一. 定积分性质1. 定积分性质常考题2. 定积分几何意义二. 变现积分求导(变现积分函数)三. 点火公式(华里士公式)四. 分部积分五. 其他积分1. 绝对值积分2. 含有定积分的函数六. 定积分的证明七. 广义积分(反常积分)1. 无穷限的反常积分2. 无界函数反常积分(瑕积分)八. 定积分的应用

一. 定积分性质

1. 定积分性质常考题

计算积分平均值
$[a,b]$ $f(\xi)=\frac{\int_a^bf(x)dx}{b-a}$
$\Large 例：y=x^2在[1,3]上的平均值$
$\begin{aligned} 解： \\ f^{-} (x) = \frac{\int_{a}^{b} f (x) d x}{b - a} = \frac{\int_{1}^{3} x^{2} d x}{3 - 1} = \frac{13}{3} \end{aligned}$
估值定理估计积分值
$\Large 例:估计定积分\int_0^1(e^{x^2}-arctanx^2)dx的值$
$\begin{aligned} 解： \\ f (x) = e^{x^{2}} - a r c t a n x^{2}, f^{'} (x) = 2 x e^{x^{2}} - \frac{2 x}{1 + x^{4}} = 2 x (e^{x^{2}} - \frac{1}{1 + x^{4}}) \geq 0 \\ f (x) 单调递增, 而单调递增函数最值在区间端点处取得 \\ 根据估值定理： m (b - a) \leq \int_{a}^{b} f (x) d x \leq M (b - a) \\ 得 : 1 \leq e^{x^{2}} - a r c t a n x^{2} \leq (e - \frac{π}{4}) \end{aligned}$

2. 定积分几何意义

$f(x)\ge0$ $\int_a^bf(x)dx$ 表示曲边梯形的面积。
$f(x)\le0$ $\int_a^bf(x)dx$ 表示曲边梯形的面积的负值。
$f(x)$ $\int_a^bf(x)dx$ 表示曲边梯形的面积的代数和(有加有减)。

二. 变现积分求导(变现积分函数)

$f(x)$ $u(x)、v(x)$ 可导(称为函数变量)，则：
$\frac{d}{d x} \int_{v (x)}^{u (x)} f (t) d t = f [u (x)] u^{'} (x) - f [v (x)] v^{'} (x)$

$[\int_{v(x)}^{u(x)}f(t)dt]'=f[u(x)]·u'(x)-f[v(x)]·v'(x)$

$[\int_{v(x)}^{u(x)}g(x)f(t)dt]'=[g(x)·\int_{v(x)}^{u(x)}f(t)dt]'=g'(x)\int_{v(x)}^{u(x)}f(t)dt+g(x)[f[u(x)]·u'(x)-f[v(x)]·v'(x)]$

$\Large 例1:函数y=\int_0^xt·e^{-t}dt的极小值$

\begin{aligned} 解 ： \\ y^{'} = x \cdot e^{- x} \cdot 1 - 0 \\ 令 y^{'} = 0 ⟹ x \cdot e^{- x} = 0 \\ ∴ & x = 0, 且 f (x) 为 可 导 函 数, 极 值 点 一 定 为 驻 点 \\ 极 小 值 ： y (0) = 0 \end{aligned}

$\Large 例2:若f(x)是可导函数f(x)>0,且满足f^2(x)=ln^22-2\int_0^x\frac{f(t)sint}{1+cost}dt\\\Large 求f(x)值$

\begin{aligned} 解 ： \\ \overset{两 边 求 导}{\to} [f^{2} (x)]^{'} = [l n^{2} 2 - 2 \int_{0}^{x} \frac{f (t) s i n t}{1 + c o s t} d t]^{'} \\ 2 f (x) \cdot f^{'} (x) = 0 - 2 \cdot \frac{f (x) s i n x}{1 + c o s x} \cdot 1 - 0 \\ \overset{两 边 化 简 积 分}{\to} \int f^{'} (x) d x = \int - \frac{s i n x}{1 + c o s x} d x \\ f (x) = \int \frac{1}{1 + c o s x} d (1 + c o s x) = l n | 1 + c o s x | + c \\ 且 f^{2} (0) = l n^{2} 2 - 2 \cdot 0 = l n^{2} 2, 即 f (0) = l n 2 \\ ∴ & f (0) = l n 2 + c = l n 2 ⟹ c = 0 \end{aligned}

$c$ $f(1)或f(0)$ ，即消掉等式中的积分式。使积分上下限相等时等于零。

三. 点火公式(华里士公式)

$\int_0^{\frac{\pi}{2}}sin^nxdx或\int_0^{\frac{\pi}{2}}cos^nxdx$

解法：

$n$ 是正偶数
$\frac{n-1}{n}·\frac{n-3}{n-2}·...·\frac{3}{4}·\frac{1}{2}·\frac{\pi}{2}$
$n$ 是正整数
$\frac{n-1}{n}·\frac{n-3}{n-2}·...·\frac{4}{5}·\frac{2}{3}·1$

次幂是几，分母就从几开始。

$\Large 例:\int_{-1}^1x^5cos2x+x^4\sqrt{1-x^2}dx$

\begin{aligned} 解 ： \\ 原 积 分 = & 2 \int_{0}^{1} x^{4} \sqrt{1 - x^{2}} d x \\ 令 x = s i n t ⟹ \sqrt{1 - x^{2}} = \sqrt{1 - s i n^{2} t} = c o s t, d x = d s i n t = c o s t d t \\ 从 而 可 得 积 分 上 下 限 为 (0, \frac{π}{2}) \\ = & 2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} s i n^{4} t \cdot c o s^{2} t d t \\ = & 2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} s i n^{4} t (1 - s i n^{2} t) d t \\ = & 2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} s i n^{4} t - s i n^{6} t d t \\ \overset{点 火 式}{\to} & 2 [\int_{0}^{\frac{π}{2}} s i n^{4} t d t - \int_{0}^{\frac{π}{2}} s i n^{6} t d t] \\ = & 2 [\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{π}{2} - \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{π}{2}] \\ = & \frac{3 π}{8} - \frac{15 π}{48} = \frac{π}{16} \end{aligned}

四. 分部积分

$\Large 例:设f(0)=1,f(2)=2,f'(2)=3,求\int_0^1xf''(2x)dx值$

\begin{aligned} 解 ： \\ \int_{0}^{1} x f^{″} (2 x) d x = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} x f^{″} (2 x) d (2 x) \overset{令 2 x = t}{\to} \frac{1}{2} \int_{0}^{2} \frac{t}{2} f^{″} (t) d t \\ = & \frac{1}{4} \int_{0}^{2} t f^{″} (t) d t = \frac{1}{4} \int_{0}^{2} t d f^{'} (t) = \frac{1}{4} [t f^{'} (t) |_{0}^{2} - \int_{0}^{2} f^{'} (t) d t] \\ = & \frac{1}{4} [(2 f^{'} (2) - 0) - f (t) |_{0}^{2}] = \frac{1}{4} [2 f^{'} (2) - [f (2) - f (0)]] \\ = & \frac{1}{4} (6 - 1) = \frac{5}{4} \end{aligned}

五. 其他积分

1. 绝对值积分

特别注意开偶次方跟要加绝对值
我们可以把绝对值函数变为分段函数，再积分。

$\large 例:求\int_0^x\sqrt{1+cos2x}dx$

\begin{aligned} 解 ： \\ = & \int_{0}^{π} \sqrt{2 c o s^{2} x} d x = \sqrt{2} \int_{0}^{π} | c o s x | d x \\ | c o s x | {\begin{array}{c} c o s x, 0 < x \leq \frac{π}{2} \\ - c o s x, \frac{π}{2} < x < π \end{array} \\ = & \sqrt{2} [\int_{0}^{\frac{π}{2}} c o s x d x + \int_{\frac{π}{2}}^{π} - c o s x d x] \\ = & \sqrt{2} (s i n x |_{0}^{\frac{π}{2}} - s i n x |_{\frac{π}{2}}^{π}) \\ = & 2 \sqrt{2} \end{aligned}

$\Large 例:求\int_{-1}^1|x(x-1)|dx$

\begin{aligned} 解 ： \\ 原 式 去 绝 对 值 符 号 可 得 三 个 区 间 ： \\ 原 式 = \int_{- 1}^{0} x (x - 1) d x + \int_{0}^{1} x (1 - x) d x + \int_{1}^{2} x (x - 1) d x \\ = (\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2}) |_{- 1}^{0} + (\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{3} x^{3}) |_{0}^{1} + (\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2}) |_{1}^{2} \\ = \frac{11}{6} \end{aligned}

2. 含有定积分的函数

$A$ (也可以是其他)

$\Large 例:若f'(x)满足f(x)=x+1-\frac{1}{2}\int_{-1}^1f(x)dx,求f(x)的值$

\begin{aligned} 解 ： \\ 令 \int_{- 1}^{1} f (x) d x 为 A, 则 f (x) = x + 1 - \frac{1}{2} A \\ f (x) 两 边 同 时 积 分 : \int_{- 1}^{1} f (x) d x = \int_{- 1}^{1} x + 1 - \frac{1}{2} A d x \\ A = (\frac{1}{2} x^{2} + x - \frac{1}{2} A x) |_{- 1}^{1} \\ = (\frac{1}{2} + 1 - \frac{1}{2 A}) - (\frac{1}{2} - 1 + \frac{1}{2} A) \\ = 2 - A \\ ∴ & 2 A = 2 ⟹ A = 1 ⟹ \int_{- 1}^{1} f (x) d x = 1 \\ f (x) = x + 1 - \frac{1}{2} \cdot 1 = x + \frac{1}{2} \end{aligned}

六. 定积分的证明

定积分的证明需要用到换元

$\Large 例1:设f(x)再[-a,a]上连续,证明:\int_{-a}^af(x)dx=\int_0^a[f(x)+f(-x)]dx.\\\Large 并计算\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\frac{cosx}{1+e^{-x}}dx$

\begin{aligned} 证 ： \\ \int_{- a}^{a} f (x) d x = \int_{- a}^{0} f (x) d x + \int_{0}^{a} f (x) d x \\ 又 \int_{- a}^{0} f (x) d x \overset{令 x = - t}{\to} \int_{a}^{0} f (- t) d (- t) = \int_{0}^{a} f (- t) d t \\ \overset{令 t = x}{\to} \int_{0}^{a} f (- x) d x \\ 从 而 原 函 数 为 : \int_{- a}^{a} f (x) d x = \int_{0}^{a} f (- x) d x + \int_{0}^{a} f (x) d x = \int_{0}^{a} [f (- x) + f (x)] d x \\ 解 ： \\ \int_{- \frac{π}{4}}^{\frac{π}{4}} \frac{c o s x}{1 + e^{- x}} d x \overset{由 证 明 可 得}{\to} \int_{0}^{\frac{π}{4}} (\frac{c o s x}{1 + e^{- x}} + \frac{c o s x}{1 + e^{x}}) d x \overset{左 边 上 下 同 乘 e^{- x}}{\to} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{e^{x} c o s x}{1 + e^{- x}} + \frac{c o s x}{1 + e^{x}} d x \\ = & \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{c o s x (1 + e^{x})}{1 + e^{x}} d x = \int_{0}^{\frac{π}{4}} c o s x d x = s i n x |_{0}^{\frac{π}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \end{aligned}

$\Large 例2:设f(x)为连续函数,试证明\int_0^\frac{\pi}{2}f(sinx)dx=\int_0^\frac{\pi}{2}f(cosx)dx$

\begin{aligned} 证 ： \\ \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (s i n x) d x \overset{令 t = \frac{π}{2} - x}{\to} \int_{\frac{π}{2}}^{0} f [s i n (\frac{π}{2} - t)] d - t = \int_{\frac{π}{2}}^{0} f c o s (- t) d - t = \int_{\frac{π}{2}}^{0} f (c o s t) d - t \\ = \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (c o s t) d t = \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (c o s x) d x \end{aligned}

七. 广义积分(反常积分)

积分可积不在于上下限，而在于被积函数是否能形成面积。

1. 无穷限的反常积分

结论：

\begin{matrix} \int_{a}^{+ \infty} \frac{1}{x^{p}} d x {\begin{matrix} p > 1 ， 收 敛 \\ p \leq 1 ， 发 散 \end{matrix} \end{matrix}

推广：

\begin{matrix} {\begin{matrix} ① \int_{a}^{+ \infty} \frac{P_{n} (x)}{Q_{m} (x)} & p = m - n \\ ② \int_{e}^{+ \infty} \frac{1}{x^{1} (l n x)^{p}} & 注 ： 可 以 大 于 e ， x 一 定 是 1 次 \end{matrix} \end{matrix}

$\Large 例:\int_2^{+\infty}\frac{lnx}{x}dx$

\begin{aligned} 解 ： \\ 原 式 = & \int_{2}^{+ \infty} \frac{1}{x (l n x)^{- 1}} d x \end{aligned}

2. 无界函数反常积分(瑕积分)

指的是被积函数在区间内有无定义的点

分为两种情况：

瑕点再积分端点处。方法：当作普通积分算。
瑕点在积分区间内。方法：以瑕点为界，把瑕积分拆成两个积分来计算。

结论：

\begin{matrix} \int_{0 (或 - 1)}^{1 (或 0)} \frac{1}{x^{q}} d x {\begin{matrix} q < 1 ， 收 敛 \\ q \geq 1 ， 发 散 \end{matrix} \end{matrix}

推广：

\begin{matrix} {\begin{matrix} ① \int_{a}^{b} \frac{1}{(x - a)^{q}} d x, q 同 上 \\ ② \int_{a}^{b} \frac{1}{(x - b)^{q}} d x, q 同 上 \end{matrix} \end{matrix}

$\Large 例:\int_{-1}^1\frac{1}{x}dx$

\begin{aligned} 解 ： \\ \int_{- 1}^{0} \frac{1}{x} d x + \int_{0}^{1} \frac{1}{x} d x \\ = & l n | x | |_{- 1}^{0^{-}} + l n | x | |_{0^{+}}^{1} \\ = & - \infty - 0 + 0 - (- \infty) = 0 \end{aligned}

八. 定积分的应用

在计算旋转体体积时，运用公式的时候也要结合图像，看图像中有效旋转部分(有时候图形围成面积在绕轴旋转时会出现无用区域，此时我们要计算图形有效面积区域，再代入公式)
即绕哪个轴旋转，我们只能取轴一侧最大那部分。

$\Large 例1:计算抛物线y^2=2x与直线x-y=4所围成平面图形的面积,\\\Large并计算绕x轴旋转图形体积$

\begin{aligned} 解 ： \\ 观 察 图 形 可 知 围 成 图 形 如 下, 我 们 用 Y 型 区 域 计 算 \\ Y 型 {\begin{array}{c} - 2 \leq y \leq 4 \\ \frac{y^{2}}{2} \leq x \leq y + 4 \end{array} \\ S_{Y D} = \int_{- 2}^{4} (y + 4) - \frac{y^{2}}{2} d y = 18 \\ 解 ： \\ 观 察 图 形 可 知, 设 直 线 x - y = 4 与 x 轴 交 点 为 A, 则 绕 x 轴 旋 转, 区 域 O A P 为 无 效 区 域 \\ 所 以 我 们 需 要 重 新 计 算 O A Q 所 围 成 图 形 面 积, 再 用 柱 壳 法 计 算 旋 转 体 体 积 \\ V_{Y D, x} = 2 π \int_{0}^{4} [(y + 4) - \frac{y^{2}}{2}] y d y \end{aligned}

图像：

$\Large 例2:过点P(1,0)做抛物线y=\sqrt{x-2}的切线L,L与上述抛物线及x轴所围成\\\Large一平面图形.求此图形绕x轴旋转一周所成旋转体体积$

\begin{aligned} 解 ： \\ 设 切 点 (x_{0}, \sqrt{x_{0} - 2}) \\ 抛 物 线 的 切 线 k_{切} = y^{'} (x_{0}) = \frac{1}{2 \sqrt{x - 2}} |_{x = x_{0}} = \frac{1}{2 \sqrt{x_{0} - 2}} \\ 由 切 线 两 点 式 可 得 k_{切} = \frac{y_{0} - b}{x_{0} - a} = \frac{\sqrt{x_{0} - 2} - 0}{x_{0} - 1} \\ 联 立 两 个 切 线 方 程 ： \frac{1}{2 \sqrt{x_{0} - 2}} = \frac{\sqrt{x_{0} - 2}}{x_{0} - 1} \overset{解 得 方 程}{\to} x_{0} = 3 \\ ∴ & 切 点 (x_{0}, \sqrt{x_{0} - 2}), k_{切} = \frac{1}{2} \\ 将 切 点 或 P 点 代 入 得 切 线 方 程 ： y - 0 = \frac{1}{2} (x - 1) ⟹ y = \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \\ 从 而 可 知 围 成 图 形 如 下 \\ V_{Y D} = 2 π \int_{0}^{1} [(y^{2} + 2) - (2 y + 1)] y d y \\ = 2 π (\frac{1}{4} y^{4} + y^{2} - \frac{2}{3} y^{3} - \frac{1}{2} y^{2}) |_{0}^{1} \\ = \frac{π}{6} \end{aligned}

计算旋转体体积2：

平移变换 $f(x-2)相当于f(x)在图形上向右平移两个单位,f(x)-2相当于f(x)在图形上向下平移两个单位$