一. 微分的中值定理

1. 常考的小题

判断中值定理的条件与结论：

先判断函数在区间内部是否连续(有无定义)，再判断是否可导。绝对值函数不能用中值定理。

2. 单中值证明题

类型：题目中只含有一个$\xi$$\xi$或$\eta$$\eta$

2.1 根的唯一性

方法：零点定理$+$$+$单调性

步骤：

1. 构造辅助函数：等式移项为一端为$0$$0$，一端非$0$$0$形式，取非$0$$0$端原函数为$F(x)$$F(x)$ 注意：求证中若是$\xi$$\xi$，先换成$x$$x$，再构造辅助函数。
2. $F(x)$$F(x)$在$[a,b]$$[a,b]$连续，$(a,b)$$(a,b)$内可导，且$F(a)=F(b)$$F(a)=F(b)$
3. 由零点定理得出结论：至少存在一点$\xi \in (a,b)$$\xi\in(a,b)$使$F(\xi )=0，\text{也}\text{即}(\text{题}\text{中}\text{结}\text{论})$$F(\xi)=0，也即(题中结论)$。 注意：有时要利用积分得到构造函数。如：$f^{\prime }(x)=x\text{构}\text{造}\text{积}\text{分}\text{为}：{\int }_0^x{f}^{\prime }(x)dx-{\int }_0^{x}xdx=0⟹f(x)-\frac{1}{2}{x}^2=0$$f'(x)=x构造积分为：\int_0^xf'(x)dx-\int_0^xxdx=0\Longrightarrow f(x)-\frac{1}{2}x^2=0$

$\text{例}：\text{对}\text{任}\text{意}\text{自}\text{然}\text{数}n>1,\text{方}\text{程}{x}^n+x^{n-1}+...+x=1\text{在}(\frac{1}{2},1)\text{内}\text{有}\text{唯}\text{一}\text{实}\text{数}\text{根}$$\Large 例：对任意自然数n>1,方程x^n+x^{n-1}+...+x=1在(\frac{1}{2},1)内有唯一实数根$

2.2 根的存在性和证明等式

方法：①零点定理或②罗尔定理

• 求证中不含倒数用零点定理
• 求证中含有导数或零点定理失效(端点值异号或不能判断是否异号)用罗尔定理

步骤：注意：求证中若是$\xi$$\xi$，先换成$x$$x$，再构造辅助函数。

1. 构造辅助函数$F(x)$$F(x)$，方法：

   • 观察法：观察求证得非零端得原函数，令其为$F(x)$$F(x)$

     如：$f(\xi )+\xi f^{\prime }(\xi )=0\stackrel{\text{还}\text{原}\text{成}\text{原}\text{函}\text{数}}{\to }[xf(x){]}^{\prime }=0$$f(\xi)+\xi f'(\xi)=0\xrightarrow{还原成原函数}\Big[xf(x)\Big]'=0$

   • 积分法：对求证等式非零端，对其进行不定积分得其原函数，令原函数为$F(x)$$F(x)$

   • 微分方程法：把求证等式看作微分方程，解出任意常数$c$$c$，令其为$F(x)$$F(x)$

$\begin{array}{c}\text{例}1：\text{设}f(x),g(x)\text{在}[a,b]\text{上}\text{连}\text{续},f(a)=g(b),f(b)=g(a),\text{且}f(a)\ne f(b),\\ \text{证}\text{明}：\mathrm{\exists }\xi \in (a,b),\text{使}\text{得}f(\xi )=g(\xi )\end{array}$$\Large 例1：设f(x),g(x)在[a,b]上连续,f(a)=g(b),f(b)=g(a),且f(a)\ne f(b),\\\Large 证明：\exists\xi\in(a,b),使得f(\xi)=g(\xi)$

$\begin{array}{c}\text{例}2：\text{设}f(x)\text{在}[0,1]\text{上}\text{连}\text{续}，(0,1)\text{内}\text{可}\text{导},\text{且}f(1)=0,\text{试}\text{证},\text{存}\text{在}\text{一}\text{点}\xi \in (0,1)\\ \text{使}\text{得}{f}^{\prime }(\xi )=\frac{-2f(x)}{\xi }\end{array}$$\Large 例2：设f(x)在[0,1]上连续，(0,1)内可导,且f(1)=0,试证,存在一点\xi\in(0,1)\\\Large使得f'(\xi)=\frac{-2f(x)}{\xi}$

2.3 证明不等式

方法：①拉格朗日中值定理。②单调性

• 求证时两项不等式用单调性
• 求证时不等式为三项时用拉格朗日中值定理(含绝对值不等式)，或单调性失效。

步骤：

证明步骤：

1. 构造辅助函数：把三项不等式得中间项写成差得形式。(可从差形式中得到区间$(a,b)$$(a,b)$，其中差形式共同基本函数即为辅助函数$F(x)$$F(x)$）

2. 验证拉格朗日定理条件：$F(x)$$F(x)$在$[a,b]$$[a,b]$连续，在$(a,b)$$(a,b)$可导。

3. 由定理可得：$F^{\prime }(\xi )=\frac{F(b)-F(a)}{b-a}$$F'(\xi)=\frac{F(b)-F(a)}{b-a}$

4. 对辅助函数求导$F^{\prime }(x)$$F'(x)$，之后将$x=\xi$$x=\xi$带入$F^{\prime }(x)$$F'(x)$得$F^{\prime }(\xi )$$F'(\xi)$

5. 由3和4步将$F(\xi )$$F(\xi)$联立成一个新的不等式。

6. 由$\xi$$\xi$的范围放缩等式成一个不等式：$\xi \in (a,b),a\le \xi \le b$$\xi\in(a,b),a\le\xi\le b$

   术语为：由于$a<\xi <b，\text{把}a<\xi <b\text{代}\text{入}\text{等}\text{式}\text{中}\text{经}\text{过}\text{放}\text{缩}，\text{得}\text{结}\text{论}。$$a<\xi<b，把a<\xi<b代入等式中经过放缩，得结论。$

$\text{例}1：\text{证}\text{明}：\frac{m-n}{m}<ln\frac{m}{n}<\frac{m-n}{n},\text{其}\text{中}m>n>0$$\Large 例1：证明：\frac{m-n}{m}<ln\frac{m}{n}<\frac{m-n}{n},其中m>n>0$

$\text{例}2：\text{证}\text{明}：|arctana-arctanb|\le |a-b|,(a\ne b)$$\Large 例2：证明：|arctana-arctanb|\le|a-b|,(a\ne b)$

2.4 利用单调性证明不等式：

步骤：

1. 构造辅助函数

   情况一：求证二项不等式中含有$1$$1$个字母($x$$x$)

   方法：移项成一端为$0$$0$一端非$0$$0$，取非零端为辅助函数

   情况二：求证二项不等式中含有两个字母($a\text{和}b$$a和b$)

   方法：移项成含$a$$a$的在一边，含$b$$b$的在另一边。形成对称结构，取两边共同函数为辅助函数

2. 对辅助函数求一阶导判断单调性，若不能判断，则继续求导，最多不超过三阶导数。

   根据凹凸区间和单调性性质可得：高一阶导$⟹$$\Longrightarrow$低一阶导的单调性$⟹$$\Longrightarrow$低二阶导的凹凸性

   如：$F^{‴}(x)>0,\text{则}{F}^{″}(x)\text{单}\text{调}\text{递}\text{增},F^{\prime }(x)\text{为}\text{凹}$$F'''(x)>0,则F''(x)单调递增,F'(x)为凹$

3. 结合区间端点完成不等式的证明

   注意：结合能使辅助函数$F(x)(\text{或}\text{其}\text{导}\text{数}{F}^{(n)}(x))$$F(x)(或其导数F^{(n)}(x))$为$0$$0$的区间端点完成证明。当端点为函数无定义点时，可以求该点处函数的极限。

$\text{例}1：\text{当}0<x<\frac{\pi }{2}\text{时}，cosx<\frac{x^3}{6}-\frac{x^2}{2}+1$$\Large 例1：当0<x<\frac{\pi}{2}时，cosx<\frac{x^3}{6}-\frac{x^2}{2}+1$

$\text{例}2：\text{证}\text{明}：\text{当}0<a<b<\pi \text{时},bsinb+2cosb+\pi b>asina+2cosa+\pi a$$\Large 例2：证明：当0<a<b<\pi时,bsinb+2cosb+\pi b>asina+2cosa+\pi a$

$\text{例}:\text{证}\text{当}x>0\text{时},arctanx+\frac{1}{x}>\frac{\pi }{2}$$\Large 例:证当x>0时,arctanx+\frac{1}{x}>\frac{\pi}{2}$

3. 双中值定理

特点：存在${\xi }_1\text{与}{\xi }_2\in (a,b)$$\xi_1与\xi_2\in(a,b)$

运用定理：拉格朗日中值定理、柯西中值定理(不考)。两次拉氏定理或拉氏定理$+$$+$柯西定理(不考)。

类型：

• 区间$(a,b)$$(a,b)$内部，找$c$$c$点划分区间，在$(a,c)$$(a,c)$上证明点${\xi }_1$$\xi_1$，在$(c,b)$$(c,b)$上证明点${\xi }_2$$\xi_2$。此时${\xi }_1\text{与}{\xi }_2$$\xi_1与\xi_2$不能相等。
• 在区间$(a,b)$$(a,b)$内部对点${\xi }_1\text{和}{\xi }_2$$\xi_1和\xi_2$，分别证明两个点，此时${\xi }_1\text{和}{\xi }_2$$\xi_1和\xi_2$可以相等或不等。
• 其中对$c$$c$拆分有两种情况：①$c$$c$是中点($\frac{a+b}{2}$$\frac{a+b}{2}$)②c不是中点，此时要用待定系数法，确定$c$$c$

3.1 双中值不相等

双中值不相等($\text{存}\text{在}\xi ,\eta \in (a,b),\text{且}\xi \ne \eta$$存在\xi,\eta\in(a,b),且\xi\ne\eta$)

方法一：直接尝试用区间中点拆分，及中点$c=\frac{a+b}{2}$$c=\frac{a+b}{2}$

方法二：用待定系数法确定区间中点$c$$c$

$\begin{array}{c}\text{例}1：\text{设}f(x)\text{在}[0,1]\text{上}\text{连}\text{续}，\text{在}(0,1)\text{内}\text{可}\text{导},\text{且}f(1)=f(0)=\frac{1}{2}\text{证}\text{明},\\ \text{存}\text{在}\text{不}\text{同}\text{的}\text{点}\xi \text{和}\eta \in (0,1),\text{使}{f}^{\prime }(\xi )+f^{\prime }(\eta )=1\end{array}$$\Large 例1：设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导,且f(1)=f(0)=\frac{1}{2}证明,\\\Large 存在不同的点\xi和\eta\in(0,1),使f'(\xi)+f'(\eta)=1$

$\begin{array}{c}\text{例}2：\text{设}f(x)\text{在}[a,b]\text{上}\text{连}\text{续},\text{在}(a,b)\text{内}\text{可}\text{导},f(a)=f(b)\text{且}f(x)\text{在}[a,b]\text{上}\text{不}\text{恒}\text{为}\text{常}\text{数}\\ \text{证}\text{明}：\text{存}\text{在}\text{不}\text{相}\text{等}\text{的}\xi ,\eta \in (a,b)\text{使}{f}^{\prime }(\xi )·f^{\prime }(\eta )<0\end{array}$$\Large 例2：设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,f(a)=f(b)且f(x)在[a,b]上不恒为常数\\\Large证明：存在不相等的\xi,\eta\in(a,b)使f'(\xi)·f'(\eta)<0$

$\begin{array}{c}\text{例}3：f(x)\text{在}[0,1]\text{上}\text{连}\text{续},(0,1)\text{内}\text{可}\text{导},f(0)=0,f(1)=1,\text{证}:\\ \text{存}\text{在}\xi ,y\in (0,1),\text{使}\frac{1}{f^{\prime }(\xi )}+\frac{1}{f^{\prime }(y)}=2\end{array}$$\Large 例3：f(x)在[0,1]上连续,(0,1)内可导,f(0)=0,f(1)=1,证:\\\Large存在\xi,y\in(0,1),使\frac{1}{f'(\xi)}+\frac{1}{f'(y)}=2$

待定系数法：寻找等式两边不同项，不同项前面得系数等于$0$$0$

$\text{例}:\frac{ac}{t}+\frac{b-bc}{1-t}=a+b$$\Large 例:\frac{ac}{t}+\frac{b-bc}{1-t}=a+b$

如上题等式左边是方程，右边为常数情况下我们可是设$f(c)=t$$f(c)=t$

下面看方程两边都是未知数情况：设辅助函数为等式两边公共函数的原函数

$\begin{array}{c}\text{例}4:\text{设}f(x)\text{在}[0,1]\text{上}\text{连}\text{续},(0,1)\text{内}\text{可}\text{导},\text{且}f(0)=1,f(1)=e\\ \text{证}:\text{存}\text{在}\xi ,\eta \in (0,1)\text{且}\xi \ne \eta ，\text{使}{f}^{\prime }(\xi )+f^{\prime }(\eta )=e^{\xi }+e^{\eta }\end{array}$$\Large 例4:设f(x)在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且f(0)=1,f(1)=e\\\Large 证:存在\xi,\eta\in(0,1)且\xi\ne\eta，使f'(\xi)+f'(\eta)=e^\xi+e^\eta$

3.2 双中值可相等

$\text{存}\text{在}\xi ,\eta \in (a,b)$$存在\xi,\eta\in(a,b)$

方法：直接在同一区间使用两次拉氏定理。辅助函数也为公共函数原函数。

$\begin{array}{c}\text{例}:\text{设}f(x)\text{在}[a,b]\text{上}\text{连}\text{续},(a,b)\text{内}\text{可}\text{导},\text{且}f(a)=f(b),\text{证}\text{明}:\\ \text{存}\text{在}\xi ,\eta \in (a,b)\text{使}\text{得}{f}^{\prime }(\xi )=f^{\prime }(\eta )\end{array}$$\Large 例:设f(x)在[a,b]上连续,(a,b)内可导,且f(a)=f(b),证明:\\\Large存在\xi,\eta\in(a,b)使得f'(\xi)=f'(\eta)$

二. 导数的应用

1. 导数的单调区间与极值

极值点也称成为单调分界点。

拐点为凹凸分界点。凹区间：值由负变为正，凸区间：值由正变为负。

求极值：单调函数极值一定在区间端点处取得(小题常用)。

常考判断内容：

• 可导函数极值点一定是驻点
• 二阶导非零的点一定是极值点
• 驻点两侧一阶导异号时，一定是极值点
• 一阶不可导点两侧一阶导异号时，一定是极值点

总结：单独的驻点，一阶不可导点与极值点没有"一定"关系，只有"可能"关系。

$\text{例}：f(x)=x^3-3x^2+2\text{在}\text{定}\text{义}\text{域}\text{的}\text{单}\text{调}\text{性}$$\Large 例：f(x)=x^3-3x^2+2在定义域的单调性$

$\text{例}:\text{曲}\text{线}y=x^3+b{x}^2+c\text{在}x=1\text{处}\text{取}\text{得}\text{极}\text{值}0$$\Large 例:曲线y=x^3+bx^2+c在x=1处取得极值0$

2. 闭区间求最值

最值可能在可能极值点(驻点，一阶不可导点)或区间端点处取得。

求最值步骤：

1. 求出可能最值点
2. 直接将可能最值点代入函数，最大的就是最大值，最小的就是极小值。

$\text{例}:\text{求}f(x)=\frac{1}{2}cos2x+sinx\text{在}[0,2\pi ]\text{最}\text{值}$$\Large 例:求f(x)=\frac{1}{2}cos2x+sinx在[0,2\pi]最值$

3. 判断凹凸性和拐点

3.1 求拐点的步骤

1. 求可能拐点
2. 方法一：将可能拐点两侧带入$y^{″}$$y''$，看可能拐点两侧是否异号，若异号为拐点($y^{″}>0\text{为}\text{凹},y^{″}<0\text{为}\text{凸}$$y''>0为凹,y''<0为凸$) 方法二：将二阶导为零点代入三阶导，若三阶导非零，二阶导为零的点，一定是拐点。
3. 将拐点$x$$x$轴带入原函数找出坐标。

常考判断内容：

• 二阶可导函数的拐点一定是二阶导等于零的点
• 二阶导等于零的点(两侧二阶导异号时)，一定为拐点
• 二阶导不存在的点(两侧二阶导异号时)，一定是拐点

3.2 求凹凸区间步骤

1. 求出所有的可能拐点(包括二阶导等于零和二阶导不存在的点)
2. 用可能拐点划分区域为若干个子区间
3. 判断区间内二阶导符号凹凸区间

小题判断：

• 凹区间：$\text{二}\text{阶}\text{导}>0$$二阶导>0$与定义域交集
• 凸区间：$\text{二}\text{阶}\text{导}<0$$二阶导<0$与定义域交集

$\text{例}：\text{求}\text{函}\text{数}f(x)=(x-2)\sqrt[3]{x^2}\text{的}\text{凹}\text{凸}\text{区}\text{间}\text{及}\text{拐}\text{点}$$\Large 例：求函数f(x)=(x-2)\sqrt[3]{x^2}的凹凸区间及拐点$

$\text{例}:\text{点}(0,1)\text{是}\text{曲}\text{线}y=x^3+b{x}^2+c\text{的}\text{拐}\text{点},\text{求}b\text{和}c$$\Large 例:点(0,1)是曲线y=x^3+bx^2+c的拐点,求b和c$

三. 渐近线

水平渐近线：当$x\to \mathrm{\infty }$$x\to\infty$时，极限值是一个具体的常数$A$$A$，则$y=A$$y=A$为水平渐近线

垂直渐近线：当$x\to x_0$$x\to x_0$时，极限值为$\mathrm{\infty }$$\infty$，则$x=x_0$$x=x_0$为垂直渐近线。$x_0$$x_0$为无定义的点。

左右极限有一个存在即可

$\text{例}：\text{求}\text{曲}\text{线}y=\frac{1}{|x-1|}\text{的}\text{垂}\text{直}\text{渐}\text{近}\text{线}\text{和}\text{水}\text{平}\text{渐}\text{近}\text{线}$$\Large 例：求曲线y=\frac{1}{|x-1|}的垂直渐近线和水平渐近线$