一. 利用定义或性质判断数列敛散性

收敛定义：结果为唯一确定，且为常数。

数列走向只能为$+\mathrm{\infty }$$+\infty$.

极限分左右已定式：

• $arctan\mathrm{\infty }$$arctan\infty$

  $arctan(+\mathrm{\infty })=\frac{\pi }{2}$$arctan(+\infty)=\frac{\pi}{2}$

  $arctan(-\mathrm{\infty })=-\frac{\pi }{2}$$arctan(-\infty)=-\frac{\pi}{2}$

• $e^{\mathrm{\infty }}$$e^{\infty}$($e$$e$可换为任意大于$1$$1$的数)

  $e^{+\mathrm{\infty }}=+\mathrm{\infty }$$e^{+\infty}=+\infty$

  $e^{-\mathrm{\infty }}=0$$e^{-\infty}=0$

• $\frac{c}{0}$$\frac{c}{0}$

  $\frac{c}{0^{+}}=+\mathrm{\infty }$$\frac{c}{0^+}=+\infty$

  $\frac{c}{0^{-}}=-\mathrm{\infty }$$\frac{c}{0^-}=-\infty$

有界函数：$sinx,cos,(-1{)}^n$$sinx,cos,(-1)^n$，反三角函数，常函数，复合函数：外层有界，整个都有界。如：$sin(tanx)\text{有}\text{界}$$sin(tanx)有界$

二. 泰勒展开式求极限

1. 泰勒公式及常见麦克劳林公式

• 泰勒公式：

其中$o((x-x_0{)}^n)$$o((x-x_0)^n)$为高阶无穷小，先求导代带零之后再乘上后面系数

常用泰勒公式：

• 常见麦克劳林公式

  $$\begin{array}{c}{e}^x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{x!}x\in (-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })\\ \\ cosx=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n-1}\frac{x^{2n-2}}{(2n-2)!}x\in (-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })\\ \\ sinx=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}x\in (-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })\\ \\ ln(1+x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{x^{n+1}}{n+1}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n-1}\frac{x^n}{n}x\in (-1,1]\\ \\ \frac{1}{1-x}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}^n=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{x}^{n-1}x\in (-1,1)\\ \text{广}\text{义}\text{化}：\frac{1}{1-\omega }=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\omega }^n-1<\omega <1\end{array}$$

2. 泰勒公式求等价无穷小

原则：高阶$+$$+$低阶$\sim$$\sim$低阶

推论：常见的等价无穷小就是麦克劳林展开式最低阶(带常数项)

过程：展开到系数不为$0$$0$的最低次幂

使用条件：

1. $\frac{A}{B}$$\frac{A}{B}$中，使用泰勒公式展开时要保持分母分子上下同阶(即分母或分子次幂和展开阶数相同)

2. $A-B$${A}-{B}$中，要遵循"加减幂次最低原则"。即将$A\text{和}B$$A和B$分别展开到它们的系数不相等的$x$$x$的最低次幂为止。

   $$\begin{array}{c}cosx=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4!}+o(x^4)\\ \text{则}:e^{-\frac{x^2}{2}}=1-\frac{x^2}{2}+\frac{1}{2!}·\frac{x^4}{4}+o(x^4)\end{array}$$

   上面两个式子中当展开到四阶时，前面系数不一样，则停止。

3. $A·B$$A·B$中要展开到相乘项的最高次幂。即$\frac{B}{\frac{1}{A}}$$\frac{B}{\frac{1}{A}}$，同条件一。

如：

$\text{例}：\underset{x\to 0}{lim}\frac{cosx-e^{-\frac{x^2}{2}}}{x^4}$$\Large 例：\underset{x\to0}{lim}\frac{cosx-e^{-\frac{x^2}{2}}}{x^4}$

三. 利用带佩亚诺余项的麦克劳林公式求极限

1. 麦克劳林公式和等价无穷小的关系

等价无穷小是麦克劳林公式的大头，是主要部分，起等价作用。麦克劳林公式是一个函数的全部，包括主要部分和次要部分，起等于作用，是把非幂函数转换为幂函数，因为幂函数求极限比较简单。

等价的幂次越高，越接近。一般我们展开公式到式子的做高次幂阶数

2. 佩亚诺余项等价无穷小

根据麦克劳林公式可设$o$$o$为无穷小系数，则我们可以选择一项为$o(\mathrm{\Delta })$$o(\Delta)$，则其余后面的余项为$o(\mathrm{\Delta })$$o(\Delta)$的等价无穷小。

3. 佩亚诺余项运算

4. 常见的佩亚诺余项公式

$\text{例}1：\underset{x\to 0}{lim}\frac{sinx-tanx}{x^3}$$\Large 例1：\underset{x\to0}{lim}\frac{sinx-tanx}{x^3}$

$\text{例}2：\underset{x\to 0}{lim}\frac{sinx-xcosx}{si{n}^{3}x}$$\Large 例2：\underset{x\to0}{lim}\frac{sinx-xcosx}{sin^3x}$

实际上，$cosx$$cosx$我们用佩亚诺余项展开只用展开三项，因为分式的最高次幂为$si{n}^{3}x$$sin^3x$为三阶。

$\text{例}3：\underset{x\to 0}{lim}\frac{cosx-e^{-\frac{x^2}{2}}}{l{n}^4(1+x)}$$\Large 例3：\underset{x\to0}{lim}\frac{cosx-e^{-\frac{x^2}{2}}}{ln^4(1+x)}$

四. 未定式求极限

1. 无穷项求极限

思路：化为有限项

方法：

1. 若无穷项为特殊数列(等比，等差，可列项数列)，此时可以先求和为一项，再求极限。 等差求和公式：$S_n=\frac{(a_1+a_n)n}{2},(\text{知}\text{道}\text{首}\text{尾}\text{项})$$S_n=\frac{(a_1+a_n)n}{2},(知道首尾项)$ $S_n=n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d$$S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d$ 等比求和公式：$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q},(\text{当}n>1\text{时},q^n=\mathrm{\infty }.\text{当}n<1,q^n=0)$$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q},(当n>1时,q^n=\infty.当n<1,q^n=0)$
2. 若无穷项不是特殊数列，用定积分，夹逼定理。

$\text{例}1：\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1+a+a^2+...+a^n}{1+b+b^2+...+b^n}(|a|<1,|b|<1)$$\Large 例1：\underset{n\to\infty}{lim}\frac{1+a+a^2+...+a^n}{1+b+b^2+...+b^n}(|a|<1,|b|<1)$

$\text{例}2：\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}[\frac{1}{1·3}+\frac{1}{3·5}+...+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}]$$\Large 例2：\underset{n\to\infty}{lim}\Big[\frac{1}{1·3}+\frac{1}{3·5}+...+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}\Big]$

$\text{例}2：\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1{)}^2}+...+\frac{1}{(n+n{)}^2})$$\Large 例2：\underset{n\to\infty}{lim}(\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}+...+\frac{1}{(n+n)^2})$

2. $\frac{0}{0}\text{型}\text{未}\text{定}\text{式}\text{较}\text{难}\text{计}\text{算}\text{问}\text{题}$$\frac{0}{0}型未定式较难计算问题$

大头大小关系：$e^x>x>lnx$$e^x>x>lnx$

因为根据高阶无穷小定义可得：极限中的取值由高阶无穷小决定(大头)，所以极限值为大头值。

$\text{例}:\text{求}\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^n}{e^{\lambda x}}(n\text{为}\text{正}\text{整}\text{数}，\lambda >0)$$\Large 例:求\underset{x\to\infty}{lim}\frac{x^n}{e^{\lambda x}}(n为正整数，\lambda>0)$

• 等式代换：

  $\text{例}1：\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x}{\sqrt[4]{1+2x}-1}$$\Large 例1：\underset{x\to\infty}{lim}\frac{x}{\sqrt[4]{1+2x}-1}$

• 分子分母有理化

  $\text{例}2：\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sqrt{4x+8}-4}{3-\sqrt{5+x^2}}$$\Large 例2：\underset{x\to\infty}{lim}\frac{\sqrt{4x+8}-4}{3-\sqrt{5+x^2}}$

• 根式代换(分子分母取最高次幂公倍数)

  $\text{例}：\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sqrt[3]{x}-1}{\sqrt{x}-1}$$\Large 例：\underset{x\to\infty}{lim}\frac{\sqrt[3]{x}-1}{\sqrt{x}-1}$

  $$\begin{array}{r}\\ \text{解}：\\ & \text{令}\sqrt[6]{x}=t⟹x=t^6\\ \\ & =\underset{x\to 1}{lim}\frac{t^2-1}{t^3-1}=\underset{t\to 1}{lim}\frac{2t}{3t^2}\\ \\ & =\underset{t\to 1}{lim}\frac{2}{3t}=\frac{2}{3}\end{array}$$

3. $\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$$\infty-\infty$型问题

做法：

1. 有分母通分
2. 无分母有根式，则有理化

4. ${\mathrm{\infty }}^0、0^0$$\infty^0、0^0$型极限

化为以$e$$e$为底的指数函数。如：

碰见三角函数可以用割化弦，进行化简。

$\text{例}：\text{求}\underset{x\to \frac{\pi }{2}}{lim}(tanx{)}^{sin2x}\text{极}\text{限}$$\Large 例：求\underset{x\to\frac{\pi}{2}}{lim}(tanx)^{sin2x}极限$

五. 极限的反问题

已知极限值，反求未知参数

如果有两个未知数，通过定理解得式①后，一般还要对原式洛必达得式②，联立式①和式②得两个未知数值。

1. $\frac{0}{0}\text{型}$$\frac{0}{0}型$反问题

如果一个极限非$0$$0$存在，若分子或者分母的任意一方为$0$$0$则另一方也为$0$$0$

$\text{例}1：\text{已}\text{知}\underset{x\to 1}{lim}\frac{x^2-ax+6}{x-1}=-5,\text{求}a\text{的}\text{值}$$\Large 例1：已知\underset{x\to 1}{lim}\frac{x^2-ax+6}{x-1}=-5,求a的值$

$\text{例}2：\text{已}\text{知}\underset{x\to 1}{lim}\frac{x^2+ax+b}{1-x}=5,\text{求}a\text{的}\text{值}$$\Large 例2：已知\underset{x\to 1}{lim}\frac{x^2+ax+b}{1-x}=5,求a的值$

2. $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}\text{型}$$\frac{\infty}{\infty}型$反问题

通过对$\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}\text{型}$$\frac{\infty}{\infty}型$未定式解法的方法二(即定义法)，可以推断出式子中未知数。

$\text{例}：\text{设}\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{x^2+1}{x+1}-ax-b)=0,\text{求}a,b\text{的}\text{值}$$\Large 例：设\underset{x\to\infty}{lim}(\frac{x^2+1}{x+1}-ax-b)=0,求a,b的值$

六. 两个重要极限

1. $\underset{x\to 0}{lim}\frac{sinx}{x}=1$$\underset{x\to0}{lim}\frac{sinx}{x}=1$

形式：$sin$$sin$后面是无穷小量，且和分母一致，与$x$$x$的趋近方式无关。

也可以使用等价无穷小代换做。

2. $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(1+\frac{1}{x}{)}^x=e$$\underset{x\to\infty}{lim}(1+\frac{1}{x})^x=e$

形式：$1$$1$后加无穷小量，且和指数互为导数，且和$x$$x$的趋近方式无关。

可以解决$1^{\mathrm{\infty }}$$1^{\infty}$形未定式。

$\text{例}：\text{求}\underset{x\to 0^{+}}{lim}{x}^x\text{的}\text{极}\text{限}$$\Large例：求\underset{x\to0^+}{lim}x^x的极限$

七. 等价无穷小

1. 考察等式与谁等价

当$x\to \mathrm{\Delta }$$x\to\Delta$时，与等式$f(x)$$f(x)$等价得是谁

方法：$\underset{x\to \mathrm{\Delta }}{lim}\frac{f(x)}{\alpha x^{\beta }}=1$$\underset{x\to\Delta}{lim}\frac{f(x)}{\alpha x^{\beta}}=1$，解出分母的$\beta \text{与}\alpha$$\beta与\alpha$之后，分母就是等价结果。

$\text{例}：\text{求}\text{当}x\to 0\text{时},\text{谁}\text{与}tanx-sinx\text{等}\text{价}$$\Large例：求当x\to0时,谁与tanx-sinx等价$

2. 求根号极限

碰到有根号的情况一般有一下几种做法：

1. 等价：用$\sqrt{1+\mathrm{\Delta }}-1=\frac{1}{2}\mathrm{\Delta }$$\sqrt{1+\Delta}-1=\frac{1}{2}\Delta$
2. 有理化

$\text{例}：\underset{x\to 0}{lim}\frac{tanx-sinx}{x(\sqrt{cox}-1)}$$\Large 例：\underset{x\to0}{lim}\frac{tanx-sinx}{x(\sqrt{cox}-1)}$

注意：乘除非零存在即可直接代入

八. 无穷小量的比较(必考题)

谁高阶谁先趋近于0

如果两个式子做商为常数，则为同阶无穷小

如果两个式子做商为$1$$1$，则为等价无穷小

$\text{例}：\text{当}x\to 0\text{时},cscx-cotx\text{与}x\text{的}\text{无}\text{穷}\text{小}\text{关}\text{系}$$\Large 例：当x\to0时,cscx-cotx与x的无穷小关系$

九. 分段点处的极限

1. 定积分解决分段函数

$\text{例}：\text{求}{\int }_0^{2}f(x-1)dx,\text{其}\text{中}$$\Large例：求\int_{0}^{2} f(x-1)dx,其中$

注意：绝对值函数也是分段函数，可用绝对值函数的零点作为分段点，将其作为分段函数

2. 分段函数极限运算

一定要分左右极限

$\text{例}：\text{求}f(x)=\frac{|x|}{x},\text{当}x\to 0\text{时}\text{的}\text{极}\text{限}$$\Large例：求f(x)=\frac{|x|}{x},当x\to0时的极限$

十. 连续和间断

连续：图像一笔画

定义：该点函数值$=$$=$该点极限值

间断：

• 第一类间断：(细分哪一类)

  • 可去间断点：极限值存在，但在该点出无定义
  • 跳跃简短：$\underset{x\to x_0^{+}}{lim}f(x)\ne \underset{x\to x_0^{-}}{lim}f(x)$$\underset{x\to x_0^+}{lim}f(x)\ne\underset{x\to x_0^-}{lim}f(x)$

• 第二类间断：(一般情况不用细分)

  • 无穷型间断：左极限或者有极限有一个为无穷
  • 震荡间断：$sin\frac{1}{x},cos\frac{1}{x}$$sin\frac{1}{x},cos\frac{1}{x}$在$x=0$$x=0$处为震荡型间断

1. 求间断点方法

方法：

1. 找可能间断点：函数无定义的点(不在定义域内的点定是间断点)，分段函数的分段点(不一定是间断点.如：$ln|x|$$ln|x|$的间断点为$x=0$$x=0$)

2. 判断间断点的类型：对$x_0$$x_0$分左右极限。

   若左右极限中有一个不存在，即为第二类间断。

   若若左右极限都存在，即为第一类间断，且相等为可去，不相等为跳跃。

$\text{例}：\text{点}x=0\text{是}\text{函}\text{数}y=\frac{3^{\frac{1}{x}}-1}{3^{\frac{1}{x}}+1}\text{什}\text{么}\text{间}\text{断}\text{点}$$\Large例：点x=0是函数y=\frac{3^{\frac{1}{x}}-1}{3^{\frac{1}{x}}+1}什么间断点$

$\text{例}：\text{讨}\text{论}f(x)=\frac{1}{ln|x|}\text{的}\text{间}\text{断}\text{点}\text{类}\text{型}$$\Large例：讨论f(x)=\frac{1}{ln|x|}的间断点类型$

2. 分段函数在分段点连续性

方法：

1. 直接代入法：把分段点直接代入各段，若相等则连续，若不相等则不连续。(前提条件是代入后等式有意义。如：$\frac{1}{x}\text{当}x=0$$\frac{1}{x}当x=0$时就不能代入)
2. 定义法：$\underset{x\to x_0^{+}}{lim}f(x)=\underset{x\to x_0^{-}}{lim}f(x)=f(x_0)$$\underset{x\to x_0^+}{lim}f(x)=\underset{x\to x_0^-}{lim}f(x)=f(x_0)$，则连续。