一. 空间向量

1. 空间对称

$(1,2,3)关于原点对称点为:(-1,-2,-3)$

$(1,2,3)关于xoy对称点为(1,2,-3)$

2. 向量的表示

坐标表示：

\begin{matrix} 坐 标 表 示 {\begin{matrix} \vec{a} = {a_{x}, a_{y}, a_{z}} \\ 若 A (x_{1}, y_{1} . z_{1}), B (x_{2}, y_{2}, z_{2}), 则 \vec{A B} = {x_{2} - x_{1}, y_{2} - y_{1}, z_{2} - z_{1}} \end{matrix} \end{matrix}

向量表示：

\begin{matrix} 向 量 表 示 {\begin{matrix} \vec{a} = a_{x} \vec{i} + a_{y} \vec{j} + a_{z} \vec{k} \\ 其 中 \vec{i} 是 x 轴 方 向 的 单 位 向 量 (1, 0, 0) \\ \vec{j} 是 y 轴 方 向 的 单 位 向 量 (0, 1, 0) \\ \vec{k} 是 z 轴 方 向 的 单 位 向 量 (0, 0, 1) \end{matrix} \end{matrix}

3. 向量的模和方向余弦

$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}$
$1$ $\Large\frac{\overrightarrow{a}}{|a|}$
$cos\alpha,cos\beta,cos\gamma$ $x,y,z$ 方向的夹角余弦值。公式：
$\begin{matrix} {\begin{matrix} c o s α = & \frac{a_{x}}{\sqrt{a_{x}^{2} + a_{y}^{2} + a_{z}^{2}}} \\ c o s β = & \frac{a_{y}}{\sqrt{a_{x}^{2} + a_{y}^{2} + a_{z}^{2}}} \\ c o s γ = & \frac{a_{z}}{\sqrt{a_{x}^{2} + a_{y}^{2} + a_{z}^{2}}} \end{matrix} \end{matrix}$
$[0,\pi]$ 范围内。并且同一方向上 $cos^2\alpha+cos^2\beta+cos^2\gamma=1$

4. 向量的运算

4.1 向量的线性运算

$设\overrightarrow{a}=\{a_x,a_y,a_z\},\overrightarrow{b}=\{b_x,b_y,b_z\}$

$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\{a_x+b_x,a_y+b_y,a_z+b_z\}$
$\lambda\overrightarrow{a}=\{\lambda a_x,\lambda a_y,\lambda a_z\}$ $\lambda\overrightarrow{a}//\overrightarrow{a}(与原向量共线)$

4.2 向量的乘(点乘和叉乘)

$/$ 内积)
$\begin{matrix} \vec{a} \cdot \vec{b} {\begin{matrix} 定义式 : | \vec{a} | | \vec{b} | c o s θ . (θ 为 \vec{a} \land \vec{b}) \\ 计算式 : a_{x} b_{x} + a_{y} b_{y} + a_{z} b_{z}, 即对应坐标相乘相加 \end{matrix} \end{matrix}$
$\overrightarrow{a}·\overrightarrow{a}=|a|^2$
两向量垂直充分必要条件：
$\vec{a} ⊥ \vec{b} ⟺ \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$
两向量平行的充分必要条件：
$\vec{a} ∥ \vec{b} ⟹ \frac{a_{x}}{b_{x}} = \frac{a_{y}}{b_{y}} = \frac{a_{z}}{b_{z}}$
$/$ 外积)
$\begin{matrix} \vec{a} \times \vec{b} = \vec{c} {\begin{matrix} 定义式 : | \vec{a} | | \vec{b} | s i n θ . (θ 为 \vec{a} \land \vec{b}) \\ 大小模几何意义 : 以 a, b 为邻边 (起点相同) 平行四边形面积 \\ 方向 : \vec{c} ⊥ \vec{a}, 且 \vec{c} ⊥ \vec{b} \end{matrix} \end{matrix}$
向量积的计算方法
$\begin{matrix} \vec{a} \times \vec{b} = | \begin{matrix} i & j & k \\ a_{x} & a_{y} & a_{z} \\ b_{x} & b_{y} & b_{z} \end{matrix} | \end{matrix}$
$i/j/k$ $-$ 有对角
$\begin{matrix} 如： i | \begin{matrix} a_{y} & a_{z} \\ b_{y} & b_{z} \end{matrix} | - j | \begin{matrix} a_{x} & a_{z} \\ b_{x} & b_{z} \end{matrix} | + k | \begin{matrix} a_{x} & a_{y} \\ b_{x} & b_{y} \end{matrix} | \end{matrix}$
$\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}$ $\overrightarrow{0}$ $\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}=-\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{a}$
$0$
$\vec{a} ∥ \vec{b} ⟹ \vec{a} \times \vec{b} = 0$

$\Large 例:已知A(1,2,3),B(3,4,5),C(2,4,7),求S_{\triangle ABC}$

\begin{aligned} 解 ： \\ 由 三 角 形 即 共 起 点 向 量 叉 乘 的 一 半 可 得 : \\ | \vec{A B} | = {2, 2, 2}, \vec{A C} = {1, 2, 4} \\ S = | \vec{A B} \times \vec{A C} | = | 4 \vec{i} - 6 \vec{j} + 2 \vec{k} | = | {4, - 6, 2} | \\ = \sqrt{16 + 36 + 4} = 2 \sqrt{14} \\ S_{△} = \frac{2 \sqrt{14}}{2} = 2 \end{aligned}

5. 向量的投影

$\Large\overrightarrow{a}在\overrightarrow{b}的投影和\overrightarrow{b}在\overrightarrow{a}的投影:$

\begin{array}{r} \begin{array}{c} \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{在 谁 上 投 影 就 除 以 谁 的 模 长} \\ \vec{a} 在 \vec{b} 上 的 投 影 ： P r j_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{| \vec{b} |} \\ \vec{b} 在 \vec{a} 上 的 投 影 ： P r j_{\vec{a}} \vec{b} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{| \vec{a} |} \end{array} \end{array}

6. 向量的位置关系

位置关系分两种：平行、相交(斜交和垂直)

方法：

先看对应坐标是否成比例，如果成比例，则平行
$0$ ，则两向量垂直
$\Large cos(\overrightarrow{a}\land\overrightarrow{b})=\frac{\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|},且(\overrightarrow{a}\land\overrightarrow{b})\in(0,\pi)$

二. 平面方程

1. 点法式和一般式

知道平面上的任意一点法向量 $n=\{A,B,C\}$

点法式方程：
$A (x - x_{0}) + B (y - y_{0}) + C (z - z_{0}) = 0$
将上面的点法式方程展开得一般式
$A x + B y + C z + D = 0$
判断用点法式还是一般式
$/$ 平行面，用一般式方程，其他情况都用点法式方程。
$D=0$ $0$ $xoy$ $Cz+D=0$
¹ $0再+D=0$ $xoy$ $Cz+0=0$

2. 平面的位置关系

平面的位置关系本质就是它们法向量的位置关系。所以只要找到两个平面的法向量，就能确定它们的位置关系。

$(0,\frac{\pi}{2})$

三. 空间直线

1. 空间直线的一般式方程

$A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0$ $A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0$ ，则称联立方程组，为空间直线的一般式方程。

\begin{matrix} {\begin{matrix} A_{1} x + B_{1} y + C_{1} z + D_{1} = 0 \\ A_{2} x + B_{2} y + C_{2} z + D_{2} = 0 \end{matrix} \end{matrix}

$\overrightarrow{s}=\overrightarrow{n_1}\times\overrightarrow{n_2}$ $n_1=\{A_1,B_1,C_1\},n_2=\{A_2,B_2,C_2\}$

2. 空间直线的点向式

$s$ $\overrightarrow{s}=\{m,n,p\}$ $l$ $M_0(x_0,y_0,z_0)$ $l$ 的点向式方程为：

\frac{x - x_{0}}{m} = \frac{y - y_{0}}{n} = \frac{z - z_{0}}{p}

3. 直线的参数方程

$\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}=t\\$ $t$ 为参数，则参数方程：

\begin{matrix} {\begin{matrix} x = x_{0} + m t \\ y = y_{0} + n t \\ z = z_{0} + p t \end{matrix} \end{matrix}

$t$ 前的系数是方向向量。

4. 直线的位置关系

两个直线的位置关系就是他们方向向量的位置关系

$(0,\frac{\pi}{2})$

四. 直线与平面的位置关系

$90^\circ$ $方向向量\overrightarrow{s}\{m,n,p\}和法向量\overrightarrow{n}\{A,B,C\}$

若方向向量和法向量平行，则直线和平面垂直。
$\frac{m}{A}=\frac{n}{B}=\frac{p}{C}\Longrightarrow\overrightarrow{s}//\overrightarrow{n}\Longrightarrow l\perp\pi$
若方向向量和法向量垂直，则直线和平面平行。
$\overrightarrow{s}·\overrightarrow{n}=0\Longrightarrow\overrightarrow{s}\perp\overrightarrow{n}\Longrightarrow l//\pi$
$\overrightarrow{a}\land\overrightarrow{b}$ 为方向向量和法向量的夹角。
$cos(\overrightarrow{a}\land\overrightarrow{b})$ $90^\circ$ ，所以就为：
$c o s (\vec{a} \land \vec{b}) - 90^{\circ} \overset{诱导公式}{\Rightarrow} s i n (\vec{a} \land \vec{b})$
$(l)$ $(\pi)$ 内的条件：
- $l//\pi$
- $l$ $\pi$ 内

$\Large 例:求直线l:\frac{x-1}{2}=\frac{y}{-1}=\frac{z+1}{2},和平面\pi:x-y+2z=3的位置关系$

\begin{array}{r} \begin{array}{c} 解 ： \\ 由 题 可 知 方 向 向 量 \vec{s} = {2, - 1, 2}, \vec{n} = {1, - 1, 2} \\ \vec{s} 与 \vec{n} 不 成 比 例, \vec{s} 不 平 行 于 \vec{n} ⟹ l 不 垂 直 π \\ \vec{s} \cdot \vec{n} \neq 0, \vec{s} 不 垂 直 于 \vec{n} ⟹ l 不 平 行 于 π \\ 此 时 l 斜 交 π ⟹ s i n α = \frac{\vec{s} \cdot \vec{n}}{| \vec{s} | | \vec{n} |} = \frac{7}{3 \sqrt{6}} \\ α = a r c s i n \frac{7}{3 \sqrt{6}} \end{array} \end{array}

五. 距离公式

1. 点到点间的距离公式

$M_1(x_1,y_1,z_1)$ $M_2(x_2,y_2,z_2)$

则点到点间的距离公式为：

| M_{1} M_{2} | = \sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2} + (z_{2} - z_{1})^{2}}

2 点到平面的距离公式

$(x_0,y_0,z_0)$ $Ax+By+Cz+D=0$ 的距离公式：

d = \frac{| A x_{0} + B y_{0} + C z_{0} + D |}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}, 即 \frac{点 代 入 平 面 的 绝 对 值}{平 面 法 向 量 的 模 长}

$\Large 例:点(3,2,-1)到平面x+y+z-1=0的距离$

\begin{array}{r} \begin{array}{c} 解 ： \\ d = \frac{| 3 + 2 - 1 - 1 |}{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{3} \end{array} \end{array}

3. 两平行平面的距离

$平面\pi_1//平面\pi_2\Longleftrightarrow\overrightarrow{n_1}//\overrightarrow{n_2}\Longrightarrow\overrightarrow{n_1}=k\overrightarrow{n_2}$ ，此时距离公式为：

d = \frac{| D_{1} - D_{2} |}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}

$\pi_1和\pi_2$ 的法向量化为一致。

$\Large 例:\pi_1:x+y-z+1=0,\pi_2:2x+2y-2z+6=0两平面平行,求两平面距离$

\begin{array}{r} \begin{array}{c} 解 ： \\ 先 将 两 平 面 法 向 量 化 为 一 致, 即 \\ π_{2} \overset{两 边 同 除 2}{\to} x + y - z + 3 = 0 \\ 此 时, 法 向 量 \vec{n} = {1, 1, - 1} \\ d = \frac{| 3 - 1 |}{\sqrt{1^{2} + 1^{2} + (- 1)^{2}}} = \frac{2 \sqrt{3}}{3} \end{array} \end{array}

4. 点到空间直线的距离

$M_0$ $l$ $M$ $l$ $\overrightarrow{s}$ $M_0$ $l$ 的距离：

d = \frac{| \vec{M_{0} M} \times \vec{s} |}{| \vec{s} |}

$以上||都为取模长$

\begin{aligned} 证 明 ： \\ 如 下 图 所 示 ， 点 M_{0} 到 直 线 l 的 距 离 为 d ， 由 向 量 积 的 几 何 意 义 知 | \vec{M_{0} M} \times \vec{s} | 表 示 的 是 以 \\ \vec{M_{0} M}, \vec{s} 为 邻 边 的 平 行 四 边 形 的 面 积, 而 距 离 公 式 表 示 以 | \vec{s} | 为 边 长 的 该 平 行 四 边 形 的 高, 即 \\ 为 点 \vec{M_{0}} 到 直 线 l 的 距 离, 于 是 d = \frac{| \vec{M_{0} M} \times \vec{s} |}{| \vec{s} |} \end{aligned}

点到空间直线距离证明：

$\Large 例:点P(3,2,6)到空间直线\frac{x}{1}=\frac{y+7}{2}=\frac{z-3}{1}的距离$

\begin{aligned} 解 ： \\ 由 题 可 知 平 面 上 的 一 点 A (0, - 7, 3), 方 向 向 量 为 \vec{s} {1, 2, 1} \\ 则 \vec{A P} = {3, 9, 3}, \vec{s} = {1, 2, 1} \\ d = \frac{| {3, 9, 3} \times {1, 2, 1} |}{\sqrt{1 + 4 + 1}} \\ = \frac{3 \sqrt{2}}{\sqrt{6}} = \sqrt{3} \end{aligned}

5. 点在平面或直线上的投影

$(平面)$ $(直线方程)$ 。之后联立方程求出其交点即可。

$\Large 例1:求点(1,2,3)在平面4x-5y-8z+21=0的投影点坐标$

\begin{array}{r} \begin{array}{c} 解 ： \\ 1. & 设 点 P (1, 2, 3), 过 点 P 垂 直 于 平 面 直 线 方 程 为 : \\ \frac{x - 1}{4} = \frac{y - 2}{- 5} = \frac{z - 3}{- 8} \\ 2. & 将 直 线 方 程 化 为 参 数 方 程 : \\ x = 4 t + 1, y = - 5 t + 2, z = - 8 t + 3 \\ 4. & 将 参 数 方 程 带 入 平 面 方 程 为 : \\ 4 (4 t + 1) - 5 (- 5 t + 2) - 8 (- 8 t + 3) + 21 = 0 \\ ∴ t = \frac{3}{35} \\ 从 而 得 坐 标 点 为 (\frac{47}{35}, \frac{11}{7}, \frac{81}{35}) \end{array} \end{array}

$\Large 例2:求点(2,3,1)在直线x=-7+t,y=-2+2t,z=-2+3t上的投影点坐标$

\begin{array}{r} \begin{array}{c} 解 ： \\ 1. & 设 点 P (2, 3, 1), 由 直 线 的 参 数 方 程 可 得 方 向 向 量 \vec{s} = {1, 2, 3} \\ 由 于 平 面 和 直 线 垂 直, 可 知 方 向 向 量 = 法 向 量 \\ 2. & 可 知 平 面 方 程 : (x - 2) + 2 (y - 3) + 3 (z - 1) = 0 \\ 3. & 将 x = - 7 + t, y = - 2 + 2 t, z = - 2 + 3 t 代 入 平 面 方 程 可 得 : \\ t = 2, 从 而 投 影 点 坐 标 为 (- 5, 2, 4) \end{array} \end{array}

六. 空间曲面

空间曲面方程特征：

\begin{matrix} {\begin{matrix} 1. 三 元 全 二 次 (x^{2}, y^{2}, z^{2}) ： & 椭 球 、 球 面 、 双 曲 面 、 圆 锥 面 \\ 2. 三 元 二 次 一 次 ： & 抛 物 面 \\ 3. 二 元 方 程 ： & 平 面 或 柱 面, 方 程 两 个 就 是 平 面, 一 个 则 为 柱 面 \\ 4. 旋 转 曲 面 ： & 平 方 项 系 数 至 少 有 2 个 相 同, \\ 注 意 ： 在 判 断 时 先 把 平 方 项 移 至 等 式 一 边 。 \end{matrix} \end{matrix}

$x^2+y^2=R,在二维中是圆,在三维中就是圆柱面$

$y^2=x-z^2\surd,z=x^2-y^2\times$

$\Large 例:x^2-4(y-1)^2=0,是什么空间曲面$

\begin{array}{r} \begin{array}{c} 解 ： \\ x^{2} - 4 (y - 1)^{2} = 0 \\ 4 (y - 2)^{2} = x^{2} \\ y = \pm \frac{x}{2} \\ 二 维 中 y = 1 \pm \frac{x}{2} 是 两 条 直 线, 则 在 三 维 中 是 两 个 平 面 \end{array} \end{array}

七. 旋转曲面求法

旋转曲面一般方程(曲线旋转成面)：

\begin{matrix} x o y 上 的 曲 线 {\begin{matrix} F (x, y) = 0 \\ z = 0 \end{matrix} \end{matrix}

$xoy$ 上的曲线，其它面一致。

方法：绕谁旋转谁不变，另一变量变成该变量与第三变量平方和的正负平方根。

$x$ $f[x,\pm\sqrt{y^2+z^2}]$ $y$ $f[\pm\sqrt{x^2+z^2}],y$

\begin{matrix} 求 ： 双 曲 线 {\begin{matrix} \frac{x^{2}}{3} - \frac{z^{2}}{4} = 1 \\ y = 0 \end{matrix}, 绕 x 轴 旋 转 所 得 旋 转 曲 面 \end{matrix}

\begin{array}{r} \begin{array}{c} 解 ： \\ 绕 x 轴 旋 转 方 程 : \frac{x^{2}}{3} - \frac{(\pm \sqrt{z^{2} + y^{2}})^{2}}{4} = 1 \\ ⟹ \frac{x^{2}}{3} - \frac{z^{2} + y^{2}}{4} = 1 \\ 绕 z 轴 旋 转 方 程 : \frac{(\pm \sqrt{x^{2} + y^{2}})^{2}}{3} - \frac{z^{2}}{4} = 1 \\ ⟹ \frac{x^{2} + y^{2}}{3} - \frac{z^{2}}{4} = 1 \end{array} \end{array}

八. 空间曲线

1. 判断空间曲线

空间曲线的一般方程：

\begin{matrix} {\begin{matrix} F_{1} (x, y, z) = 0, 曲 面 \\ F_{2} (x, y, z) = 0, 曲 面 \end{matrix} \end{matrix}

考点：判断空间曲线是什么样的曲线

方法：

化简空间曲线的方程组(消元)，化简前后方程组中变量个数不变。
看化简后的方程组，其中复杂的方程在二维中表示什么曲线，则在三维中就表示什么曲线。

\begin{matrix} 方 程 组 {\begin{matrix} x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9 \\ (x - 2)^{2} + y^{2} + z^{2} = 9 \end{matrix}, 表 示 的 是 什 么 曲 线 \end{matrix}

\begin{array}{r} \begin{array}{c} 解 ： \\ 1. 化 简 & \overset{两 式 相 减}{\Rightarrow} x^{2} - (x - 2)^{2} = 0 \\ 解 的 x = 1, 代 入 方 程 组 其 中 一 个 : \\ {\begin{matrix} y^{2} + z^{2} = 8 \\ x = 1 \end{matrix} \\ 2. & 此 时 可 以 看 出 方 程 组 中 较 为 复 杂 方 程 y^{2} + z^{2} = 8 是 一 个 圆, 则 在 三 维 中 也 是 圆 \end{array} \end{array}

2. 空间曲线在坐标中的投影

空间曲线关于坐标面投影的柱面方程(二元方程)
- 情况一：母线平行于哪个坐标轴就把对应的变量消去
- 情况二：求关于哪个坐标平面的投影柱面，就把它另外的变量消去
空间曲线在坐标面投影的曲线方程(方程组)
- 方程组中的一个是投影柱面方程(二元方程)
- $xoy投影,z=0$

\begin{matrix} 求 ： 曲 线 {\begin{matrix} z = x^{2} + 2 y^{2} \\ z = 2 - x^{2} \end{matrix}, 在 x o y 平 面 投 影 的 曲 线 方 程 \end{matrix}

\begin{array}{r} \begin{array}{c} 解 ： \\ 方 程 为 {\begin{matrix} (1) 投 影 柱 面 方 程 \\ (2) x o y 投 影, z = 0 \end{matrix} \\ 关 于 x o y 平 面 投 影 我 们 消 z, 得 投 影 柱 面 方 程 \\ z = 2 - x^{2} ⟹ 2 - x^{2} = x^{2} + 2 y^{2} \\ 可 得 投 影 柱 面 方 程 : x^{2} + y^{2} = 1 \\ 由 此 可 得 曲 线 方 程 : {\begin{matrix} x^{2} + y^{2} = 1 \\ z = 0 \end{matrix} \end{array} \end{array}

九. 例题

$\Large 例:设向量\overrightarrow{b}与\overrightarrow{a}=\{1,-2,3\}共线,且\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}=56,求\overrightarrow{b}$

\begin{array}{r} \begin{array}{c} 解 ： \\ 由 \vec{a} 与 \vec{b} 共 线 可 知, \vec{a} / / \vec{b}, 即 \vec{b} = k \vec{a} \\ 设 \vec{b} = k {1, - 2, 3}, 且 \vec{a} \cdot \vec{b} = k (1 + 4 + 9) = 56 \\ 得 k = 4, 即 \vec{b} = 4 {1, - 2, 3} \end{array} \end{array}

$\Large 例:已知向量\overrightarrow{a}与\overrightarrow{b}得夹角为\frac{\pi}{3},且|\overrightarrow{a}|=3,\overrightarrow{b}=4,求|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$

\begin{array}{r} \begin{array}{c} 解 ： \\ | \vec{a} + \vec{b} | = \sqrt{(\vec{a} + \vec{b})^{2}} = \sqrt{(\vec{a})^{2} + 2 \vec{a} \cdot \vec{b} + (\vec{b})^{2}} \\ = \sqrt{| \vec{a} |^{2} + 2 | \vec{a} | | \vec{b} | c o s \frac{π}{3} + | \vec{b} |^{2}} = \sqrt{9 + 12 + 16} = \sqrt{37} \end{array} \end{array}

$\Large 例:证(\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b})^2+(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b})^2=\overrightarrow{a}^2·\overrightarrow{b}^2$

\begin{array}{r} \begin{array}{c} 解 ： \\ (| \vec{a} | | \vec{b} | c o s θ)^{2} + (| \vec{a} | | \vec{b} | s i n θ)^{2} = | \vec{a} |^{2} | \vec{b} |^{2} c o s^{2} θ + | \vec{a} | | \vec{b} | s i n^{2} θ \\ = | \vec{a} |^{2} | \vec{b} |^{2} (c o s^{2} θ + s i n^{2} θ) \\ = | \vec{a} |^{2} | \vec{b} |^{2} = (\vec{a})^{2} \cdot (\vec{b})^{2} \end{array} \end{array}

1 先平行再过原点 ↩