\begin{matrix} 数 学 基 础 知 识 点 整 理 2 \\ a u t h o r : S t e p h e n B o e r . \end{matrix}

第八章. 向量代数与空间解析几何1. 空间直角坐标系2. 向量代数2.1 向量的加减与乘除运算2.2 向量的模与方向余弦2.3 两向量的数量积(点乘)2.4 两向量的向量积(叉乘)2.5 向量的投影计算(补充)3. 平面及其方程3.1 平面的点法式方程3.2 平面的一般方程3.3 平面得截距式方程3.4 两平面的相互位置关系3.5 点到平面的距离公式4. 空间直线方程4.1 空间直线的参数方程4.2 空间直线的一般方程4.3 空间直线与直线的位置关系4.4 空间直线与平面的位置关系5. 二次曲面与空间曲线5.1 二次曲面(未)5.2 二次曲面总结5.3 空间曲线(例题)第九章. 多元函数微分学1. 多元函数基本概念1.1 二元函数的极限1.2 常考题型1.3 二元函数连续性和可导性1.4 二元连续函数的性质2. 偏导数2.1 偏导数的计算及可导与连续的关系2.2 高阶偏导数3. 全微分及其应用3.1 可微与连续可导关系3.2 全微分近似计算4. 多元复合函数与隐函数的求导法则4.1 多元复合函数的求导4.2 多元复合函数求导的几种特殊情况4.3 抽象函数偏导数。4.4 隐函数的求导法则5. 方向导数与梯度5.1 方向导数5.2 梯度6. 偏导数的应用6.1 空间曲线的切线与法平面6.2 曲面的切平面与法线6.3 多元函数得极值6.4 最大值和最小值6.5 条件极值第十章. 二重积分1. 二重积分的概念1.1 二重积分的性质1.2 估计定理计算积分与二重积分比较2. 二重积分的计算2.1 直角坐标下的二重积分计算2.2 二重积分的化简2.3 极坐标下的二重积分计算2.4 极坐标转化为直角坐标2.5 直角坐标转化为极坐标3. 二重积分的应用举例3.1 立体体积3.2 平面薄片的质量第十一章. 曲线积分1. 对弧长的曲线积分(第一类曲线积分)1.1 对弧长的曲线积分性质1.2 对弧长曲线积分的解法2. 对坐标的曲线积分(第二类曲线积分)2.1 对坐标曲线积分的性质2.2 对坐标曲线积分的计算方法3. 格林公式3.1 格林公式3.2 平面上曲线积分与路径无关的条件4. 两类曲线积分得关系第十二章. 无穷级数1. 级数的基本性质2. 级数的敛散性判断2.1 判断常数项级数收敛级数性质判断法等比级数性质判断法级数收敛必要条件判断法2.2 正项级数审敛法比较审敛法 $p$ 级数性质比较审敛法极限形式比值审敛法(达朗贝尔)根值审敛法(柯西判别法)积分审敛法2.3 交错级数的审敛法莱布尼兹审敛法性质判断法2.4 级数的绝对收敛与条件收敛3. 幂级数及其收敛域3.1 定义判断收敛域和发散域3.2 阿贝尔定理判断收敛域和发散域4. 幂级数的运算及性质4.1 级数的运算性质4.2 级数求和函数 (大题)5. 函数展开成幂级数(填空)

第八章. 向量代数与空间解析几何

1. 空间直角坐标系

在空间直角坐标系中点的特点：
在平面内：
$\begin{matrix} x o z (x, 0, z) 、 x o y (x, y, 0) 、 z o y (0, y, z) \end{matrix}$
在坐标对称点：
$\begin{matrix} 原点： (- x, - y, - x) \\ x 轴： (x, - y, - z) \\ y 轴： (- x, y, - z) \\ z 轴： (- x, - y, z) \end{matrix}$
面对称：
$x o z (x, - y, z) 、 y o z (- x, y, z) 、 x o y (x, y, - z)$

空间两点间的距离公式

| M_{1} M_{2} | = \sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2} + (z_{2} - z_{1})^{2}}

平面两点距离公式：

| M_{1} M_{2} | = \sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}}

2. 向量代数

既有大小又有方向的量称为向量。

2.1 向量的加减与乘除运算

向量的加减法
向量的加减可以借助三角形法则和平行四边形法则
向量的加法：
由向量的加法可以突出向量减法

向量的减法：

向量的乘法
$\lambda$ $\overrightarrow{a}$ $\lambda\overrightarrow{a}$ 。
$|\lambda\overrightarrow{a}|=|\lambda||\overrightarrow{a}|$ $\lambda>0$ $\lambda\overrightarrow{a}$ $\overrightarrow{a}$ $\lambda<0$ $\lambda\overrightarrow{a}$ $\overrightarrow{a}$ $\lambda=0$ $\lambda\overrightarrow{a}=0$ ，方向为任意。
向量的加减乘除运算规律
向量运算规律符合普通运算规律。
$\overrightarrow{a}$ $\overrightarrow{a^0}$ $\overrightarrow{a}$ 同方向的单位向量，由向量的数乘定义有
$\begin{matrix} \vec{a} = | \vec{a} | \vec{a^{0}} \end{matrix}$
从而有：
$\vec{a^{0}} = \frac{1}{| \vec{a} |} \vec{a}$
$+$ $-$

2.2 向量的模与方向余弦

$M_1(x_1,y_1,z_1)$ $M_2(x_2,y_2,z_2)$ $\overrightarrow{M_1M_2}$ 坐标表达式为：
$\vec{M_{1} M_{2}} = {x_{2} - x_{1}, y_{2} - y_{1}, z_{2} - z_{1}}$
$\overrightarrow{a}$ $O$ 的距离。即
$| \vec{a} | = | \vec{O M} | = \sqrt{a_{x}^{2} + a_{y}^{2} + a_{z}^{2}}$
根据向量的模可以推出方向余弦：
$\begin{matrix} {\begin{matrix} c o s α = & \frac{a_{x}}{\sqrt{a_{x}^{2} + a_{y}^{2} + a_{z}^{2}}} \\ c o s β = & \frac{a_{y}}{\sqrt{a_{x}^{2} + a_{y}^{2} + a_{z}^{2}}} \\ c o s γ = & \frac{a_{z}}{\sqrt{a_{x}^{2} + a_{y}^{2} + a_{z}^{2}}} \end{matrix} \end{matrix}$
并且同一方向上 $cos^2\alpha+cos^2\beta+cos^2\gamma=1$
$\overrightarrow{a}$ 同方向的单位向量¹为：
$\vec{a^{0}} = \frac{\vec{a}}{| \vec{a} |} = \frac{1}{| \vec{a} |} {a_{x}, a_{y}, a_{z}} = {c o s α, c o s β, c o s γ}$
$cos\alpha$ $\overrightarrow{a}$ $x$ $cos\beta$ $\overrightarrow{a}$ $y$ $cos\gamma$ $\overrightarrow{a}$ $z$ 轴方向夹角的余弦值
单位向量的求法：求出一个向量的模，然后用向量的模分之一乘以原向量。

2.3 两向量的数量积(点乘)

任意向量的数量积
$\overrightarrow{a}$ $\overrightarrow{b}$ $\theta$ ，则乘积为：
$\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | | \vec{b} | c o s θ$
向量的数量积运算规律仍符合基本运算规律。
数量积的坐标表示
$\overrightarrow{a}=\{a_x,a_y,a_z\}$ $\overrightarrow{b}=\{b_x,b_y,b_z\}$ ，则有
$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_{x} b_{x} + a_{y} b_{y} + a_{z} b_{z}$
因此向量积的坐标表示就是它们对应坐标乘积之和。
通过上面我们可以得到两向量夹角的余弦表达式和互相垂直即平行的充分必要条件的坐标表达式
两向量坐标余弦值：
$c o s θ = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{| \vec{a} | | \vec{b} |} = \frac{a_{x} b_{x} + a_{y} b_{y} + a_{z} b_{z}}{\sqrt{a_{x}^{2} + a_{y}^{2} + a_{z}^{2}} \sqrt{b_{x}^{2} + b_{y}^{2} + b_{z}^{2}}}$
$\overrightarrow{a}·\overrightarrow{a}=|\overrightarrow{a}|^2$
两向量垂直充分必要条件：
$\vec{a} ⊥ \vec{b} ⟹ \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$
两向量平行的充分必要条件：
$\vec{a} ∥ \vec{b} ⟹ \frac{a_{x}}{b_{x}} = \frac{a_{y}}{b_{y}} = \frac{a_{z}}{b_{z}}$
$\angle ABC$ $\overrightarrow{AB}和\overrightarrow{CB}$ 为向量计算夹角。

2.4 两向量的向量积(叉乘)

两向量的向量积除了交换律，其他都符合基本运算规律。
向量积主要用于计算两向量同时垂直一直线的情况。
$\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}=-\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{a}$ (逆为正顺为负)
$\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{a}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{a}|sin(\overrightarrow{a}\land\overrightarrow{b})=0$ ²

向量积的计算方法

\begin{matrix} \vec{a} \times \vec{b} = | \begin{matrix} i & j & k \\ a_{x} & a_{y} & a_{z} \\ b_{x} & b_{y} & b_{z} \end{matrix} | \end{matrix}

$i/j/k$ $-$ 有对角

\begin{matrix} 如 ： i | \begin{matrix} a_{y} & a_{z} \\ b_{y} & b_{z} \end{matrix} | - j | \begin{matrix} a_{x} & a_{z} \\ b_{x} & b_{z} \end{matrix} | + k | \begin{matrix} a_{x} & a_{y} \\ b_{x} & b_{y} \end{matrix} | \end{matrix}

$0$

\vec{a} ∥ \vec{b} ⟹ \vec{a} \times \vec{b} = 0

2.5 向量的投影计算(补充)

\begin{matrix} \vec{a} 在 \vec{b} 上 的 投 影 ： P r j_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{| \vec{b} |} \\ \vec{b} 在 \vec{a} 上 的 投 影 ： P r j_{\vec{a}} \vec{b} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{| \vec{a} |} \end{matrix}

3. 平面及其方程

3.1 平面的点法式方程

$n$ $n$ $n$ 为该平面的法向量。
点法式方程：
$A (x - x_{0}) + B (y - y_{0}) + C (z - z_{0}) = 0$
$n=\{A,B,C\}$ $M_0=\{x_0,y_0,z_0\}$ $M_0$ $\overrightarrow{M_1M_2}与\overrightarrow{M_1M_3}$ $M_1$ 。

3.2 平面的一般方程

将上面的点法式方程展开得
$A x + B y + C z + D = 0$
$D$ 是平面到坐标轴距离。
由平面得一般方程，可得它的一些特殊情况和图形特征
$D=0$ $C=0$ $z$ $B=0$ $y$ $A=0$ $x$ 轴。
$A=D=0$ $x$ $x$ $B=D=0或C=D=0$ $y$ $z$ 轴。
$A=B=0$ $x$ $y$ $xOy$ $z$ $B=C=0或A=C=0$ $yOz$ $zOx$ $x$ $y$ 轴)。
$A=B=D=0$ $z=0$ $xOy$ $xOy$ $B=C=D或A=C=D$ $yOz$ $zOx$ 。

$\Large 例：设一平面通过y轴，且过点(4，-2，-1),求此平面$

\begin{aligned} 解 ： \\ 由 题 可 得 平 面 过 y 轴 ， 即 B = 0 ， D = 0 ： \\ 可 设 方 程 为 ： A x + C z = 0 \\ 因 为 平 面 过 点 (4, - 2, - 1) ， 所 以 C = 4 A \\ 所 以 所 求 方 程 为 ： x + 4 z = 0 \end{aligned}

3.3 平面得截距式方程

$P(a,0,0)，Q(0,b,0)，R(0,0,c)$ $a,b,c$ $Ax+By+Cz+D=0$ $P,Q,R$ 在平面上，可得截距式方程为：
$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$

3.4 两平面的相互位置关系

$\parallel_1与\parallel_2$ 方程分别为：
$\begin{matrix} A_{1} x + B_{1} y + C_{1} z + D_{1} = 0 \\ 和 A_{2} x + B_{2} y + C_{2} z + D_{2} = 0 \end{matrix}$
它们的法向量为：
$n_{1} = {A_{1}, B_{1}, C_{1}} ， n_{2} = {A_{2}, B_{2}, C_{2}}$

$n_1$ $n_2$ ，即
$\frac{A_{1}}{A_{2}} = \frac{B_{1}}{B_{2}} = \frac{C_{1}}{C_{2}}$
$n_1垂直于n_2$ ，即
$A_{1} A_{2} + B_{1} B_{2} + C_{1} C_{2} = 0$
$n_1与n_2$ $n_1=\{A_1,B_1,C_1\}，n_2=\{A_2,B_2,C_2\}$
$c o s θ = \frac{| n_{1} \cdot n_{2} |}{| n_{1} | | n_{2} |} = \frac{| A_{1} A_{2} + B_{1} B_{2} + C_{1} C_{2} |}{\sqrt{A_{1}^{2} + B_{1}^{2} + C_{1}^{2}} \sqrt{A_{2}^{2} + B_{2}^{2} + C_{2}^{2}}}$
$|n_1·n_2|$ 为两个法向量点乘的绝对值。

3.5 点到平面的距离公式

$P_0(x_0,y_0,z_0)$ $n=\{A,B,C\}$ ，则点到平面距离公式为：

d = \frac{| A x_{0} + B y_{0} + C z_{0} + D |}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}

从而也可以得到点到直线距离：

d = \frac{| A x_{0} + B y_{0} + C |}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}

平面到平面的距离公式为：

d = \frac{| D_{2} - D_{1} |}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}

4. 空间直线方程

$s$ $\overrightarrow{s}=\{m,n,p\}$ $l$ $M_0(x_0,y_0,z_0)$ $l$ 的点向式方程为：
$\frac{x - x_{0}}{m} = \frac{y - y_{0}}{n} = \frac{z - z_{0}}{p}$

4.1 空间直线的参数方程

$\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}=t\\$ $t$ 为参数，则

\begin{matrix} {\begin{matrix} x = x_{0} + m t \\ y = y_{0} + n t \\ z = z_{0} + p t \end{matrix} \end{matrix}

4.2 空间直线的一般方程

$A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0$ $A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0$ ，则称联立方程组

\begin{matrix} {\begin{matrix} A_{1} x + B_{1} y + C_{1} z + D_{1} = 0 \\ A_{2} x + B_{2} y + C_{2} z + D_{2} = 0 \end{matrix} \end{matrix}

$A_1,B_1,C_1与A_2,B_2,C_2$ 不成比例)
直线的点向式方程与一般式方程可以互相转换，在点向式方程中将两个等式联立，便得到直线的一般式方程。
在一般式方程中只要能确定直线的方向向量和直线上一点，便能转化为直线的点向式方程。

一般方程转化为点向式方程：

$\Large 例：将直线x+2y+3z=4与-3x+y+2z=9化为对称式方程和参数方程$

\begin{aligned} 解 ： \\ 令 z = 0 ， 则 方 程 组 为 ： {\begin{array}{c} x + 2 y = 4 \\ - 3 x + y = 9 \end{array} \\ 解 得 x = - 2 ， y = 3, 即 点 (- 2, 3, 0) 为 直 线 上 的 一 点 \\ 由 于 直 线 分 别 在 两 个 已 知 平 面 上 ， 所 以 直 线 的 方 向 向 量 s 同 时 垂 直 于 两 个 平 面 的 法 向 量 : \\ n_{1} = {1, 2, 3} ， n_{2} = {- 3, 1, 2} \\ 因 而 可 取 s = n_{1} \times n_{2}, 即 \\ s = | \begin{matrix} i & j & k \\ 1 & 2 & 3 \\ - 3 & 1 & 2 \end{matrix} | = i - 11 j + 7 k \\ 于 是 ， 直 线 的 对 称 式 方 程 为 ： \frac{x + 2}{1} = \frac{y - 3}{- 11} = \frac{z}{7} \\ 参 数 方 程 为 ： {\begin{array}{c} x = - 2 + t \\ y = 3 - 11 t \\ z = 7 t \end{array} \end{aligned}

参数方程化为一般方程

方法一：

化为一般式即为将直线表示为两个平面的交线，事实上，点向式方程的等式中任何两项相等都是一个平面因此，平面的一般式可直接写为

\begin{matrix} {\begin{matrix} \frac{x - x_{0}}{a} = \frac{y - y_{0}}{b} \\ \frac{y - y_{0}}{b} = \frac{z - z_{0}}{c} \end{matrix} 即 为 {\begin{matrix} b (x - x_{0}) = a (y - y_{0}) \\ c (y - y_{0}) = b (z - z_{0}) \end{matrix} \end{matrix}

方法二：

求出直线方向向量的两个法向量，分别联立直线上的点坐标组成平面的点法式方程，展开成平面一般式方程，然后联立起来就是直线的交面式（一般式）方程组了。
已知方向向量求两个法向量：用构造法和方向向量点乘为零即可。

4.3 空间直线与直线的位置关系

$L_1，L_2$ 的方程分别为：

\begin{matrix} \frac{x - x_{1}}{m_{1}} = \frac{y - y_{1}}{n_{1}} = \frac{z - z_{1}}{p_{1}} \\ \frac{x - x_{2}}{m_{2}} = \frac{y - y_{2}}{n_{2}} = \frac{z - z_{2}}{p_{2}} \\ 则 ： 方 向 向 量 s_{1} = {m_{1}, n_{1}, p_{1}} ， s_{2} = {m_{2}, n_{2}, p_{2}} \end{matrix}

两直线互相平行的充分必要条件是
$\frac{m_{1}}{m_{2}} = \frac{n_{1}}{n_{2}} = \frac{p_{1}}{p_{2}}$
两直线互相垂直的充分必要条件是
$m_{1} m_{2} + n_{1} n_{2} + p_{1} p_{2} = 0$
$\varphi$ $\varphi$ $s_1与s_2$ 的余弦公式确认，即
$c o s φ = \frac{| \vec{s_{1}} \cdot \vec{s_{2}} |}{| \vec{s_{1}} | | \vec{s_{2}} |} = \frac{| m_{1} m_{2} + n_{1} n_{2} + p_{1} p_{2} |}{\sqrt{m_{1}^{2} + n_{1}^{2} + p_{1}^{2}} \sqrt{m_{2}^{2} + n_{2}^{2} + p_{2}^{2}}}$

4.4 空间直线与平面的位置关系

$L:\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}$ $\parallel:Ax+By+Cz+D=0$ $\overrightarrow{s}=\{m,n,p\}$ $\overrightarrow{n}=\{A,B,C\}$

$L$ $\parallel$ 的充分必要条件是
$A m + B n + C p = 0$
$L$ $\parallel$ 的充分必要条件是
$\frac{A}{m} = \frac{B}{n} = \frac{C}{p}$
$L$ $\parallel$ $L$ $\parallel$ $L$ $\parallel$ $l$ $\varphi$ $\theta$ $L$ $\overrightarrow{s}$ $\parallel$ $\overrightarrow{n}$ 的夹角，即
$\begin{matrix} φ = \frac{π}{2} - θ 或 φ = θ - \frac{π}{2} \\ 于是： s i n φ = | c o s θ | = \frac{| \vec{n} \cdot \vec{s} |}{| \vec{n} | \cdot | \vec{s} |} \\ 即： s i n φ = \frac{| A m + B n + C p |}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}} \sqrt{m^{2} + n^{2} + p^{2}}} \end{matrix}$
$l$ $\pi$ 内，则有以下两个结论
$\begin{matrix} {\begin{matrix} l ∥ π \overset{从而可得到}{\Rightarrow} \vec{n} ⊥ \vec{s} \\ l 上至少有一点在 π 内 (一般找直线为零的点) \end{matrix} \end{matrix}$

5. 二次曲面与空间曲线

5.1 二次曲面(未)

球面方程
球面方程是一个三元二次方程，方程为：
$\begin{matrix} (x - x_{0})^{2} + (y - y_{0})^{2} + (z - z_{0})^{2} = R^{2} \\ 当球心在原点时，球面方程为： x^{2} + y^{2} + z^{2} = R^{2} \end{matrix}$
椭球面
椭球面也是一个三元二次方程，方程为：
$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1$
柱面
三元或二元方程
柱面特点：在平面直角坐标系下是什么曲线方程，则在空间直角坐标系下就是什么柱面方程。如：在直角坐标系中是圆，则在空间直角坐标系下是圆柱。
$0$ 。
常见柱面方程：
$\begin{matrix} x^{2} + y^{2} = R^{2} \\ \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 \\ \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 \\ x^{2} - 2 p y = 0 \end{matrix}$
所对应的图像如下：
柱面图像：
圆锥面
是三元二次方程
方程：
$z = \pm \sqrt{x^{2} + y^{2}}$
$y轴$ 旋转方程
$z = \pm \sqrt{x^{2} + z^{2}} 或 x = \pm \sqrt{x^{2} + z^{2}}$
$x轴$ 旋转方程
$y = \sqrt{z^{2} + y^{2}} 或 z = \sqrt{z^{2} + y^{2}}$
旋转抛物面与椭圆抛物面
三元二次一次方程，是坐标面上的曲线绕坐标轴旋转所形成的面。
- 旋转抛物面方程：
  $x^{2} + y^{2} = 2 p z (p > 0)$
- 椭圆抛物面方程：
  $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 2 p z (p > 0)$
单叶双曲面与双叶双曲面
是三元二次方程。
- 单叶双曲面方程
  $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} - \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1$
- 双叶双曲面方程
  $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} - \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1$
双曲抛物面
是三元二次方程，方程为
$z = - \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} (a, b > 0)$

5.2 二次曲面总结

三元二次函数是：求面、椭圆、双曲面、锥面其中一个
三元二次一次：抛物面
~~三元或~~二元方程：平面或柱面

空间曲面方程特征：

\begin{matrix} {\begin{matrix} 1. 三 元 全 二 次 (x^{2}, y^{2}, z^{2}) ： & 椭 球 、 球 面 、 双 曲 面 、 圆 锥 面 \\ 2. 三 元 二 次 一 次 ： & 抛 物 面 \\ 3. 二 元 方 程 ： & 平 面 或 柱 面, 方 程 两 个 就 是 平 面, 一 个 则 为 柱 面 \\ 4. 旋 转 曲 面 ： & 平 方 项 系 数 至 少 有 2 个 相 同, \\ 注 意 ： 在 判 断 时 先 把 平 方 项 移 至 等 式 一 边 。 \end{matrix} \end{matrix}

$x^2+y^2=R,在二维中是圆,在三维中就是圆柱面$

$y^2=x-z^2\surd,z=x^2-y^2\times$

$\Large 例:x^2-4(y-1)^2=0,是什么空间曲面$

\begin{array}{r} \begin{array}{c} 解 ： \\ x^{2} - 4 (y - 1)^{2} = 0 \\ 4 (y - 2)^{2} = x^{2} \\ y = \pm \frac{x}{2} \\ 二 维 中 y = 1 \pm \frac{x}{2} 是 两 条 直 线, 则 在 三 维 中 是 两 个 平 面 \end{array} \end{array}

5.3 空间曲线(例题)

考点一
曲线是什么图形。
方法：化简两个方程(用消元)，化简后看复杂方程在平面内是什么图形，曲线就是什么图形。
考点二
母线平行于坐标轴的投影柱面
$(x,y,z)$ 消去
考点三
关于坐标面的投影柱面方程
$(xOz,yOz...)$ $(x,y,z)$ 消去。之后再与柱面方程联立
$\Large 例：曲线z=x^2+y^2与x+y+z=1在xoy面的投影方程$
$\begin{aligned} 解： \\ ∵ & 方程在 x o y 面的投影，将方程联立消去 z 得： \\ x + y + x^{2} + y^{2} = 1 \\ 且 & 在 x o y 面 z = 0. 与上式联立得： \\ {\begin{array}{c} x + y + x^{2} + y^{2} = 1 \\ z = 0 \end{array} \\ 此方程为 x o y 面投影方程 \end{aligned}$

第九章. 多元函数微分学

1. 多元函数基本概念

有多个变量确定的函数称为多元函数
$D$ $xOy$ $D$ $P(x,y)$ $z$ $z$ $x,y$ 的二元函数，记作

z = f (x, y) (或 z = f (p))

$D$ $x,y$ $z$ 称为因变量，数集

W = {z | z = f (x, y), (x, y) \in D}

称为该函数的值域。

$\Large 例：z=ln(x+y)$

\begin{aligned} 解 ： \\ ∵ & x, y 应 满 足 x + y > 0 ， 所 以 ， 定 义 域 D = {(x, y) | x + y > 0} \\ 它 是 一 个 无 界 的 开 区 域 \end{aligned}

1.1 二元函数的极限

$P(x,y)$ $P_0(x_0,y_0)$ $f(x,y)$ $A$ $A$ $f(x,y)$ $(x,y)\to(x_0,y_0)$ 时的极限，记作

lim_{(x, y) \to (x_{0}, y_{0})} f (x, y) = A 或 lim_{\binom{x \to x_{0}}{y \to y_{0}}} f (x, y) = A

$P(x,y)\to P_0(x_0,y_0)$ $P(x,y)$ $P_0(x_0,y_0)$ $A$ $P(x,y)$ $P_0(x_0,y_0)$ 时，对应的函数值趋近于两个不同的常数，则二元函数的极限不存在。

1.2 常考题型

题型一
证明极限不存在。
方法：
方法一：利用定义定义，证明当函数在不同趋近方式时，极限值不同，就可以证明极限不存在。
$y=kx$ $x与kx$ $P_0(x_0,y_0)$ $k$ $k$ 值我们不能确定，所以极限值也不确定。固极限不存在。
$\Large 例1：证明\lim\limits_{x\rightarrow 0\atop y\rightarrow 0}\frac{xy}{x^2+y^2}不存在$
$\begin{aligned} 证： \\ 方法一： & 当点 (x, y) 沿着 x 轴趋近于原点 (0, 0) 时，即 y = 0 且 x \to 0 ，有 \\ lim_{\binom{x \to 0}{y \to 0}} \frac{x y}{x^{2} + y^{2}} = lim_{\binom{x \to 0}{y = 0}} \frac{x y}{x^{2} + y^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{0}{x^{2}} = 0 \\ 当点 (x, y) 沿直线 y = x 趋近于原点 (0, 0) ，即 y = x, x \to 0 ，有 \\ lim_{\binom{x \to 0}{y \to 0}} \frac{x y}{x^{2} + y^{2}} = lim_{\binom{x \to 0}{y = x}} \frac{x y}{x^{2} + y^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{2 x^{2}} = \frac{1}{2} \\ 由此可得极限值在趋近方式不同时，值不同，则极限不存在 \\ 方法二： & 令 y = k x 则 lim_{\binom{x \to 0}{y \to 0}} \frac{x y}{x^{2} + y^{2}} = lim_{\binom{x \to 0}{k x \to 0}} \frac{x \cdot k x}{x^{2} + (k x)^{2}} = \frac{k}{1 + k^{2}} \\ 由于 k 值不确定，所以极限不存在 \end{aligned}$
题型二
求二元函数极限
方法：基本与一元函数一致，但洛必达法则不能随便使用
$\Large 例2：求\lim\limits_{x\rightarrow 0\atop y\rightarrow 0}\frac{xy}{\sqrt{xy+1}-1}$
$\begin{aligned} 解： \\ 当 x \to 0, 且 y \to 0 时， \sqrt{x y + 1} - 1 \sim \frac{1}{2} x y \\ 原式 = lim_{\binom{x \to 0}{y \to 0}} \frac{x y}{\frac{1}{2} x y} = 2 \end{aligned}$
$\Large 例3：求\lim\limits_{x\rightarrow 0\atop y\rightarrow 1}\frac{sin(xy)}{x}$
$\begin{aligned} 解： \\ 当 x \to 0, 且 x y \to 0 时， s i n x y \sim x y \\ 原式 = lim_{\binom{x \to 0}{y \to 1}} \frac{x y}{x} = 1 \end{aligned}$

1.3 二元函数连续性和可导性

连续性

$f(x,y)$ $D$ $P_0(x_0,y_0)$ $D$ $P_0\in D$ .若

lim_{\binom{x \to x_{0}}{y \to y_{0}}} f (x, y) = f (x_{0}, y_{0})

即如果函数满足：
极限存在并且相等
极限等于函数值
$f(x,y)$ $P_0(x_0,y_0)$ 处连续。
$D$ $f(x,y)$ $D$ $f(x,y)$ $D$ 内的连续函数。
$P_0$ $P_0$ $f(x,y)=sin\frac{1}{x^2+y^2-1}$ $x^2+y^2=1$ 上没有定义，所以该圆周上各点都是间断的。

可导性

二元函数中：

连续和可导之间没有关系。
可微(全微分)必连续、偏导存在，反之则不行。
偏导存在且连续可知函数可微。

二元函数连续和偏导：

1.4 二元连续函数的性质

性质一(最值定理)：在有界闭区域上的连续函数必有最大值与最小值。
$D$ $D$ $D$ 上的最大值与最小值之间的任何值至少一次。
性质三：多元连续函数的复合函数也是连续函数。
性质四：一切多元初等函数在其定义域内是连续的。

2. 偏导数

$z=f(x,y)$ $P_0(x_0,y_0)$ $y$ $y_0(y=y_0)$ $x$ $x_0$ $\Delta x$ $\Delta z_x$ $\Delta z_x$ $z$ $x$ 的偏增量)，即

Δ z_{x} = f (x_{0} + Δ x, y_{0}) - f (x_{0}, y_{0})

$x$ 的偏导数可表示为：

f_{x}^{'} (x_{0}, y_{0}) = lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ z_{x}}{Δ x} = lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x_{0} + Δ x, y_{0}) - f (x_{0}, y_{0})}{Δ x}

$y$ 的偏导数可表示为：

f_{y}^{'} (x_{0}, y_{0}) = lim_{Δ y \to 0} \frac{Δ z_{y}}{Δ y} = lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x_{0}, y_{0} + Δ x) - f (x_{0}, y_{0})}{Δ y}

上面的可简写为：

\frac{\partial z}{\partial x} 、 \frac{\partial f}{\partial y} . . .

2.1 偏导数的计算及可导与连续的关系

$x$ $y$ $y$ $x$ 看作常量。
可导与连续的关系：对于二元函数，可导不一定连续，连续不一定可导。也就是连续与可导互不相干。

2.2 高阶偏导数

高阶偏导数写法为：

\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} 、 \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y} 、 \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}} 、 \frac{\partial^{2} z}{\partial y \partial x}

$\frac{\partial^2z}{\partial y\partial x}$ $\frac{\partial^2z}{\partial x\partial y}$ $P(x,y)$ $P(x,y)$ 处它们相等，即

\frac{\partial^{2} z}{\partial y \partial x} = \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}

高阶偏导数解法：

\begin{matrix} \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} = \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial z}{\partial x}) = f_{x x}^{″} (对 x 求 偏 导 基 础 上 再 对 x 求 偏 导) \\ \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}} = \frac{\partial}{\partial y} (\frac{\partial z}{\partial y}) = f_{y y}^{″} (对 x 求 偏 导 基 础 上 再 对 x 求 偏 导) \\ \frac{\partial^{2} z}{\partial y \partial x} = \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (\frac{\partial z}{\partial x}) = f_{x y}^{″} (对 x 求 偏 导 基 础 上 对 y 求 偏 导) \end{matrix}

3. 全微分及其应用

$z=f(x,y)$ $P(x,y)$ $U(P)$ $P$ $x,y$ $\Delta x,\Delta y$ $\Delta z$ ，即

Δ z = f (x + Δ x, y + Δ y) - f (x, y)

$\Delta z$ $z$ $P$ 处的全增量。
由此可以得到全微分公式为：

d z = \frac{\partial z}{\partial x} d x + \frac{\partial z}{\partial y} d y (z 对 x 求 偏 导 \cdot d x + z 对 y 求 偏 导 \cdot d y)

3.1 可微与连续可导关系

$z=f(x,y)$ $f'_x(x,y)，f'_y(x,y)$ $P(x,y)$ $z=f(x,y)$ $P(x,y)$ 处可微。

可微关系：

3.2 全微分近似计算

近似公式：

f (x + Δ x, y + Δ y) \approx f (x, y) + f_{x}^{'} (x, y) Δ x + f_{y}^{'} (x, y) Δ y

$f(x,y)$ $\Delta x与\Delta y$ 为极小量。

$\Large 例：求(1.05)^{2.01}的近似值$

\begin{aligned} 解 ： \\ 设 z = f (x, y) = x^{y} ， 则 f_{x}^{'} (x, y) = y x^{y - 1}, f_{y}^{'} (x, y) = x^{y} l n x \\ 于 是 有 ： f (x + Δ x, y + Δ y) \approx x^{y} + y x^{y - 1} Δ x + x^{y} l n x Δ y \\ 令 x = 1, y = 2, Δ x = 1.05 - 1 = 0.05, Δ y = 0.01 \\ 则 f_{x}^{'} (1, 2) = 2, f_{y}^{'} (1, 2) = 0 \\ 所 以 (1.05)^{2.01} \approx f (1, 2) + f_{x}^{'} (1, 2) Δ x + f_{y}^{'} (1, 2) Δ y \\ = 1 + 2 \times 0.05 + 0 \times 0.01 = 1.1 \end{aligned}

4. 多元复合函数与隐函数的求导法则

$z(x,y)=f(e^xsiny,x^2+y^2)$
$z(x,y)=f(x,y)$
$z(x,y)=e^{xy}ln(x+y)$

4.1 多元复合函数的求导

链导公式：
$u=u(x,y),v=v(x,y)$ $(x,y)$ $z=f[u(x,y),v(x,y)]$ $(x,y)$ 处可导。且

\begin{matrix} \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x} \\ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial y} \end{matrix}

变量关系图如下：

4.2 多元复合函数求导的几种特殊情况

中间变量与自变量个数不等的情况
$\Large例1：设z=f(u,v,w),u=u(x,y),v=v(x,y),w=w(x,y),求z的偏导数$
$\begin{aligned} 解： \\ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial w} \cdot \frac{\partial w}{\partial x} \\ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial w} \cdot \frac{\partial w}{\partial y} \end{aligned}$
$\Large例2：设w=f(u,v),u=u(x,y,z),v=v(x,y,z),求w的偏导数$
$\begin{aligned} 解： \\ \frac{\partial w}{\partial x} = \frac{\partial w}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial w}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x} \\ \frac{\partial w}{\partial y} = \frac{\partial w}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial y} \\ \frac{\partial w}{\partial z} = \frac{\partial w}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial z} + \frac{\partial w}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial z} \end{aligned}$
从上面我们可以看出，多元复合函数中有几个中间变量，链导公式中就有几项相加；有几个自变量就有几个链导公式。
中间变量同时又是自变量的情况
$\Large例1：设z=f(x,y,u),u=u(x,y),求z的偏导数$
其变量关系图如下：
中间变量同时又是自变量：
$\begin{aligned} 解： \\ \frac{\partial z}{\partial x} = & \frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} \\ = & \frac{\partial z}{\partial x} \cdot 1 + \frac{\partial z}{\partial y} \cdot 0 + \frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} \\ = & \frac{\partial z}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} \end{aligned}$
$(u=u(x,y)则另外两个中间变量对应的自变量也为x,y)$
$\frac{\partial z}{\partial x}$ ，我们通常写为以下形式：
$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x}$
$\Large例2：已知z=(1+xy)^y,求\frac{\partial z}{\partial x}$
$\begin{aligned} 解： \\ 设 u = 1 + x y, 则 z = f (u, y) = u^{y}, 其变量关系图如下 \\ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial f}{\partial y} = y u^{y - 1} x + u^{y} l n u \\ = x y (1 + x y)^{y - 1} + (1 + x y)^{y} l n (1 + x y) \end{aligned}$
换元变量关系图：
一个自变量的情况
$z=f(u,v),u=u(x),v=v(x)$ $z=f[u(x),v(x)]$ $z$ $x$ $z$ $x$ $\frac{dz}{dx}$ ，称之为全导数。由链导公式有：
$\frac{d z}{d x} = \frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{d u}{d x} + \frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{d v}{d x}$
其对应的变量关系图如下：
一个自变量变量关系图：
$\frac{dz}{dx}$ 的形式。

4.3 抽象函数偏导数。

$z=f(xy,x+y^2)$

$\Large例：设z=f(xy,x+y)，求\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y}$

\begin{aligned} 解 ： \\ 令 u = x y, v = x + y, 则 z = f (u, v) \\ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x} = y \frac{\partial f}{\partial u} + \frac{\partial f}{\partial v} \\ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial f}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial f}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial y} = x \frac{\partial f}{\partial u} + \frac{\partial f}{\partial v} \end{aligned}

4.4 隐函数的求导法则

$y$ $x$ $F(x,y)=0$ 是一元隐函数，它由二元方程确定。

一元隐函数求导公式：

\frac{d y}{d x} = - \frac{F_{x}^{'}}{F_{y}^{'}} (所 给 方 程 关 于 x 的 导 数 除 以 关 于 y 的 导 数)

二元隐函数的求导公式：

\frac{\partial z}{\partial x} = - \frac{F_{x}^{'}}{F_{z}^{'}} ， \frac{\partial z}{\partial y} = - \frac{F_{y}^{'}}{F_{z}^{'}}

5. 方向导数与梯度

5.1 方向导数

$方向余弦\times多元函数偏导数$ 。即

\frac{\partial f}{\partial l} = \frac{\partial f}{\partial x} c o s α + \frac{\partial f}{\partial y} c o s β

$\alpha与\beta$ $l$ 的方向角。由前面所学的知识我们可以知道，方向余弦的平方和等于1。即 $cos^2\alpha+cos^2\beta+cos^2\gamma=1$
$u=f(x,y,z)$ $P(x,y,z)$ $z$ 在该点处沿任一方向

\frac{\partial f}{\partial l} = \frac{\partial f}{\partial x} c o s α + \frac{\partial f}{\partial y} c o s β + \frac{\partial f}{\partial z} c o s γ

求方向导数步骤：
$\overrightarrow{l}(一般为题中两点的向量坐标：P_1-P_0)$
$cos\alpha,cos\beta(cos\alpha=\frac{x}{|\overrightarrow{l}|}、cos\alpha=\frac{y}{|\overrightarrow{l}|})$

$\Large例：求函数u=xyz在点P_1(5,1,2)处沿从点P_1到点P_2(9,4,14)方向的方向导数。$

\begin{aligned} 解 ： \\ ∵ \frac{\partial u}{\partial x} |_{P_{1}} = y z |_{P_{1}} = 2 ， \frac{\partial u}{\partial y} |_{P_{1}} = x z |_{P_{1}} = 10 ， \frac{\partial u}{\partial z} |_{P_{1}} = x y |_{P_{1}} = 5 \\ 且 \vec{P_{1} P_{2}} = {4, 3, 12} 的 方 向 就 是 所 求 方 向 导 数 的 方 向 l \\ ∴ c o s α = \frac{4}{| P_{1} P_{2} |} = \frac{4}{13} ， c o s β = \frac{3}{| P_{1} P_{2} |} = \frac{3}{13} ， c o s γ = \frac{12}{| P_{1} P_{2} |} = \frac{12}{13} \\ ∴ 所 求 方 向 导 数 为 ： \frac{\partial u}{\partial l} = \frac{\partial u}{\partial x} |_{P_{1}} c o s α + \frac{\partial u}{\partial y} |_{P_{1}} c o s β + \frac{\partial u}{\partial z} |_{P_{1}} c o s γ = 2 \times \frac{4}{13} + 10 \times \frac{3}{13} + 5 \times \frac{12}{13} = 7 \frac{7}{13} \end{aligned}

5.2 梯度

梯度是偏导数的向量，梯度公式：

g r a d f (x, y) = {f_{x}^{'} (x, y), f_{y}^{'} (x, y)}

梯度的意义就是沿着一个方向前进的快慢，即变化率。
方向导数最大值是梯度的模，最小值为梯度模的负数。即

\begin{matrix} g_{m a x} = | g r a d f | \\ g_{m i n} = - | g r a d f | \end{matrix}

$(g_1,g_2)$ 后代入：

c o s θ = \frac{g_{1} \cdot g_{2}}{| g_{1} | | g_{2} |}

$\theta$ 就是两个梯度的夹角。

6. 偏导数的应用

6.1 空间曲线的切线与法平面

切线：空间直线(点向式)
法平面：空间平面(点向式)
$t_0$ 代入则为方向向量。
$法向量=平面方向向量$

切线方程：

\frac{x - x_{0}}{φ^{'} (t_{0})} = \frac{y - y_{0}}{ψ^{'} (t_{0})} = \frac{z - z_{0}}{ω^{'} (t_{0})}

法平面方程：

φ^{'} (t_{0}) (x - x_{0}) + ψ^{'} (t_{0}) (y - y_{0}) + ω^{'} (t_{0}) (z - z_{0}) = 0

$\Large例：求螺旋线x=cost,y=sint,z=2t在对应于点t=\frac{\pi}{3}处的切线与法平面方程$

\begin{aligned} 解 ： \\ ∵ \frac{d x}{d t} = - s i n t ， \frac{d y}{d t} = c o s t ， \frac{d z}{d t} = 2 \\ ∴ 当 t = \frac{π}{3} 时 ， 对 应 的 切 向 量 为 ； \\ T = {- \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}, 2} \\ 将 点 \frac{π}{3} 代 入 螺 旋 线 方 程 的 点 M_{0} (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{2 π}{3}) . \\ 于 是 切 线 方 程 为 ： \frac{x - \frac{1}{2}}{- \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{y - \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{z - \frac{2 π}{3}}{2} \\ ∴ 法 平 面 方 程 为 ： - \frac{\sqrt{3}}{2} (x - \frac{1}{2}) + \frac{1}{2} (y - \frac{\sqrt{3}}{2}) + 2 (z - \frac{2 π}{3}) = 0 \\ 即 ： - \sqrt{3} x + y + 4 z = \frac{8 π}{3} \end{aligned}

6.2 曲面的切平面与法线

切平面：点法式方程
法线：点向式
法向量：三个参数求偏导之后代入切点即为法向量。
$方向向量=法向量$

切平面方程：

F_{x}^{'} (x_{0}, y_{0}, z_{0}) (x - x_{0}) + F_{y}^{'} (x_{0}, y_{0}, z_{0}) (y - y_{0}) + F^{'} z (x_{0}, y_{0}, z_{0}) (z - z_{0})

法线方程：

\frac{x - x_{0}}{F_{x}^{'} (x_{0}, y_{0}, z_{0})} = \frac{y - y_{0}}{F_{y}^{'} (x_{0}, y_{0}, z_{0})} = \frac{z - z_{0}}{F_{z}^{'} (x_{0}, y_{0}, z_{0})}

$z=f(x,y)$ $f(x,y)$ $(x_0,y_0)$ $f(x,y)-z=0$ ，此时法向量为：

\vec{n} = {f_{x}^{'} (x_{0}, y_{0}), f_{x}^{'} (x_{0}, y_{0}), - 1}

$\Large例：在曲面z=xy上求一点，使该点处的法线垂直与平面x+3y+z+9=0，\\\Large并求在该点处的法线$

\begin{aligned} 解 ： \\ ∵ 设 所 求 的 点 为 M_{0} (x_{0}, y_{0}, z_{0}), 由 于 z_{x}^{'} = y, z_{y} = x, z_{z} = (z - x y)^{'} = - 1 \\ ∴ 法 向 量 \vec{n} = {y_{0}, x_{0}, - 1} \\ ∵ 因 为 法 线 垂 直 于 已 知 平 面 ， 从 而 法 线 的 方 向 向 量 \vec{n} 平 行 于 已 知 平 面 法 向 量 \vec{n_{1}} = {1, 3, 1}, 又 由 向 量 平 行 的 充 分 必 要 条 件 ， 有 ： \\ \frac{y_{0}}{1} = \frac{x_{0}}{3} = \frac{- 1}{1}, 即 x_{0} = - 3, y_{0} = - 1. 代 入 曲 面 方 程 z = x y 中 ， 得 z_{0} = 3. 于 是 ， 所 求 得 点 为 M_{0} (- 3, - 1, 3) \\ 则 法 向 量 \vec{n} = {- 1, - 3, - 1} . 所 以 法 线 方 程 为 ： \frac{x + 3}{- 1} = \frac{y + 1}{- 3} = \frac{z - 3}{- 1} \end{aligned}

6.3 多元函数得极值

二元函数的极值点一定是驻点或偏导数不存在得点。即极值点为：

\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial y} = 0

解法：
$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial y}=0$
$A=f''_{xx}(x_0,y_0),B=f''_{xy}(x_0,y_0),C=f''_{yy}(x_0,y_0)$ $\Delta=B^2-AC$
$\Delta>0$ $\Delta<0$ $A>0$ $f(x,y)$ $A<0$ 时，是极大值。

$\Large例：求函数f(x,y)=x^3+y^3-3xy$

\begin{aligned} 解 ： \\ ∵ 先 求 函 数 的 驻 点 和 使 偏 导 数 不 存 在 的 点 ， 由 方 程 组 ： \\ {\begin{array}{c} f_{x}^{'} (x, y) = 3 x^{2} - 3 y = 0 \\ f_{y}^{'} (x, y) = 3 y^{2} - 3 x = 0 \end{array} \\ 解 得 两 个 驻 点 (0, 0), (1, 1) 且 没 有 偏 导 数 不 存 在 得 情 况 \\ f_{x x}^{″} (x, y) = 6 x, f_{x y}^{″} (x, y) = - 3, f_{y y}^{″} (x, y) = 6 y \\ ∴ & 在 点 (0, 0) 处 A = 0, B = - 3, C = 0 ， Δ = B^{2} - A C = 9 > 0. 所 以 不 是 极 值 点 \\ 在 点 (1, 1) 处 ， A = 6 > 0, B = - 3, C = 6 ， Δ = B^{2} - A C = - 27 < 0 ， 是 极 值 点 且 为 极 小 值 ， 极 小 值 为 f (1, 1) = - 1 \end{aligned}

6.4 最大值和最小值

$D$ 的内部连续，且偏导数存在，且有唯一的驻点，则函数在驻点处必取得最大值(或最小值)

$\Large例：用薄板制成一个容积为V得无盖长方体水箱，如何涉及尺寸，所需要的材料才最少$

\begin{aligned} 解 ： \\ ∵ 设 水 箱 的 长 ， 宽 、 高 各 为 x, y, z ， 表 面 积 S = x y + 2 y z + 2 z x \\ 由 V = x y z, 的 z = \frac{V}{x y} ， 于 是 S = x y + \frac{2 V}{x} + \frac{2 V}{y} (x > 0, y > 0) \\ 要 想 所 用 材 料 最 省 ， 需 要 面 积 S 最 小 值, 由 方 程 组 得 ： \\ {\begin{array}{c} S_{x}^{'} = y - \frac{2 V}{x^{2}} = 0 \\ S_{y}^{'} = x - \frac{2 V}{y^{2}} = 0 \end{array} \\ 解 得 x = y = \sqrt[3]{2 V} ， 即 得 唯 一 驻 点 (\sqrt[3]{2 V}, \sqrt[3]{2 V}) \\ S 的 最 小 值 一 定 存 在 ， 且 在 区 间 D (x > 0, y > 0) 内 ， 而 在 D 内 只 有 一 个 驻 点 ， 且 无 偏 导 数 不 存 在 得 点 . \\ 所 以 当 x = y = \sqrt[3]{2 V} 时 ， S 取 最 小 值 ， 这 时 ， z = \frac{V}{x y} = \frac{\sqrt[3]{2 V}}{2} ， 于 是 水 箱 做 成 底 是 边 长 \sqrt[3]{2 V} 得 正 方 形 \\ 高 为 \frac{\sqrt[3]{2 V}}{2} 得 长 方 形 ， 所 用 材 料 最 省 \end{aligned}

6.5 条件极值

以上所讨论的极值，对于函数的自变量来说，只要求它们在定义域内变化，不再受其他条件限制，这种极值为无条件极值。
求条件极值的一般方法：拉格朗日乘数法：
$f(x,y)与g(x,y)$ $L(x,y)$ .即：
$L (x, y) = f (x, y) + λ g (x, y) (λ 为常数)$
$L(x,y)$ $x$ $L(x,y)$ $y$ $g(x,y)=0$ 为③ 构造拉格朗日方程组：
$\begin{matrix} {\begin{matrix} L_{x}^{'} = f_{x}^{'} (x, y) + λ g_{x}^{'} (x, y) = 0 \\ L_{y}^{'} = f_{y}^{'} (x, y) + λ g_{y}^{'} (x, y) = 0 \\ g (x, y) = 0 \end{matrix} \end{matrix}$
$(x,y)$ ，则它是函数的可能极值点。如果这样的点唯一，那么它就是极值点。

$\Large例：用薄板制成一个容积为V得无盖长方体水箱，如何涉及尺寸，所需要的材料才最少$

\begin{aligned} 解 ： \\ ∵ 可 以 先 构 造 拉 格 朗 日 函 数 \\ L (x, y, z) = x y + 2 y z + 2 z x + λ (x y z - v) \\ 解 方 程 组 ： {\begin{array}{c} L_{x}^{'} = y + 2 z + λ z y = 0 \\ L_{y}^{'} = x + 2 z + λ x z = 0 \\ L_{z}^{'} = 2 y + 2 x + λ x y = 0 \\ x y z - v = 0 \end{array} \\ 解 得 x = y = \sqrt[3]{2 V} ， z = \frac{\sqrt[3]{2 V}}{2} 由 于 函 数 S 有 极 值 的 可 能 点 (\sqrt[3]{2 V}, \sqrt[3]{2 V}, \frac{\sqrt[3]{2 V}}{2}) 唯 一 \\ ∴ & S 的 最 小 值 一 定 存 在 ， 所 以 当 x = y = \sqrt[3]{2 V} 时 ， z = \frac{\sqrt[3]{2 V}}{2} ， 所 用 材 料 最 省 \end{aligned}

第十章. 二重积分

1. 二重积分的概念

二重积分定义：
$z=f(x,y)$ $D$ $D$ $n$ $\Delta\sigma_i(i=1,2...,n)$ $\Delta\sigma_i$ $i$ $\lambda$ $\Delta\sigma_i$ $(\xi_i,\eta_i)$ $\sum\limits_{k=1}^nf(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i$ $\lambda\to0$ $\underset{\lambda\to0}{lim}\sum\limits_{k=1}^nf(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i$ $f(x,y)$ $D$ 上的二重积分。
$D$ $f(x,y)$ 表示的体积。即

V = \iint_{D} f (x, y) d σ

$D$ $f(x,y)$ $d\sigma$ 表是面积元素
注意：
$D$ $(\xi_i,\eta_i)$ 的取法无关
$f(x,y)$ $D$ $V=\iint\limits_Df(x,y)d\sigma$ $f(x,y)$ $D$ 上是可积的
$f(x,y)<0$ $xOy$ 二重积分为负值 $f(x,y)$ $D$ 上的一步分区域上是正的，在其他部分区域是负的，则二重积分并不等于曲顶柱体的体积，而是等于各部分区域上积分的代数和。即：
$V = \iint_{D} | f (x, y) | d σ = \iint_{D_{1}} - f (x, y) d σ + \iint_{D_{2}} f (x, y) d σ$
$-f(x,y)与f(x,y)$ $D_1与D_2$ $D$ $-f(x,y)$ $f(x,y)$ 两种区域。其本质是将被积函数变为分段函数。
$\iint\limits_Df(x,y)d\sigma$ $D$ $z=f(x,y)$ 为顶的曲顶柱体的体积。

1.1 二重积分的性质

性质一：

\iint_{D} [f (x, y) \pm g (x, y)] d σ = \iint_{D} f (x, y) d σ \pm \iint_{D} g (x, y) d σ

性质二：

\iint_{D} k f (x, y) d σ = k \iint_{D} f (x, y) d σ

$D$ $D=D_1+D_2$ ，则

\iint_{D} f (x, y) d σ = \iint_{D_{1}} f (x, y) d σ + \iint_{D_{2}} f (x, y) d σ

$D$ $f(x,y)=1$ $\sigma为D$ 的面积，则

σ = S_{D} = \iint_{D} d σ (即 为 柱 体 的 底 面 积 ， 高 为 1 的 平 顶 柱 体 体 积)

$D$ $f(x,y)\le g(x,y)$ ，则有

\iint_{D} f (x, y) d σ \leq \iint_{D} g (x, y) d σ

$f(x,y)和g(x,y)$ 恒等时，才成立

$M和m$ $f(x,y)$ $D$ $\sigma$ $D$ 的面积，则

m σ \leq \iint_{D} f (x, y) d σ \leq M σ

$f(x,y)$ 最大值和最小值，再代入公式，此性质也被称为估值定理

$f(x,y)$ $D$ $\sigma$ $D$ $D$ $(\xi_i,\eta_i)$ ，使得

\iint_{D} f (x, y) d σ = f (ξ_{i}, η_{i}) \cdot σ

$f(x,y)\ge0$ $D$ $(\xi_i,\eta_i)$ $D$ $(\xi_i,\eta_i)$ 为高的平顶柱体的体积。

1.2 估计定理计算积分与二重积分比较

$\Large例：估计积分I=\iint\limits_D(x^2+4y^2+9)d\sigma的值，其中D是圆形区域：x^2+y^2\le4$

\begin{aligned} 解 ： \\ ∵ f (x, y) = (x^{2} + y^{2}) + 3 y^{2} + 9 \\ ∴ f (x, y) 在 圆 周 上 点 (0, 2) 与 (0, - 2) 处 取 得 最 大 值 ， 在 圆 心 处 取 得 最 小 值 ， 即 \\ M = f (x, y) |_{(0, 2) / (0, - 2)} = 25, m = f (x, y) |_{0, 0} = 9 \\ 而 σ = π 2^{2} = 4 π, 所 以 ： 根 据 估 值 定 理 可 得 ： \\ 36 π \leq \iint_{D} (x^{2} + 4 y^{2} + 9) d σ \leq 100 π \end{aligned}

求估计步骤：
$\sigma(D围成图形面积)$
$F(x,y)=f(x,y)$ $(M,m)$
$M·\sigma$ $m·\sigma$ 为二重积分最小值
比较二重积分可以运用性质五，注意：积分区域相同，看被积函数大小。如果被积函数相同，看被积区域的大小。

2. 二重积分的计算

2.1 直角坐标下的二重积分计算

$X$ 型区域
$X$ $X$ 型。
$X$ $D$ $x$ $y$ 轴上为围成图形两个函数，大小为从上到下。即
$\begin{matrix} {\begin{matrix} a \leq x \leq b \\ φ_{1} (x) \leq y \leq φ_{2} (x) \end{matrix} \end{matrix}$
解法：
$\iint_{D} f (x, y) d σ = \int_{a}^{b} d x \int_{φ_{1} (x)}^{φ_{2} (x)} f (x, y) d y$
$y$ $x$ 的积分中(前半部分)。
$Y$ 型区域
$Y$ $Y$ 型。
$Y$ $D$ $y$ $x$ 轴上为围成图形两个函数，大小为从左到右。即
$\begin{matrix} {\begin{matrix} c \leq x \leq d \\ ψ_{1} (x) \leq y \leq ψ_{2} (x) \end{matrix} \end{matrix}$
解法：
$\iint_{D} f (x, y) d σ = \int_{c}^{d} d y \int_{ψ_{1} (x)}^{ψ_{2} (x)} f (x, y) d y$
$y$ $x$ 的积分中(前半部分)。

2.2 二重积分的化简

化简1
满足条件：
1. 满足积分中两个定积分上下限都是常数
2. $x$ $x$ $y$ 的函数
$\int_a^bg(x)dx·\int_b^cf(y)dy$
$\int_0^1dx\int_1^2x^2ydy=\int_0^1x^2dx·\int_1^2ydy=\frac{1}{3}·\frac{3}{2}=\frac{1}{2}$
化简2：
利用积分区域的对称性和被积函数奇偶性化简(积0偶倍)
- $D$ $y$ 轴对称
  $\begin{matrix} \iint_{D} f (x, y) d σ {\begin{matrix} 0 & 被积函数关于 x 轴为奇函数 \\ 2 \iint_{D_{1}} f (x, y) d σ & 被积函数关于 x 轴为偶函数 (D_{1} 为 D 的一半) \end{matrix} \end{matrix}$
- $D$ $x$ 轴对称
  $\begin{matrix} \iint_{D} f (x, y) d σ {\begin{matrix} 0 & 被积函数关于 y 轴为奇函数 \\ 2 \iint_{D_{1}} f (x, y) d σ & 被积函数关于 y 轴为偶函数 (D_{1} 为 D 的一半) \end{matrix} \end{matrix}$
二元函数判断奇偶性
$z=f(x,y)$ $x$ 的奇偶性
$\begin{matrix} \underset{把 (x, y) 中的 x 变为 - x}{f (x, y)} {\begin{matrix} 若 = f (x, y) ⟹ 关于 x 为偶函数 \\ 若 = - f (x, y) ⟹ 关于 x 为奇函数 \end{matrix} \\ \underset{把 (x, y) 中的 y 变为 - y}{f (x, y)} {\begin{matrix} 若 = f (x, y) ⟹ 关于 y 为偶函数 \\ 若 = - f (x, y) ⟹ 关于 y 为奇函数 \end{matrix} \end{matrix}$
$\Large例：求z=x^2y的奇偶性$
$\begin{aligned} 解： \\ 当 x = - x 时， z = x^{2} y = z (- x)^{2} y \\ ∴ & z (x, y) 关于 x 轴为偶函数 \\ 当 y = - y 时， z = x^{2} (- y) = - z \\ ∴ & z (x, y) 关于 y 轴为奇函数 \end{aligned}$

2.3 极坐标下的二重积分计算

当遇到圆形、扇形时，可以采用极坐标计算二重积分。
$(x,y)$ $(\rho,\theta)$ 之间的关系

\begin{matrix} {\begin{matrix} x = ρ c o s θ \\ y = ρ s i n θ \end{matrix} ⟹ {\begin{matrix} c o s θ = \frac{x}{ρ} \\ s i n θ = \frac{y}{ρ} \end{matrix} \end{matrix}

$D$ 转换为极坐标形式如下：

\begin{matrix} {\begin{matrix} α \leq θ \leq β \\ φ_{1} (θ) \leq ρ \leq φ_{2} (θ) \end{matrix} \end{matrix}

$\varphi_1(\theta)$ $D$ $(离原点较近的那条)$ $\varphi_2(\theta)$ 是离原点较远的交线函数。
$\alpha$ $D$ $\beta$ $D$ 时的角度。

$\varphi(\theta)$ $D$ 的不同可以分为三种情况：

$D$ 在坐标外
$D$ 表示为：
$\begin{matrix} {\begin{matrix} α \leq θ \leq β \\ φ_{1} (θ) \leq ρ \leq φ_{2} (θ) \end{matrix} \end{matrix}$
于是极坐标下的二重积分为：
$\iint_{D} f (ρ c o s θ, ρ s i n θ) ρ d ρ d θ = \int_{α}^{β} d θ \int_{φ_{1} (θ)}^{φ_{2} (θ)} f (ρ c o s θ, ρ s i n θ) ρ d ρ$
$D$ 在原点
$D$ 表示为：
$\begin{matrix} {\begin{matrix} α \leq θ \leq β \\ 0 \leq ρ \leq φ (θ) \end{matrix} \end{matrix}$
极坐标下的二重积分为：
$\iint_{D} f (ρ c o s θ, ρ s i n θ) ρ d ρ d θ = \int_{α}^{β} d θ \int_{0}^{φ (θ)} f (ρ c o s θ, ρ s i n θ) ρ d ρ$
$D$ 在原点上
$D$ 表示为：
$\begin{matrix} {\begin{matrix} 0 \leq θ \leq 2 π \\ 0 \leq ρ \leq φ (θ) \end{matrix} \end{matrix}$
极坐标的下的二重积分为：
$\iint_{D} f (ρ c o s θ, ρ s i n θ) ρ d ρ d θ = \int_{0}^{2 π} d θ \int_{0}^{φ (θ)} f (ρ c o s θ, ρ s i n θ) ρ d ρ$

$\Large例：计算\iint\limits_D\sqrt{x^2+y^2} d\sigma,其中D为闭区域x^2+y^2\le2ax(a>0)$

\begin{aligned} 解 ： \\ 由 积 分 区 域 x^{2} + y^{2} \leq 2 a x ⟹ (x - a)^{2} + y^{2} \leq a^{2} \\ 画 出 积 分 区 域 ， D 可 以 表 示 为 ： \\ {\begin{array}{c} - \frac{π}{2} \leq θ \leq \frac{π}{2} \\ 0 \leq ρ \leq 2 a c o s θ \end{array} \\ 于 是 \iint_{D} \sqrt{x^{2} + y^{2}} d σ = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} d θ \int_{0}^{2 a c o s θ} ρ^{2} d ρ = \frac{32}{9} a^{3} \end{aligned}

2.4 极坐标转化为直角坐标

极坐标换位直角坐标

方法：
写出极坐标区域
$f(x,y)$
$f(x,y)$ $D$
根据图形写出直角坐标
极坐标互换：
$\begin{matrix} {\begin{matrix} ρ = \sqrt{x^{2} + y^{2}} \\ θ = a r c t a n (\frac{y}{x}) ⟹ t a n θ = \frac{y}{x} \end{matrix} \end{matrix}$

$\Large例：积分\int_0^{\frac{\pi}{2}}d\theta\int_0^{cos\theta}f(rcos\theta,rsin\theta)rdr在直角坐标下先x后y的积分$

\begin{aligned} 解 ： \\ 由 题 中 给 积 分 可 得 区 域 D 极 坐 标 表 示 ： \\ {\begin{array}{c} 0 \leq θ \leq \frac{π}{2} \\ 0 \leq r \leq c o s θ \end{array} \\ 其 中 0 \leq r \leq c o s θ ⟹ r^{2} \leq r c o s θ ⟹ x^{2} + y^{2} \leq x \\ 移 项 后 可 得 ： (x - \frac{1}{2})^{2} + y^{2} = \frac{1}{4} \\ 且 0 \leq θ \leq \frac{π}{2} ， 由 此 可 以 画 出 D 区 域 在 直 角 坐 标 系 的 表 示 (只 有 上 半 圆) \\ {\begin{array}{c} 0 \leq y \leq \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} + \sqrt{\frac{1}{4} - y^{2}} \leq x \leq \frac{1}{2} - \sqrt{\frac{1}{4} - y^{2}} \end{array} \\ ∴ \int_{0}^{\frac{1}{2}} d y \int_{\frac{1}{2} - \sqrt{\frac{1}{4} - y^{2}}}^{\frac{1}{2} + \sqrt{\frac{1}{4} - y^{2}}} f (x, y) d x \end{aligned}

极坐标化为直角坐标

2.5 直角坐标转化为极坐标

方法：
画出直角坐标图
$\theta$
$D$ 区域两条函数转化为极坐标形式(带参数)

$\Large例：积分\int_0^1dx\int_{1-x}^{\sqrt{1-x^2}}f(x^2+y^2)dy化为极坐标二重积分$

\begin{aligned} 解 ： \\ 由 题 中 给 积 分 可 得 区 域 D 直 角 坐 标 表 示 ： \\ {\begin{array}{c} 0 \leq x \leq 1 \\ 1 - x \leq y \leq \sqrt{1 - x^{2}} \end{array} \\ 由 此 可 以 画 出 函 数 图 像 如 下 。 且 因 为 {\begin{array}{c} x = ρ c o s θ \\ y = ρ s i n θ \end{array} 由 此 结 合 图 像 我 们 可 得 ： \\ 0 \leq θ \leq \frac{π}{2}, y = 1 - x 和 y = \sqrt{1 - x^{2}} 替 换 为 极 坐 标 形 式 为 ： \\ y = 1 - x ⟹ ρ s i n θ = 1 - ρ c o s θ ⟹ ρ = \frac{1}{s i n θ + c o s θ} \\ y = \sqrt{1 - x^{2}} ⟹ x^{2} + y^{2} = 1 ⟹ ρ = 1 \\ ∴ \int_{0}^{1} d x \int_{1 - x}^{\sqrt{1 - x^{2}}} f (x^{2} + y^{2}) d y ⟹ \int_{0}^{\frac{π}{2}} d θ \int_{\frac{1}{s i n θ + c o s θ}}^{1} f (ρ^{2}) ρ d ρ \end{aligned}

直角左边化为极坐标：

3. 二重积分的应用举例

3.1 立体体积

$\iint\limits_Df(x,y)d\sigma$ $D$ $z=f(x,y)$ 为顶的曲顶柱体的体积。
如果立体图形是由两个面围城，则立体体积公式：

\iint_{D} [大 立 体 曲 面 - 小 立 体 的 曲 面] d σ

若立体图形由一个抛物面(锥面等曲顶柱面)及其他平面，坐标面围城，则立体体积公式为：

\iint_{D} 曲 顶 柱 面 d σ

$D$ 为图形在底面的投影。

$\Large例1：求由旋转抛物面z=x^2+y^2与圆锥面z=2-\sqrt{x^2+y^2}所围成立体体积$

\begin{aligned} 解 ： \\ 立 体 图 形 如 下 所 示 ， 立 体 在 x O y 面 的 投 影 区 域 D ： x^{2} + y^{2} \leq 1 \\ ∵ D 的 边 界 是 曲 面 z = x^{2} + y^{2} 与 z = 2 - \sqrt{x^{2} + y^{2}} 的 交 线 在 x O y 面 的 投 影 \\ ∴ V = \iint_{D} [2 - \sqrt{(x^{2} + y^{2})}] - (x^{2} + y^{2}) d σ \\ 转 换 为 极 坐 标 由 ： V = \int_{0}^{2 π} d θ \int_{0}^{1} (2 ρ - ρ^{2} - ρ^{3}) d ρ \\ = \frac{5}{12} \int_{0}^{2 π} d θ = \frac{5}{12} \cdot 2 π = \frac{5}{6} π \end{aligned}

双抛物面围成图形：

$\Large例2：求由坐标面，平面x=4,y=4及抛物面z=x^2+y^2+1所围；立体的体积$

\begin{aligned} 解 ： \\ 立 体 如 下 图 所 示 ， 立 体 在 x O y 平 面 上 的 投 影 区 域 为 D ， D 的 边 界 分 别 为 x 轴, y 轴 及 平 面 x = 4 和 y = 4 与 x O y 平 面 的 交 线 \\ 即 D ： 0 \leq x \leq 4, 0 \leq y \leq 4 于 是 \\ V = \iint_{D} (x^{2} + y^{2} + 1) d σ = \int_{0}^{4} d y \int_{0}^{4} (x^{2} + y^{2} + 1) d x = \frac{560}{3} \end{aligned}

单抛物面围成图形：

3.2 平面薄片的质量

$xOy$ $D$ $M$ 为：

M = 面 密 度 \times 薄 片 的 面 积

$\mu=\mu(x,y)$ $x和y$ 的变化而变化，则利用微分可得：

M = \iint_{D} μ (x, y) d σ

$\Large例：设平面薄片所占区域D由x+y=2,y=x即x轴围城，它的面密度为\mu(x,y)=2x+y^2，\\\Large求该薄片的质量$

\begin{aligned} 解 ： \\ 薄 片 的 区 域 D 如 下 图 所 示 ， 则 \\ M = \iint_{D} (2 x + y^{2}) d σ = \int_{0}^{1} d y \int_{y}^{2 - y} (2 x + y^{2}) d x = \frac{13}{6} \\ ∴ 薄 片 的 质 量 为 \frac{13}{6} \end{aligned}

第十一章. 曲线积分

1. 对弧长的曲线积分(第一类曲线积分)

$l(没有方向)$
$L$ $f(x,y)$ $L$ 上对弧长的曲线积分记作

\oint_{L} f (x, y) d s

1.1 对弧长的曲线积分性质

性质一：

\int_{L} [f (x, y) \pm g (x, y)] d s = \int_{L} f (x, y) d s \pm \int_{L} g (x, y) d s

$k$ 为常数，则

\int_{L} k f (x, y) d s = k \int_{L} f (x, y) d s

$L$ $L_1和L_2$ $L=L_1+L_2$ ，则

\int_{L} f (x, y) d s = \int_{L_{1}} f (x, y) d s + \int_{L_{2}} f (x, y) d s

$L$ $f(x,y)\le g(x,y)$ ，则

\int_{L} f (x, y) d s \leq \int_{L} g (x, y) d s ⟹ | \int_{L} f (x, y) d s | \leq \int_{L} | g (x, y) | d s

1.2 对弧长曲线积分的解法

$L$ $\int\limits_Lf(x,y)ds$ 的计算方法。

$L$ 的方程为：

\begin{matrix} {\begin{matrix} x = φ (t) \\ y = ψ (t) \end{matrix} (α \leq t \leq β) \end{matrix}

$\varphi(t)和\psi(t)$ $[\alpha,\beta]$ $\varphi'^2(t)+\psi'^2(t)\ne0$ 。由弧微分公式可知：

\int_{L} f (x, y) d s = \int_{α}^{β} f [φ (t), ψ (t)] \sqrt{φ^{' 2} (t) + ψ^{' 2} (t)} d t (α < β)

情况一：
$L$ $y=\varphi(x)\quad(a\le x\le b)$ $ds=\sqrt{1+y'^2}dx=\sqrt{1+\varphi'^2(x)}dx$ $\sqrt{1+曲线导数的平方}$ 。
于是曲线解法变为：
$\int_{L} f (x, y) d s = \int_{a}^{b} f [x, φ (x)] \sqrt{1 + φ^{' 2} (x)} d x (a < b)$
情况二：
$L$ $x=\psi(y)\quad(c\le y\le d)$ $ds=\sqrt{1+x'^2}dy=\sqrt{1+\psi'^2(y)}dy$ $\sqrt{1+曲线导数的平方}$ 。
于是曲线解法变为：
$\int_{L} f (x, y) d s = \int_{c}^{d} f [ψ (y), y] \sqrt{1 + ψ^{' 2} (y)} d y (c < d)$
情况三：
$L$ $\varGamma$ $\varGamma$ $x=\varphi(t),y=\psi(t),z=\omega(t)\quad(\alpha\le t\le \beta)$
则曲线方程解法为：
$\int_{L} f (x, y, z) d s = \int_{α}^{β} f [φ (t), ψ (t), ω (t)] \sqrt{φ^{' 2} (t) + ψ^{' 2} (t) + ω^{' 2} (t)} (α \leq t \leq β)$

$\Large例:计算\int\limits_Le^{\sqrt{x^2+y^2}}ds,其中L由圆周x^2+y^2=1,\\\Large直线y=x及y轴所在第一象限构成的闭合回路$

\begin{aligned} 解 ： \\ 如 下 图 所 示 ， L = L_{1} + L_{2} + L_{3}, 由 弧 长 曲 线 积 分 的 性 质 可 知 ： \\ \int_{L} e^{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} d s = \int_{L_{1}} e^{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} d s + \int_{L_{2}} e^{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} d s + \int_{L_{3}} e^{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} d s \\ 在 L_{1} 上 方 程 为 ： x = 0 (0 \leq y \leq 1) \\ 在 L_{2} 上 方 程 为 ： y = x (0 \leq x \leq \frac{1}{\sqrt{2}}) \\ 在 L_{3} 上 方 程 为 ： x = ρ c o s θ, y = ρ s i n θ (\frac{π}{4} \leq θ \leq \frac{π}{2}), 因 为 圆 周 x^{2} + y^{2} = 1 ， 所 以 ρ = 1 \\ 即 x = c o s θ, y = s i n θ (\frac{π}{4} \leq θ \leq \frac{π}{2}) \\ 代 入 公 式 ： \\ \int_{L_{1}} e^{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} d s = \int_{0}^{1} e^{y} d y = e^{y} |_{0}^{1} = e - 1 \\ \int_{L_{2}} e^{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} d s = \int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} e^{\sqrt{2} x} \sqrt{1 + y^{' 2}} d x = e^{\sqrt{2} x} |_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} = e - 1 \\ \int_{L_{3}} e^{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} d s = \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} e^{\sqrt{s i n^{2} θ + c o s^{2} θ}} \sqrt{(c o s^{'} θ)^{2} + (s i n^{'} θ)^{2}} d θ = \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} e d θ = \frac{π}{4} e \\ ∴ \int_{L} e^{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} d s = 2 (e - 1) + \frac{π}{4} e \end{aligned}

图像：

2. 对坐标的曲线积分(第二类曲线积分)

$L(有方向)$
$L$ 为闭曲线，则对坐标的曲线积分记作

\oint_{L} P (x, y) d x + Q (x, y) d y

2.1 对坐标曲线积分的性质

性质一：

\begin{matrix} \int_{L} [P_{1} (x, y) \pm P_{2} (x, y)] d x + [Q_{1} (x, y) \pm Q_{2} (x, y)] d y \\ = & \int_{L} P_{1} (x, y) d x + Q_{1} (x, y) d y \pm \int_{L} P_{2} (x, y) d x + Q_{2} (x, y) d y \end{matrix}

$k$ 为常数，则

\int_{L} k [P (x, y) d x + Q (x, y) d y] = k \int_{L} P (x, y) d x + Q (x, y) d y

$L$ $L_1$ $L_2$ $L=L_1+L_2$ ，则

\int_{L} P (x, y) d x + Q (x, y) d y = \int_{L_{1}} P (x, y) d x + Q (x, y) d y + \int_{L_{2}} P (x, y) d x + Q (x, y) d y

$L^-$ $L$ 方向相反的光滑有向弧段，则

\int_{L^{-}} P (x, y) d x + Q (x, y) d y = - \int_{L} P (x, y) d x + Q (x, y) d y

该性质是对坐标的曲线积分特有的，因为坐标曲线积分有方向，方向相反则加负号。

2.2 对坐标曲线积分的计算方法

$L$ 的方程的不同表示形式，分别进行讨论：

$L$ 的参数方程为：

\begin{matrix} {\begin{matrix} x = φ (t) \\ y = ψ (t) \end{matrix} \end{matrix}

$t=\alpha$ $L$ $t=\beta$ $L$ $\varphi(t)和\psi(t)$ $[\alpha,\beta]$ $\varphi'^2(t)+\psi'^2(t)\ne0$ 则

\begin{matrix} \int_{L} P (x, y) d x + Q (x, y) d y = \\ \int_{α}^{β} {P [φ (t), ψ (t)] φ^{'} (t) + Q [φ (t), ψ (t)] ψ^{'} (t)} d t \end{matrix}

情况一：
$L$ $y=\varphi(x)$ $x=a,x=b$ $L$ 的起点和终点，则
$\int_{L} P (x, y) d x + Q (x, y) d y = \int_{a}^{b} {P [x, φ (x)] + Q [x, φ (x)] φ^{'} (x)} d x$
$d$ 谁给谁求导，对应变量直接代入。
情况二：
$L$ $x=\psi(y)$ $y=c,y=d$ $L$ 的起点和终点，则
$\int_{L} P (x, y) d x + Q (x, y) d y = \int_{c}^{d} {P [ψ (y), y] + Q [ψ (y), y] ψ^{'} (y)} d y$
情况三：
$L$ $\varGamma$ $\varGamma$ $x=\varphi(t),y=\psi(t),z=\omega(t)\quad(\alpha\le t\le \beta)$ $t=\alpha,t=\beta$ $\varGamma$ 起点和终点则
$\begin{matrix} \int_{L} P (x, y, z) d x + Q (x, y, z) d y + R (x, y, z) d z = \\ \int_{α}^{β} {P [φ (t), ψ (t), ω (t)] φ^{'} (t) + Q [φ (t), ψ (t), ω (t)] ψ^{'} (t) + R [φ (t), ψ (t), ω (t)] ω^{'} (t)} \end{matrix}$

$\Large例:计算\int\limits_{\varGamma}xdx+ydy+(x+y-1)dz,其中\varGamma是从点A(1,1,1)到点B(2,3,4)\\\Large的一段有向线段$

\begin{aligned} 解 ： \\ Γ 是 从 点 A (1, 1, 1) 到 点 B (2, 3, 4), 线 段 A B (1, 2, 3) 即 为 方 向 向 量 \\ ∴ 直 线 的 参 数 方 程 为 ： x = 1 + t, y = 1 + 2 t, z = 1 + 3 t, (0 \leq t \leq 1) \\ 原 式 = \int_{0}^{1} [(1 + t) \cdot 1 + (1 + 2 t) \cdot 2 + (1 + t + 1 + 2 t - 1) \cdot 3] d t = \int_{0}^{1} (6 + 14) t d t = 13 \end{aligned}

3. 格林公式

格林公式是将第二类曲线积分转化为二重积分

3.1 格林公式

$D$ 闭曲线 $D$ $D$ $x^2+y^2\le1为单连通，0<x^2+y^2\le1为复连通$ 由此我们可以知道：

\begin{matrix} {\begin{matrix} 正 向 边 界 (逆 时 针) ⟹ 直 接 使 用 格 林 公 式 \\ 逆 向 边 界 (顺 时 针) ⟹ 使 用 格 林 公 式 要 加 负 号 \end{matrix} \end{matrix}

$D$ $L$ $P(x,y)$ $Q(x,y)$ $D$ 上具有一阶连续偏导数，则

\oint_{L} P (x, y) d x + Q (x, y) d y = \iint_{D} (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) d x d y

$dy前的对x求偏导\mp dx前的对y求偏导$
$P(x,y)=-y,Q(x,y)=x$ ，我们还可以推导出第二类曲线积分面积公式：

A = \frac{1}{2} \oint_{L} x d y - y d x

$\Large例1:计算\int\limits_{L}(2xsiny-2y)dx+(x^2cosy+1)dy，其中L是圆周x^2+y^2=ax(a>0)\\\Large上按逆时针方向从点A(a,o)到点O(0,0)的一段弧$

\begin{aligned} 解 ： \\ 区 域 如 下 图 所 示 ， 为 了 利 用 格 林 公 式 ， 我 们 补 充 有 向 线 段 O A ， 则 L + O A 构 成 一 条 闭 曲 线 ， \\ 其 所 围 成 的 区 域 为 D ， 方 向 为 逆 时 针 方 向 ， 于 是 \\ \int_{L} P d x + Q d y = \oint_{L + O A} P d x + Q d y - \int_{O A} P d x + Q d y \\ = \iint_{D} (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) d x d y - \int_{O A} P d x + Q d y \\ = 2 \iint_{D} d x d y - \int_{a}^{b} [0 + (x^{2} + 1) \cdot 0] d x \\ = 2 \cdot \frac{1}{2} π \cdot \frac{a^{2}}{4} - 0 = \frac{π a^{2}}{4} \end{aligned}

例1图示：

$\Large例2:求椭圆x=acos\theta,y=bsin\theta所围成图像面积$

\begin{aligned} 解 ： \\ 设 椭 圆 面 积 为 A \\ A = \frac{1}{2} \oint_{L} x d y - y d x = \frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} (a b c o s^{2} θ + a b s i n^{2} θ) \\ = \frac{1}{2} a b \int_{0}^{2 π} d θ = π a b \end{aligned}

3.2 平面上曲线积分与路径无关的条件

$D$ $P(x,y)$ $Q(x,y)$ $D$ $\int\limits_{L}Pdx+Qdy$ $D$ 内与路径无关的充分必要条件是：

\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}

曲线积分与路径无关的格林公式如下：

\oint_{L} P (x, y) d x + Q (x, y) d y = \iint_{D} (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) d x d y = 0

从而可以得到以下三条结论：
$D$ $\int\limits_{L}Pdx+Qdy$ 与路径无关
$D$ $\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$
$D$ 闭曲线 $L$ $\oint\limits_{L}Pdx+Qdy=0$
$\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$ $\frac{\partial Q}{\partial x}与\frac{\partial P}{\partial y}$ 连续，则第二类求曲线积分与路径无关，可以随意改变积分路径(一般选择直线段)。但起点和终点不能变。

$\Large例:计算\int\limits_{L}e^xcosydx-e^xsinydy，其中L为圆周x^2+y^2=a^2上按逆时针方向从\\\Large A(a,0)到B(0,a)的一段弧$

\begin{aligned} 解 ： \\ P = e^{x} c o s y, Q = - e^{x} s i n y \\ 由 于 \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y} = - e^{x} s i n y \\ ∴ \int_{L} e^{x} c o s y d x - e^{x} s i n y d y 与 积 分 路 径 无 关 ， 选 取 A O B 为 路 径 ， 则 \\ 原 式 = \int_{A O} e^{x} c o s y d x - e^{x} s i n y d y + \int_{O B} e^{x} c o s y d x - e^{x} s i n y d y \\ = \int_{a}^{0} e^{x} d x + \int_{0}^{a} - s i n y d y = e^{x} |_{a}^{0} + c o s y |_{0}^{a} = c o s a - e^{a} \end{aligned}

4. 两类曲线积分得关系

两类曲线积分关系如下：

\int_{L} P (x, y) d x + Q (x, y) d y = \int_{L} [P (x, y) c o s α + Q (x, y) c o s β] d s

$cos\alpha$ $cos\beta$ $L$ $(x,y)$ 处切线的方向余弦，即两类曲线积分关系式。

$cos\alpha$ $cos\beta$ $cos\gamma$ $L$ $(x,y,z)$ 处切线的方向余弦。

$\Large例：把对坐标的曲线积分 \int_{L} P(x, y) d x+Q(x, y) d y 化成对弧长的曲线积分，\\\Large其中 L 为沿上半圆周 x^{2}+y^{2}=2 x 从点 (0,0) 到点 (1,1) .$

\begin{aligned} 解 ： \\ 因 为 圆 x^{2} + y^{2} = 2 x ， 即 (x - 1)^{2} + y^{2} = 1 ， 故 参 数 方 程 为 \\ {\begin{matrix} x = \cos θ + 1 \\ y = \sin θ \end{matrix} \\ 此 处 起 点 (0, 0) 对 应 的 α = π ， 终 点 β = \frac{π}{2} . \\ 因 为 α > β, 故 : \\ \cos α = \frac{- x^{'}}{\sqrt{x^{' 2} + y^{2}}} = \frac{\sin θ}{1} = \sin θ = y, \\ \cos β = \frac{- y^{'}}{\sqrt{x^{' 2} + y^{' 2}}} = \frac{- \cos θ}{1} = - \cos θ = 1 - x . \\ 故 由 两 类 曲 线 积 分 的 关 系, 有 \\ \int_{L} P (x, y) d x + Q (x, y) d y = \int_{L} [y P (x, y) + (1 - x) Q (x, y)] d s . \end{aligned}

$cos\alpha$ $cos\beta$ 详细求法如下：

\begin{matrix} 注 : 设 有 向 曲 线 弧 L 的 起 点 为 A ， 终 点 为 B . 曲 线 弧 L 由 参 数 方 程 \\ {\begin{cases} x = φ (t) \\ y = ψ (t) \end{cases} \\ 给 出 ， 起 点 A 、 终 点 B 分 别 对 应 参 数 α, β . 则 平 面 曲 线 L 上 的 两 类 曲 线 积 分 之 间 有 如 下 联 系 : \\ \int_{L} P d x + Q d y = \int_{L} (P \cos α + Q \cos β) d s \\ 其 中 α (x, y), β (x, y) 为 有 向 曲 线 弧 L 在 点 (x, y) 处 的 切 向 量 的 方 向 角 . 其 中 \\ 当 α < β 时 ， \cos α = \frac{φ^{'} (t)}{\sqrt{φ^{' 2} (t) + ψ^{' 2} (t)}}, \cos β = \frac{ψ^{'} (t)}{\sqrt{φ^{' 2} (t) + ψ^{' 2} (t)}} . \\ 当 α > β 时 ， \cos α = \frac{- φ^{'} (t)}{\sqrt{φ^{' 2} (t) + ψ^{' 2} (t)}}, \cos β = \frac{- ψ^{'} (t)}{\sqrt{φ^{' 2} (t) + ψ^{' 2} (t)}} . \end{matrix}

第十二章. 无穷级数

$\sum\limits_{n=2}^{\infty}sinn$ $n\to\infty$ ，同时还要注意的是等价的部分必须为因子(与其他部分是乘除关系，幂指型就不能等价).
$\sum\limits_{n=1}^{\infty}arctan\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}\backsim \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}$
$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2n\sin\frac{1}{n}}}$ $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ $\sin\frac{1}{n}$ 是指数，不是因子。

1. 级数的基本性质

$\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$ $\sum\limits_{n=1}^{\infty}v_n$ $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(u_n\pm v_n)$ $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(u_n\pm v_n)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n\pm \sum\limits_{n=1}^{\infty}v_n$

$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n},\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^n}$ $1$ $\frac{1}{2}$ $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(\frac{1}{2^n}+\frac{1}{3^n})$ $\frac{3}{2}$

$\sum\limits_{n=1}^{\infty}(u_n+v_n)$ $\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$ $\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$ 未必收敛

$\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$ $\sum\limits_{n=1}^{\infty}v_n$ $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(u_n\pm v_n)$ 发散

$\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$ $\sum\limits_{n=1}^{\infty}v_n$ $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(u_n\pm v_n)$ 不一定发散 $(\sum\limits_{n=1}^{\infty}-1与\sum\limits_{n=1}^{\infty}1)$

$\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$ $s$ $\sum\limits_{n=1}^{\infty}ku_n$ $ks$ $\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$ $\sum\limits_{n=1}^{\infty}ku_n$ $(k\ne0)$

性质六：在级数中去掉、加上或改变有限项，不改变级数的敛散性，但在级数收敛时，一般会改变级数的和

$\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^n$

$\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$ $\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_{n+1}$ $\Longrightarrow \sum\limits_{n=1}^{\infty}(u_n+u_{n+1}+...+u_{n+v})$ $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(u_n-u_{n+1})$ 不一定收敛

性质八：如果在级数中插入括号后新级数发散，则原级数必定发散；如果新级数收敛，则原级数不一定收敛

2. 级数的敛散性判断

2.1 判断常数项级数收敛

$n$ $u_n=S_n-S_{n-1}(S_n为前n项和)$

级数性质判断法

$\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$ 部分和 $\{s_n\}$ $s$ $\underset{n\to\infty}{lim}s_n=s$ $\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$ $s$ $\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$ $\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n=s$ .如果极限不存在，则级数发散。

$u_n$ $S_n$ $S_n$ 求极限

$\Large例:讨论级数\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}$ 的敛散性

\begin{aligned} 解 ： \\ s_{n} = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + . . . + \frac{1}{n (n - 1)} \\ \overset{列 项 相 消}{\Rightarrow} (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + . . . + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}) \\ = 1 - \frac{1}{n + 1} \\ ∴ lim_{n \to \infty} s_{n} = lim_{n \to \infty} (1 - \frac{1}{n + 1}) = 1 \\ ∴ 级 数 收 敛 ， 其 和 为 1 \end{aligned}

等比级数性质判断法

$q$

\begin{matrix} {\begin{matrix} | q | < 1 收 敛 \\ | q | \geq 1 发 散 \end{matrix} \end{matrix}

$\sum\limits_{n=1}^{\infty}aq^n$ $\frac{a}{1-q}$ $S_n=\frac{a}{1-q}(a为首项)$ $\underset{n\to\infty}{lim}s_n=\infty$ ，极限不存在。

级数收敛必要条件判断法

根据级数收敛必要条件判断：

$\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$ $\underset{n\to\infty}{lim}u_n=0$ $0$
$\underset{n\to\infty}{lim}=0$ $\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$ 不一定收敛。
$\underset{n\to\infty}{lim}\ne0$ $\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$ 必定发散

2.2 正项级数审敛法

所谓正向级数，就是每一个项都是非负数的级数

比较审敛法

$\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n,\sum\limits_{n=1}^{\infty}v_n$ $u_n\le v_n(n=1,2,...)$ .那么：
$\sum\limits_{n=1}^{\infty}v_n$ $\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$ 也收敛；
$\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$ $\sum\limits_{n=1}^{\infty}v_n$ 也发散；
$u_n$ $cos\theta、sin\theta$ $1$ $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{cosx}{n^2}\le\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$

$(比较审敛法极限形式)$ $1$ $p$ $q$ 级数，等价后进行判断。

$\Large 例:\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\sqrt[n]{n}}敛散性$

\begin{array}{r} \begin{array}{c} 解 ： \\ 由 于 lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = lim_{n \to \infty} n^{\frac{1}{n}} \overset{e 抬 高}{\to} e^{\underset{n \to \infty}{l i m} \frac{1}{n} l n n} = 1 \\ 由 此 可 得 lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n \cdot \sqrt[n]{n}}}{\frac{1}{n}} = 1, 即 \sum_{n = 2}^{\infty} \frac{1}{n \sqrt[n]{n}} \sim \sum_{n = 2}^{\infty} \frac{1}{n} 发 散 \end{array} \end{array}

$p$ 级数性质

$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}$ $p$ $p$

\begin{matrix} {\begin{matrix} p > 1 收 敛 \\ p \leq 1 发 散 \end{matrix} \end{matrix}

$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}(\sqrt{n}+1)},其p为分母最高次幂-分子最高次幂=1，所以发散$ 。

$\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n(lnn)^p},此时n$ $1$ $p$ $lnn$ 的次幂。

$\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^p(lnn)}$ $lnn$ $1$ $p$ $n$ 的次幂

比较审敛法极限形式

$p$ $q$ $p$ $q$ 级数。

$\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n，\sum\limits_{n=1}^{\infty}v_n$ 都是正向级数，如果：

\begin{matrix} lim_{n \to \infty} \frac{u_{n}}{v_{n}} = {\begin{matrix} l (0 < l < \infty), u_{n} 与 v_{n} 是 同 阶 & ⟹ \sum_{n = 1}^{\infty} u_{n} 与 \sum_{n = 1}^{\infty} v_{n} 敛 散 性 相 同 \\ 0, 则 v_{n} > u_{n} & \overset{比 较 审 敛 法 可 知}{\to} 若 v_{n} 收 敛, 则 级 数 \sum_{n = 2}^{\infty} u_{n} 也 收 敛 \\ \infty, 则 v_{n} < u_{n} & \overset{比 较 审 敛 法 可 知}{\to}, 若 v_{n} 发 散, 则 \sum_{n = 2}^{\infty} u_{n} 也 发 散 。 \end{matrix} \end{matrix}

$\Large 例:\sum\limits_{n=1}^{\infty}sin\frac{1}{n}的敛散性$

\begin{array}{r} \begin{array}{c} 解 ： \\ 1. & 找 等 价 级 数 作 为 v_{n}, 由 n \to \infty, 可 知 s i n \frac{1}{n} \sim \frac{1}{n} \\ 2. & 运 用 比 较 审 敛 法 可 得 : lim_{n \to \infty} \frac{s i n \frac{1}{n}}{\frac{1}{n}} = 1 \\ ∴ \sum_{n = 1}^{\infty} s i n \frac{1}{n} 的 敛 散 性 相 同, 且 \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n} 发 散, 则 原 级 数 也 发 散 . \end{array} \end{array}

比值审敛法(达朗贝尔)

常用于通项中有乘方、阶乘的正项级数
$\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$ 为正向级数，且

lim_{n \to \infty} \frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = ρ

$\rho<1$ 时，级数收敛
$\rho>1或\rho=+\infty$ 时，级数发散
$\rho=1$ 时，无法判断

根值审敛法(柯西判别法)

$\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$ 为正项级数，如果

lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{u_{n}} = ρ

$\rho<1$ 时，级数收敛
$\rho>1或\rho=+\infty$ 时，级数发散
$\rho=1$ 时，无法判断

$\Large 例:级数\sum\limits_{n=1}^{\infty}(\frac{n-2}{n})^n$

\begin{array}{r} \begin{array}{c} 解 ： \\ 1. & 先 用 根 值 审 敛 法 : lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{(\frac{n - 2}{n})^{n}} = lim_{n \to \infty} \frac{n - 2}{n} = 1 \\ 由 此 可 知 根 值 审 敛 法 失 效 \\ 2. & 利 用 级 数 收 敛 定 义 判 断 : lim_{n \to \infty} (\frac{n - 2}{n})^{n} = lim_{n \to \infty} [1 + (- \frac{2}{n})]^{n} = e^{\underset{n \to \infty}{l i m} - \frac{2 n}{n}} = e^{- 2} \neq 0 \\ ∴ 原 级 数 发 散 \end{array} \end{array}

积分审敛法

$f(x)$ $[1,\infty)$ $\sum\limits_{n=1}^{\infty}f(n)$ $\int_1^{\infty}f(x)dx$ 同收敛。

$\Large例:讨论级数\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{x(lnx)^2}敛散性$

\begin{aligned} 解 ： \\ f (x) = \frac{1}{x (l n x)^{2}}, 其 图 形 如 下, 我 们 可 以 知 道 其 在 [2, + \infty] 上 递 减 且 非 负 \\ 则 \int_{2}^{\infty} \frac{1}{x (l n x)^{2}} d x = \frac{1}{l n x} |_{2}^{+ \infty} = \frac{1}{l n 2} \\ ∴ 所 以 积 分 收 敛 ， 可 得 原 级 数 也 收 敛 \end{aligned}

2.3 交错级数的审敛法

正负相间的级数称为交错级数

莱布尼兹审敛法

$\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}u_n$ 满足下列条件：
$u_n\ge u_{n+1}(n=1,2,3,...)$ (充分条件)
$\underset{n\to\infty}{lim}=0$
$s\le u_1$ $|r_n|\le u_{n+1}$ (必要条件)

性质判断法

$\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{n^p}$ $p$ ：
$p\le0$ 时，级数发散
$p>0$ $p>1$ $0\le p\le1$ 时，级数条件收敛。

注意：正向级数只有绝对收敛，没有条件收敛。

推广
$\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{A_n(n)}{B_n(n)}$ $p$ $-$ $m-n$ )

2.4 级数的绝对收敛与条件收敛

$\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$ $\sum\limits_{n=1}^{\infty}|u_n|$ $\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$ 必收敛。即
$\sum_{n = 1}^{\infty} | u_{n} | 收敛 ⟹ 则 \sum_{n = 1}^{\infty} u_{n} 绝对收敛$
$\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$ $\sum\limits_{n=1}^{\infty}|u_n|$ $\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$ 条件收敛
$\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$ $\sum\limits_{n=1}^{\infty}|u_n|$ 必定发散

定理：加绝对值后级数收敛，则原级数绝对收敛。

3. 幂级数及其收敛域

$u_1(x)+u_2(x)+u_3(x)+...+u_n(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty u_n(x)$ $(幂级数)$ $x=x_0$ $\sum\limits_{n=1}^\infty u_n(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty u_n(x_0)$ 为常数项级数。

$\sum\limits_{n=1}^\infty a_n(x-x_0)^n=a_0+a_1(x-x_0)+...+a_n(x-x_0)^n+...$ $x_0$ 为中心的密集数。

所有收敛点的集合称为收敛域，所有发散点的集合称为发散域。
收敛域需要判断区间端点处是否收敛。而收敛区间则不需要考虑。

3.1 定义判断收敛域和发散域

$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_nx^n$ ，如果

lim_{n \to \infty} | \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} | = ρ

$\rho=+\infty$ $x=0$ $R=0$ 。
$\rho=0$ $x$ $R=+\infty$
$\rho\ne0$ $|x|<\frac{1}{\rho}$ $|x|>\frac{1}{\rho}$ $R=\frac{1}{\rho}$ $0<\rho<+\infty$ $R=\frac{1}{\rho}$ $x$ $x$ $x$ $|x|<1$ 。

求收敛域、收敛区间和收敛半径步骤

$x$ $x$ 项为常数可以提出极限外
$<1$ $x$ 的区间就是收敛区间
$R=\Large\frac{x的区间右侧-x区间左侧}{2}$ $\Large R=\frac{收敛区间长度}{2}$
收敛域：将收敛区间端点带如原级数，看级数在区间端点处的敛散性，得出收敛域。

$\Large例:求\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{3^n+(-2)^n}{n}(x-1)^n的收敛半径和收敛域$

\begin{aligned} 解 ： \\ ∵ lim_{n \to \infty} | \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} | = lim_{n \to \infty} \frac{[3^{n + 1} + (- 2)^{n + 1}] (x - 1)^{n + 1}}{n + 1} \cdot \frac{n}{[3^{n} + (- 2)^{n}] (x - 1)^{n}} = | 3 (x - 1) | < 1 \\ ∴ 收 敛 半 径 为 ； | x - 1 | < \frac{1}{3} ⟹ \frac{2}{3} < x < \frac{4}{3} ⟹ R = \frac{\frac{4}{3} - \frac{2}{3}}{2} = \frac{1}{3} \\ 此 时, 当 x = \frac{2}{3} 时 ， 级 数 为 \sum_{n = 1}^{\infty} [\frac{(- 1)^{n}}{n} + \frac{1}{n} (\frac{2}{3})^{n}], 因 为 \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{n} 满 足 莱 布 尼 兹 定 理 ， 收 敛 \\ 且 由 比 值 审 敛 法 可 知 \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n} (\frac{2}{3})^{n} 收 敛, 故 原 级 数 收 敛 \\ 此 时, 当 x = \frac{4}{3} 时 ， 级 数 为 \sum_{n = 1}^{\infty} [\frac{1}{n} + \frac{(- 2)^{n}}{n \cdot 3^{n}}], 因 为 \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n} 发 散, 且 \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 2)^{n}}{n \cdot 3^{n}} 收 敛 . 所 及 级 数 发 散 \\ 从 而 幂 级 数 的 收 敛 域 为 [\frac{2}{3}, \frac{4}{3}) \end{aligned}

3.2 阿贝尔定理判断收敛域和发散域

$x_0$ 为中心的幂级数

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} (x - x_{0})^{n}

$x=x_1$ $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n(x-x_0)^n$ 发散，则：
阿贝尔定理发散情况：
$x_0$ $x_1$ $\Delta$ 外区域都为发散域。
$x=x_2$ $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n(x-x_0)^n$ 收敛，则：
阿贝尔定理收敛情况：
$x_0$ $x_2$ $\Delta$ 所围成的区域为收敛域，且收敛域中的点都为绝对收敛。
$x=x_3$ $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n(x-x_0)^n$ 条件收敛
$x_3$ $\Delta$ $x_0$ 绝对收敛。

注意：阿贝尔定理在对称两点处的敛散性不确定。

$\Large 例:若\sum\limits{a_nx^n}在x=2处收敛,则该函数再x=-1处敛散性$

阿贝尔定理解题：

由 此 可 得 在 点 x = - 1 处, 绝 对 收 敛

4. 幂级数的运算及性质

4.1 级数的运算性质

级数的逐项求导公式：

s^{'} (x) = (\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} x^{n})^{'} = \sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n} x^{n})^{'} = \sum_{n = 1}^{\infty} n a_{n} x^{n - 1}

级数的逐项积分公式：

\int_{0}^{x} s (x) d x = \int_{0}^{x} (\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} x^{n}) d x = \sum_{n = 1}^{\infty} \int_{0}^{x} a_{n} x^{n} d x = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{a_{n}}{x + 1} x^{n + 1}

4.2 级数求和函数 (大题)

和函数性质：

和函数在其定义域内连续：可以用极限算出一个和函数中具体值。
和函数在其收敛域内逐项可积，即可先积分再求和。
和函数在其收敛域内逐项可导，即可先求导再求和。

步骤：
求幂级数的收敛域
$s(x)$
消系数化为等比级数：
消系数有两种方法：微分法(级数为分式用)和积分法(级数为乘积用)
$\sum\limits_{n=1}^{\infty}aq^n=\frac{a_1}{1-q}$ 得级数的和
还原：积分法两边求导，微分法两边求积分
要注意和函数的定义域，如果最后和函数无定义点在定义域内，则根据无定义点写成分段函数。
写成分段函数方法是将无定义点代入和函数中求极限，和函数在该点极限值，就作为分段函数在这一点的表达式。
$s(x)=\frac{-ln(1-x)}{x},x\in(-1,1)$
$\begin{matrix} s (0) = lim_{x \to 0} \frac{- l n (1 - x)}{x} \overset{洛必达}{\to} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 - x}}{1} = 1 \\ ∴ s (x) = {\begin{matrix} \frac{- l n (1 - x)}{x}, & x \in [- 1, 0) \cup (0, 1) \\ 1, & x = 0 \end{matrix} \end{matrix}$

$x$

在小题中求和函数都有公式，要和麦克劳林展开式联立起来。

$\Large例1:求幂级数\sum\limits_{n=0}^{\infty}(2n+1)x^{2n}的和函数$

\begin{aligned} 解 ： \\ ∵ 设 幂 级 数 \sum_{n = 0}^{\infty} (2 n + 1) x^{2 n} 的 和 函 数 为 s (x), 由 于 已 知 级 数 的 收 敛 半 径 为 ： \\ R = lim_{n \to \infty} \frac{2 n + 3}{2 n + 1} = 1, 故 在 区 间 (- 1, 1) 内 \\ s (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} (2 n + 1) x^{2 n}, \\ 两 边 积 分 得 ： \int_{0}^{x} s (x) d x = \sum_{n = 0}^{\infty} \int_{0}^{x} (2 n + 1) x^{2 n} d x = \sum_{n = 0}^{\infty} x^{2 n + 1} \\ x^{2 n + 1} 的 公 比 q = x^{2}, a_{1} = x, 则 \int_{0}^{x} s (x) d x = \frac{x}{1 - x^{2}} \\ 两 边 求 导, 得 ： s (x) = (\frac{x}{1 - x^{2}})^{'} = \frac{1 + x^{2}}{(1 - x^{2})^{2}} \\ 当 x = \pm 1 时 ， 幂 级 数 变 为 \sum_{n = 0}^{\infty} (2 n + 1) ， 发 散 \\ ∴ 幂 级 数 得 和 函 数 在 (- 1, 1) 内 为 ： s (x) = \frac{1 + x^{2}}{(1 - x^{2})^{2}} \end{aligned}

$\Large例2:求幂级数\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}的和函数$

\begin{aligned} 解 ： \\ ∵ 所 给 幂 级 数 的 收 敛 半 径 为 ： R = lim_{n \to \infty} | \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} | = 1 \\ 在 (- 1, 1) 内 设 所 给 函 数 的 和 函 数 为 s (x) ， 即 s (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n} \\ 由 幂 级 数 性 质, 在 (- 1, 1) 内 由 ： s^{'} (x) = (\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n})^{'} = \sum_{n = 1}^{\infty} x^{n - 1} \\ x^{n - 1} 的 公 比 q = x, 首 项 a_{1} = 1. 所 以 s^{'} (x) = \frac{1}{1 - x} \\ 两 边 同 时 积 分 ： \int_{0}^{x} s^{'} (x) d x = \int_{0}^{x} \frac{1}{1 - x} d x = - l n (1 - x) |_{0}^{x} = l n \frac{1}{1 - x} \\ 因 为 级 数 \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n} 在 x = - 1 处 收 敛, 和 函 数 l n \frac{1}{1 - x} 在 x = - 1 有 定 义 且 连 续, 故 在 [- 1, 1) \\ 故 在 [- 1, 1) 内 \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n} = l n \frac{1}{1 - x} (- 1 \leq x < 1) \end{aligned}

5. 函数展开成幂级数(填空)

$\Large s(x)\xrightarrow{展开}\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_nx^n$ $\Large \sum\limits_{n=1}^{\infty}a_nx^n\xrightarrow{和函数}s(x)$

$f(x)$ $x_0$ $(n+1)$ 阶导数，则在该邻域内，有：

\begin{matrix} f (x) = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) + \frac{f^{″} (x_{0})}{2!} (x - x_{0})^{2} + \\ . . . + \frac{f^{(n)} (x_{0})}{n!} (x - x_{0})^{n} + R_{n} (x) \end{matrix}

$x_0=0$ $f(x)$ $x$ $n$ 阶麦克劳林公式：

f (x) = f (0) + f^{'} (0) x + \frac{f^{″} (0)}{2!} x^{2} + . . . + \frac{f^{(n)} (0)}{n!} x^{n} + R_{n} (x)

几个重要麦克劳林公式：

\begin{matrix} e^{x} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!} x \in (- \infty, + \infty) \\ 广 义 化 : e^{ω} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{ω^{n}}{n!}, ω \in (- \infty, + \infty) \\ c o s x = \sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{x^{2 n}}{(2 n)!} = \sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n - 1} \frac{x^{2 n - 2}}{(2 n - 2)!} x \in (- \infty, + \infty) \\ s i n x = \sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{x^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!} = \sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n - 1} \frac{x^{2 n - 1}}{(2 n - 1)!} x \in (- \infty, + \infty) \\ l n (1 + x) = \sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{x^{n + 1}}{n + 1} = \sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n - 1} \frac{x^{n}}{n} x \in (- 1, 1] \\ \frac{1}{1 - x} = \sum_{n = 0}^{\infty} x^{n} = \sum_{n = 1}^{\infty} x^{n - 1} x \in (- 1, 1) \\ 广 义 化 ： \frac{1}{1 - ω} = \sum_{n = 0}^{\infty} ω^{n} - 1 < ω < 1 \end{matrix}

$sinx$ $cosx$ $ln$ 带符号，另一个不带。

\begin{array}{l} 麦 克 劳 林 及 推 导 公 式 如 下 : \\ e^{x} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \dots + \frac{x^{n}}{n!} + o (x^{n}), (n = 0) \\ \sin x = x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \dots + \frac{(- 1)^{m}}{(2 n + 1)!} x^{2 n + 1} + o (x^{2 n + 1}), (n = 0) \\ \cos x = 1 - \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} - \dots + \frac{(- 1)^{m}}{(2 n)!} x^{2 n} + o (x^{2 n}), (n = 0) \\ \frac{1}{1 - x} = 1 + x + x^{2} + \dots + x^{n} + o (x^{n}), (n = 0) \\ \frac{1}{1 + x} = 1 - x + x^{2} - \dots + (- 1)^{n} x^{n} + o (x^{n}), (n = 0) \\ \ln (1 + x) = x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} - \dots + \frac{(- 1)^{n + 1}}{n} x^{n} + o (x^{n}), (n = 1) \\ \ln (1 - x) = - x - \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{3} x^{3} - . . . - \frac{x^{n}}{n} + o (x^{n}), (n = 1) \\ (1 + x)^{a} = 1 + a x + \frac{a (a - 1)}{2!} x^{2} + \dots + \frac{a (a - 1) \dots (a - n + 1)}{n!} x^{n} + o (x^{n}) \\ \ln (\frac{1 + x}{1 - x}) = 2 \cdot \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{2 n + 1}}{2 n + 1} \\ \arctan x = x - \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{5}}{5} - \dots + \frac{(- 1)^{m}}{2 n + 1} x^{2 n + 1} + o (x^{2 n + 1}), (n = 0) \\ \frac{1}{(1 - x)^{2}} = \sum_{n = 0}^{\infty} (n + 1) x^{n} \\ \frac{2}{(1 - x)^{3}} = \sum_{n = 0}^{\infty} (n + 2) (n + 1) x^{n} \end{array}

$\Large例1:将函数f(x)=\frac{1}{2-x}展开成关于x的幂级数$

\begin{aligned} 解 ： \\ ∵ f (x) = \frac{1}{2 - x} = \frac{1}{2 (1 - \frac{x}{2})} \\ 由 \frac{1}{1 - ω} = \sum_{n = 0}^{\infty} ω^{n} - 1 < ω < 1 可 得 \\ = \frac{1}{2} \sum_{n = 0}^{\infty} (\frac{x}{2})^{n} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{n}}{2^{n + 1}}, 其 中 - 1 < \frac{x}{2} < 1 ⟹ - 2 < x < 2 \end{aligned}

$\Large 例2:求f(x)=ln(1+x)展开成(x-1)的幂级数$

\begin{aligned} 解 ： \\ 题 目 中 要 求 的 是 (x - 1) 幂 级 数, 所 以 原 式 的 ω 要 化 为 k (x - 1) 形 式 \\ f (x) & = l n (1 + x) = l n [2 + (x - 1)] = l n [1 + (\frac{x - 1}{2})] \cdot 2 \\ = l n 2 + l n [1 + \frac{x - 1}{2}] \overset{l n (1 + x) 的 幂 级 数 展 开 式}{\to} \sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n - 1} \frac{(\frac{x - 1}{2})^{n}}{n} + l n 2 \\ = l n 2 + \sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n - 1} \frac{(x - 1)^{n}}{n \cdot 2^{n}}, - 1 \leq \frac{x - 1}{2} \leq 1 ⟹ - 1 < x \leq 3 \end{aligned}

1 模长为

1

$1$ 的向量称为单位向量 ↩

\vec{a} \land \vec{b}

$\overrightarrow{a}\land\overrightarrow{b}$ 是指两向量的夹角 ↩