一. 坐标下的二重积分

1. 直角坐标下二重积分

1.1 二重积分的化简

二重积分需要分关于$x$$x$轴还是关于$y$$y$轴，然后再用积零偶倍原则。

$\text{例}:\text{区}\text{域}D\text{为}{x}^2+y^2\le 9,\text{则}\underset{D}{\iint }{x}^{2}yd\sigma$$\Large 例:区域D为x^2+y^2\le9,则\iint\limits_{D}x^2yd\sigma$

图像：

二重积分化简性质：

1. 两组积分的上下限都是常数
2. 被积函数是关于$x$$x$的函数乘关于$y$$y$的函数

此时可以把关于$x$$x$的积分放到关于$x$$x$积分中，$y$$y$的积分放到关于$y$$y$的积分中。可拆成两个积分之积相乘。即：

这样的优势是两个积分可以分别计算，再相乘。

$\text{例}:\text{求}\text{积}\text{分}{\int }_0^{1}dx{\int }_1^2{x}^{2}ydy$$\Large 例:求积分\int_0^1dx\int_1^2x^2ydy$

1.2 超越积分

定义：超越积分的原函数为非初等函数的积分，此类积分我们在一重积分$(\text{定}\text{积}\text{分}\text{和}\text{不}\text{定}\text{积}\text{分})$$(定积分和不定积分)$情况下解不出来，但可以用二重积分或者夹逼定理解出。

解法：二重积分解法是交换积分次序。

常见的超越积分：

1. $e^{x^2},\frac{e^x}{x},e^{\frac{1}{x}}$$\Large e^{x^2},\frac{e^x}{x},e^{\frac{1}{x}}$
2. $sin{x}^2,\frac{sinx}{x},sin\frac{1}{x}$$\Large sinx^2,\frac{sinx}{x},sin\frac{1}{x}$

$\text{例}:\text{积}\text{分}\underset{D}{\iint }{e}^{-y^2}dxdy,D\text{是}\text{直}\text{线}y=x,y=1,x=0\text{所}\text{围}\text{成}\text{的}\text{区}\text{域}$$\Large 例:积分\iint\limits_{D}e^{-y^2}dxdy,D是直线y=x,y=1,x=0所围成的区域$

图像：

1.3 交换积分次序

实质就是交换积分区域$D$$D$的类型。

$\text{例}:\text{设}I={\int }_0^{2}dx{\int }_0^{\frac{x^2}{2}}f(x,y)dy+{\int }_2^{2\sqrt{2}}dx{\int }_0^{\sqrt{8-x^2}}f(x,y)dy,\text{交}\text{换}\text{积}\text{分}\text{次}\text{序}$$\Large 例:设I=\int_0^2dx\int_0^{\frac{x^2}{2}}f(x,y)dy+\int_2^{2\sqrt{2}}dx\int_0^{\sqrt{8-x^2}}f(x,y)dy,交换积分次序$

图像：

2. 极坐标下的二重积分

极坐标可以处理直角坐标系下复杂的二重积分计算。

如：

1. 积分区域$D$$D$：圆域、环域、扇形域
2. 被积函数$f(x,y)$$f(x,y)$：含有$x^2,y^2$$x^2,y^2$

2.1 极坐标与直角坐标互换

极坐标互换：

$\text{例}:\text{设}D\text{是}\text{由}\text{上}\text{半}\text{圆}\text{周}y=\sqrt{2ax-x^2}\text{和}x\text{轴}\text{所}\text{围}\text{成}\text{的}\text{闭}\text{区}\text{域},\text{则}\underset{D}{\iint }f(x,y)d\sigma \text{值}$$\Large 例:设D是由上半圆周y=\sqrt{2ax-x^2}和x轴所围成的闭区域,则\iint\limits_{D}f(x,y)d\sigma值$

二重积分坐标互换：

3. 二重积分几何应用(考频较低)

二重积分表示的是曲顶柱体的体积：柱体顶为空间曲面$z=f(x,y)$$z=f(x,y)$，底为空间平面$D$$D$。其体积为$\underset{D}{\iint }f(x,y)d\sigma$$\iint\limits_{D}f(x,y)d\sigma$

求曲顶柱体体积的步骤：

思路：表示成二重积分$\underset{D}{\iint }f(x,y)d\sigma$$\iint\limits_{D}f(x,y)d\sigma$

1. 画出大致图形
2. 确定被积函数$z=f(x,y)$$z=f(x,y)$：把题中分成解出$z$$z$
3. 确定积分区域$D$$D$：曲顶方程在$xoy$$xoy$面(低)的投影方程，即将题中所给方程$z=0$$z=0$

$\text{例}:\text{求}\text{球}\text{体}{x}^2+y^2+z^2\le a^2\text{的}\text{体}\text{积}$$\Large 例:求球体x^2+y^2+z^2\le a^2的体积$

图形：

$\text{例}:\text{求}\text{几}\text{何}\text{体}{x}^2+y^2+4z^4\le 4\text{的}\text{体}\text{积}$$\Large 例:求几何体x^2+y^2+4z^4\le4的体积$

图形：

二. 曲线积分

1. 第一类曲线积分

第一类曲线积分是关于弧长的曲线积分。

$\text{例}:\text{设}L\text{为}\text{连}\text{接}\text{点}(0,0)\text{与}\text{点}(1,\sqrt{3})\text{的}\text{直}\text{线}\text{段},\text{则}\text{曲}\text{线}\text{积}\text{分}{\int }_L{y}^{2}ds\text{积}\text{分}$$\Large 例:设L为连接点(0,0)与点(1,\sqrt{3})的直线段,则曲线积分\int_Ly^2ds积分$

2. 第二类曲线积分

第二类曲线积分是关于坐标的曲线积分。

$\text{例}:\text{计}\text{算}{\int }_{L}xdx+ydy+(x+y+1)dz,z\text{是}\text{从}\text{点}A(1,1,1)\text{到}\text{点}B(1,1,4)\text{直}\text{线}\text{段}$$\Large 例:计算\int_Lxdx+ydy+(x+y+1)dz,z是从点A(1,1,1)到点B(1,1,4)直线段$

3. 第二类曲线积分与路径无关

如果与路径无关，则可以重选积分路径，一半选用与坐标轴平行的路径较为简单。

$\begin{array}{c}\text{例}:\text{计}\text{算}\underset{L}{\int }{e}^{x}cosydx-e^{x}sinydy，\text{其}\text{中}L\text{为}\text{圆}\text{周}{x}^2+y^2=a^2\text{上}\text{按}\text{逆}\text{时}\text{针}\text{方}\text{向}\text{从}\\ A(a,0)\text{到}B(0,a)\text{的}\text{一}\text{段}\text{弧}\end{array}$$\Large例:计算\int\limits_{L}e^xcosydx-e^xsinydy，其中L为圆周x^2+y^2=a^2上按逆时针方向从\\\Large A(a,0)到B(0,a)的一段弧$

4. 格林公式

用于第二类闭曲线积分

注意区域：