int }_0^{f(x)}dy}=\frac{{\int }_a^{b}xf(x)dx}{{\int }_a^{b}f(x)dx}\\ \\ & \overline{y}=\frac{\underset{D}{\iint }yd\sigma }{\underset{D}{\iint }d\sigma }=\frac{{\int }_a^{b}dx{\int }_0^{f(x)}ydy}{{\int }_a^{b}dx{\int }_0^{f(x)}dy}=\frac{\frac{1}{2}{\int }_a^b{f}^2(x)dx}{{\int }_a^{b}f(x)dx}\end{array}$$

  

  $\text{例}:$$\Large 例:$设曲线$L$$L$的方程为$y=\frac{1}{4}{x}^2-\frac{1}{2}\ln x,1\le x\le e$$y=\frac{1}{4}x^2-\frac{1}{2}\ln x,1\le x\le e$，$D$$D$是曲线$L$$L$，直线$x=1,x=e$$x=1,x=e$及$x$$x$轴围成的平面图形，求$D$$D$的形心横坐标

  $$\begin{array}{r}\\ \text{解}：\\ & \overline{x}=\frac{{\int }_1^{e}x(\frac{1}{4}{x}^2-\frac{1}{2}\ln x)dx}{{\int }_1^e(\frac{1}{4}{x}^2-\frac{1}{2}\ln x)dx}\\ \\ & =\frac{3(e^2+1)}{4(e^3-7)}\end{array}$$

• 平面曲线的弧长

  ①若平面光滑曲线由直角坐标方程$y=y(x)(a\le x\le b)$$y=y(x)(a\le x\le b)$给出，则$s={\int }_a^b\sqrt{1+[y^{\prime }(x){]}^2}dx$$s=\int_a^b\sqrt{1+[y'(x)]^2}dx$

  ②若平面光滑曲线由参数方程$x=x(t),y=y(t)(a\le t\le \beta )$$x=x(t),y=y(t)(a\le t\le\beta)$给出，则$s={\int }_a^{\beta }\sqrt{[x^{\prime }(t){]}^2+[y^{\prime }(t){]}^2}dt$$s=\int_a^{\beta}\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}dt$

  ③若平面光滑曲线由记坐标方程$r=r(\theta )(a\le \theta \le \beta )$$r=r(\theta)(a\le\theta\le\beta)$给出，则$s={\int }_a^{\beta }\sqrt{[r(\theta ){]}^2+[r^{\prime }(\theta ){]}^2}d\theta$$s=\int_a^{\beta}\sqrt{[r(\theta)]^2+[r'(\theta)]^2}d\theta$

  $\text{例}1:$$\Large 例1:$计算曲线$y=\ln (1-x^2)$$y=\ln(1-x^2)$上相应于$0\le x\le \frac{1}{2}$$0\le x\le\frac{1}{2}$的一段弧的长度

  $$\begin{array}{r}\\ \text{解}：\\ & \text{代}\text{入}\text{公}\text{式}s={\int }_a^b\sqrt{1+[y^{\prime }(x){]}^2}dx\text{即}\text{可}\\ \\ & S={\int }_0^{\frac{1}{2}}\sqrt{1+[(\ln (1-x^2){)}^{\prime }{]}^2}dx\end{array}$$

  $\text{例}2:$$\Large 例2:$求心形线$r=a(1+\cos \theta )$$r=a(1+\cos\theta)$的全长，其中$a>0$$a>0$是常数

  $$\begin{array}{r}\\ \text{解}：\\ & s=2{\int }_0^{\pi }\sqrt{r^2+(r^{\prime }{)}^2}d\theta \end{array}$$

  $\text{例}3:$$\Large 例3:$求星形线$x={\cos }^{3}t,t={\sin }^{3}t(0\le t\le 2\pi )$$x=\cos^3t,t=\sin^3t(0\le t\le2\pi)$的弧长

  $$\begin{array}{r}\\ \text{解}：\\ & \text{星}\text{形}\text{线}\text{具}\text{有}\text{对}\text{称}\text{性},\text{只}\text{用}\text{计}\text{算}\text{第}\text{一}\text{象}\text{限}\text{弧}\text{段}\text{即}\text{可}\\ \\ & s=4{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sqrt{[x^{\prime }(t){]}^2+[y^{\prime }(t){]}^2}dt=6\end{array}$$

• 旋转曲面的表面积

  ①曲线$y=y(x)$$y=y(x)$在区间$[a,b]$$[a,b]$上的曲线弧段绕$x$$x$轴旋转一周所得的旋转曲面的表面积

  $$\begin{array}{r}\\ \text{解}：\\ & S=2\pi {\int }_a^b|y(x)|\sqrt{1+[y^{\prime }(x){]}^2}dx\end{array}$$

  ②曲线$x=x(t),y=y(t)(a\le t\le \beta ,x^{\prime }(t)\ne 0)$$x=x(t),y=y(t)(a\le t\le\beta,x'(t)\ne0)$在区间$[a,\beta ]$$[a,\beta]$上曲线弧段绕$x$$x$轴旋转一周所得到的旋转曲面表面积

  $$\begin{array}{r}S=2\pi {\int }_a^{\beta }|y(t)|\sqrt{[x^{\prime }(t){]}^2+[y^{\prime }(t){]}^2}dt\end{array}$$

  $\text{例}:$$\Large 例:$设有曲线$y=\sqrt{x-1}$$y=\sqrt{x-1}$，过原点作其切线，求此曲线、切线及$x$$x$轴围成的平面图形绕$x$$x$轴旋转一周所得到旋转体的表面积

  $$\begin{array}{r}\\ \text{解}：\\ & \text{设}\text{切}\text{点}\text{的}\text{横}\text{坐}\text{标}\text{为}{x}_0,\text{则}\text{切}\text{点}\text{为}(x_0,\sqrt{x_0-1}),\text{曲}\text{线}\\ \\ & y=\sqrt{x-1}\text{在}\text{此}\text{点}\text{的}\text{切}\text{线}\text{斜}\text{率}\text{为}\frac{1}{2\sqrt{x_0-1}},\text{于}\text{是}\text{切}\text{线}\text{方}\text{程}\text{为}\\ \\ & y-\sqrt{x_0-1}=\frac{1}{2\sqrt{x_0-1}}(x-x_0)\\ \\ & \text{又}\text{因}\text{它}\text{经}\text{过}\text{原}\text{点},\text{将}\text{点}(0,0)\text{代}\text{入},\text{得}-2(x_0-1)=-x_0,\text{解}\text{得}{x}_0=2\\ \\ & \text{于}\text{是}\text{切}\text{线}\text{方}\text{程}\text{为}y-1=\frac{1}{2}(x-2),\text{即}y=\frac{1}{2}x,\text{切}\text{点}(2,1)\\ \\ & \text{曲}\text{线}\text{段}y=\sqrt{x-1}(1\le x\le 2)\text{绕}x\text{轴}\text{旋}\text{转}\text{一}\text{周}\text{所}\text{得}\text{到}\text{的}\text{旋}\text{转}\text{面}\text{的}\text{表}\text{面}\text{积}\\ \\ & \text{为}:S_1={\int }_1^{2}2\pi y\sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}dx=\pi {\int }_1^2\sqrt{4x-3}dx=\frac{\pi }{6}(5\sqrt{5}-1)\\ \\ & \text{由}\text{直}\text{线}\text{段}y=\frac{1}{2}x(0\le x\le 2)\text{绕}x\text{轴}\text{旋}\text{转}\text{一}\text{周}\text{所}\text{得}\text{到}\text{的}\text{旋}\text{转}\text{面}\text{的}\text{表}\text{面}\text{积}\text{为}:\\ \\ & S_2={\int }_0^{2}2\pi ·\frac{1}{2}x·\frac{\sqrt{5}}{2}dx=\sqrt{5}\pi \\ \\ & \text{因}\text{此},\text{所}\text{求}\text{旋}\text{转}\text{体}\text{的}\text{表}\text{面}\text{积}\text{为}S=S_1+S_2=\frac{\pi }{6}(11\sqrt{5}-1)\end{array}$$

• 平行截面面积为已知的立体体积

  在区间$[a,b]$$[a,b]$上，垂直于$x$$x$轴的平面截立体$\mathrm{\Omega }$$\Omega$所得到得截面面积为$x$$x$得连续函数$A(x)$$A(x)$，则$\mathrm{\Omega }$$\Omega$的体积为

  $$\begin{array}{r}V={\int }_a^{b}A(x)dx\end{array}$$

3. 微分方程的物理应用

3.1 牛顿第二定律

相关物理量有：①物体质量$m$$m$；②力$f$$f$(包括重力、浮力、阻力)；③加速度$a=\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=\frac{dv}{dt}=v\frac{dv}{dx}$$a=\frac{d^2x}{dt^2}=\frac{dv}{dt}=v\frac{dv}{dx}$

$\text{例}:$$\Large 例:$某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下。现有一质量为$9000kg$$9000kg$的飞机，着陆时的水平速度为$700km/h$$700km/h$，经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为$k=6.0\times {10}^6$$k=6.0\times 10^6$)。问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？($kg$$kg$表示千克，$km/h$$km/h$表示千米$/$$/$时)

3.2 变化率问题(1)

主要涉及：变化率、增长率、减少率、繁殖率等，且$t$$t$时刻某量$y$$y$对$t$$t$的变化率与$t$$t$时刻某量$\mathrm{\Delta }$$\Delta$成正比$/$$/$反比。一定要理解这句话。

如：$y$$y$对$t$$t$的变化率与$t$$t$时刻某量$\mathrm{\Delta }$$\Delta$成正比，即$\frac{dy}{dt}=k\mathrm{\Delta }$$\frac{dy}{dt}=k\Delta$，还要分析$y$$y$与$t$$t$变化大小判断是否加负号。

注意：

1. 题中正比例关系为：$\frac{dy}{dx}=k\mathrm{\Delta }$$\frac{dy}{dx}=k\Delta$,$y$$y$随$x$$x$增大而增大。$\frac{dy}{dx}=-k\mathrm{\Delta }$$\frac{dy}{dx}=-k\Delta$,$y$$y$随$x$$x$增大而减小。
2. 反比例关系：$\frac{dy}{dx}=\frac{k}{\mathrm{\Delta }}$$\frac{dy}{dx}=\frac{k}{\Delta}$,$y$$y$随$x$$x$增大而增大。$\frac{dy}{dx}=-\frac{k}{\mathrm{\Delta }}$$\frac{dy}{dx}=-\frac{k}{\Delta}$,$y$$y$随$x$$x$增大而减小。

解题步骤：

• 设目标函数；(可分离变量型微分方程，也即题中变化率)$\frac{dy}{dx}$$\frac{dy}{dx}$，其中$y$$y$是因变量，$x$$x$是自变量。
• 依题意列出偏导关系，并找出题目初始条件;
• 解方程即可

$\text{例}\text{题}1:$$\Large 例题1:$根据冷却定律知，物体在空气中的冷却速度与物体温度和空气温度之差成正比，一个装有100°C热水的水瓶，加上盖，放在20°C的环境温度中冷却， 在24小时后，测量温度为60°C，求水瓶中水温下降的函数表达式。

$\text{例}\text{题}2：$$\Large例题2：$在某池塘内养鱼，该池塘最多能养$1000$$1000$尾，在时刻$t$$t$，鱼数$y$$y$是时间$t$$t$的函数，其变化率与鱼数$y$$y$及$1000-y$$1000- y$之积成正比。已知在池塘内放养鱼$100$$100$尾，3个月后池塘内有鱼250尾，求放养$t$$t$月后池塘内鱼数的函数。

$\text{例}\text{题}3:$$\Large 例题3:$某文物与1972年8月发掘出土，经研究测算该文物出土时$C-14(\text{放}\text{射}\text{性}\text{同}\text{位}\text{素}\text{碳}\text{十}\text{四})$$C-14(放射性同位素碳十四)$标本存量为初始量$R_0$$R_0$的$0.7761$$0.7761$倍。已知$C-14$$C-14$的衰变速度与他的现存量成正比，且它的半衰期$(\text{由}\text{初}\text{始}\text{量}{R}_0\text{衰}\text{变}\text{至}\frac{R_0}{2}\text{所}\text{需}\text{要}\text{时}\text{间})$$(由初始量R_0衰变至\frac{R_0}{2}所需要时间)$为5740年。

$(1)$$(1)$试求$C-14$$C-14$的现存量与时间$t(\text{年})$$t(年)$的函数关系(其中对数不必写出具体数值)。

$(2)$$(2)$计算该文物至1972年8月大约经历了多少年，能否认为该文物为西汉时期(公元前202$\sim$$\sim$公园8年)的作品并说明理由。(计算结果取整数；其中$\ln 2\approx 0.6931,\ln 0\approx -0.2535$$\ln2\approx0.6931,\ln0\approx-0.2535$).

总结：

应用题还是要具体问题具体分析，可分离变量微分方程应用题还是要找到变化率与某刻变化量比例关系，前者$=$$=$比例关系倍的后者。特别是要体会那个与字前后变量关系。其本质也就是找到因变量$(\text{变}\text{化}\text{率})$$(变化率)$和自变量$(\text{变}\text{化}\text{量})$$(变化量)$之间的关系，与$y=f(x)$$y=f(x)$这样的一元函数变量关系实际上没有区别，只不过$y$$y$变为了$\frac{dy}{dt}(t\text{为}y\text{的}\text{自}\text{变}\text{量})$$\frac{dy}{dt}(t为y的自变量)$。

当然还要找到题中两个初始量求出比例常数$k$$k$和分离变量后常数$C$$C$。题中可能隐藏$0$$0$时刻初始量，读者自行判别。

3.3 变化率问题(2)

设总人数为$N$$N$，$t$$t$时刻已掌握新技术的人数$x$$x$的变化率和已掌握新技术与未掌握新技术的人数之积成正比。此时表达式应写为：$\frac{dx}{dt}=+kx(N-x)$$\frac{dx}{dt}=+kx(N-x)$正号代表$\frac{dx}{dt}>0$$\frac{dx}{dt}>0$(人数随着时间增加而增加)。

4. 欧拉方程

形如$x^2\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+px\frac{dy}{dx}+qy=f(x)$$x^2\frac{d^2y}{dx^2}+px\frac{dy}{dx}+qy=f(x)$的方程称为欧拉方程，其中$p$$p$与$q$$q$为常数，$f(x)$$f(x)$为已知连续函数。它有固定解法。

（1）当$x>0$$x>0$时，令$x=e^t$$x=e^t$，则$t=\ln x$$t=\ln x$，$\frac{dt}{dx}=\frac{1}{x}$$\frac{dt}{dx}=\frac{1}{x}$，于是

原方程化为：$\frac{d^{2}y}{d{t}^2}+(p-1)\frac{dy}{dt}+qy=f(e^t)$$\frac{d^2y}{dt^2}+(p-1)\frac{dy}{dt}+qy=f(e^t)$

（2）当$x<0$$x<0$时，令$x=-e^t$$x=-e^t$

$\text{例}:$$\Large 例:$求欧拉方程$x^2\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+4x\frac{dy}{dx}+2y=0(x>0)$$x^2\frac{d^2y}{dx^2}+4x\frac{dy}{dx}+2y=0(x>0)$的通解

5. 傅里叶级数

设以$2l$$2l$为周期的函数$f(x)$$f(x)$在$[-l,l]$$[-l,l]$上①连续或只有有限个第一类间断点，②且至多只有有限个(真正的)极值点，则$f(x)$$f(x)$的傅里叶级数处处收敛，记其和函数为$S(x)$$S(x)$，则有

称这个$S(x)$$S(x)$为三角级数或傅里叶级数，由于$f(x)$$f(x)$以$2l$$2l$为周期，则$a_n$$a_n$系数表达式为：

5.1 正弦级数和余弦级数

1. 若$f(x)$$f(x)$为奇函数，则$a_n=0,b_n=\frac{2}{l}{\int }_0^{l}f(x)\sin \frac{n\pi }{l}xdx,n=1,2,3...$$a_n=0,b_n=\frac{2}{l}\int_0^lf(x)\sin\frac{n\pi}{l}xdx,n=1,2,3...$

   此时$f(x)$$f(x)$展开：

   $$\begin{array}{r}S(x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n\sin \frac{n\pi }{l}x\end{array}$$

   由于级数$S(x)$$S(x)$中只有$\sin$$\sin$，所以称为正弦级数。

2. 若$f(x)$$f(x)$为偶函数，$b_n=0,a_n=\frac{2}{l}{\int }_0^{l}f(x)\cos \frac{n\pi }{l}xdx,n=0,1,2...$$b_n=0,a_n=\frac{2}{l}\int_0^lf(x)\cos\frac{n\pi}{l}xdx,n=0,1,2...$

   $f(x)$$f(x)$展开为：

   $$\begin{array}{r}S(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n\cos \frac{n\pi }{l}x\end{array}$$

   由于级数$S(x)$$S(x)$中只有$\cos$$\cos$，所以称为余弦级数。

5.2 奇延拓与偶延拓

1. 若$f(x)$$f(x)$在$[0,l]$$[0,l]$上，将$f(x)$$f(x)$图形关于原点在$[-l,0]$$[-l,0]$上作出$f(x)$$f(x)$对称图形，使其变为在$[-l,l]$$[-l,l]$上奇函数，此时称为奇延拓。

   $$\begin{array}{r}\text{即}\text{令}F(x)=\{\begin{array}{cc}f(x),& 0<x\le l\\ \\ -f(-x),& -l\le x<0\\ \\ 0,& x=0\end{array}\end{array}$$

   这里注意$x=0$$x=0$情况，若原先函数$f(0)\ne 0$$f(0)\ne0$，只能修改此处定义，强行令$f(0)=0$$f(0)=0$，以保证$F(x)$$F(x)$在$[-l,l]$$[-l,l]$上为奇函数。

   奇延拓：

   

2. 若$f(x)$$f(x)$在$[0,l]$$[0,l]$上，将$f(x)$$f(x)$图形关于$y\text{轴}$$y轴$在$[-l,0]$$[-l,0]$上作出$f(x)$$f(x)$对称图形，使其变为在$[-l,l]$$[-l,l]$上偶函数，此时称为偶延拓。

   $$\begin{array}{r}\text{即}\text{令}F(x)=\{\begin{array}{cc}f(x),& 0\le x\le l\\ \\ f(-x),& -l\le x<0\end{array}\end{array}$$

   偶延拓：

   

$\text{例}:$$\Large 例:$将函数$f(x)=1-x^2(0\le x\le \pi )$$f(x)=1-x^2(0\le x\le\pi)$展开成余弦级数，并求$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n^2}$$\sum_\limits{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n^2}$

5.3 狄利克雷收敛性定理

前面写的$f(x)$$f(x)$在$[-l,l]$$[-l,l]$上展开为$S(x)$$S(x)$，或写为$f(x)\sim S(x)$$f(x)\sim S(x)$，之所以为$\sim$$\sim$是因为$f(x)$$f(x)$并不一定等于$S(x)$$S(x)$。这里在什么情况下等于，什么情况下不等于就用到了狄利克雷收敛性定理。定理如下：

5.3-1：

5.3-2：

十四. 向量代数

既有大小又有方向的量称为向量。向量表达式：$a=(a_x,a_y,z_z)=a_{x}i+a_{y}j+a_{z}k$$a=(a_x,a_y,z_z)=a_xi+a_yj+a_zk$

空间对称：求对称点方法：关于字母对称，哪个字母不变，其他字母变负。如：$(1,2,3)$$(1,2,3)$关于原点对称点为$:(-1,-2,-3),(1,2,3)$$:(-1,-2,-3),(1,2,3)$关于$xoy$$xoy$对称点为$(1,2,-3)$$(1,2,-3)$