一. 求多元函数的定义域

$x,y$ 的交集范围

$\Large 例:求z=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2-4}}+ln(x^2+y^2-1)的定义域$

\begin{aligned} 解 ： \\ {\begin{array}{c} x^{2} + y^{2} - 4 > 0 ⟹ x^{2} + y^{2} > 4 \\ x^{2} + y^{2} - 1 > 0 ⟹ x^{2} + y^{2} > 1 \end{array} \\ ∴ & 定 义 域 为 交 集 为 大 圆 外 ， 即 D = {(x, y) | x^{2} + y^{2} > 4} \end{aligned}

多元函数的定义域：

二. 多元函数的极限

多元函数求极限除了洛必达不用，其他方法仍可以用。

1. 多元函数极限存在和连续性

$z=f(x)$ $\lim_\limits{x\to x_0\atop y\to y_0}f(x)=A$ $(x,y)$ $(x_0,y_0)$ 时，极限都存在，显然我们不能证明出所有的方向，所以只能证明极限不存在。
注意：二元齐次式¹极限不存在。
$z=f(x)$ $f(x,y)$ $(x_0,y_0)$ 处不连续。

2. 二元函数可导性 #

二元函数中：

连续和可导之间没有关系。
可微(全微分)必连续、偏导存在，反之则不行。
偏导存在且连续可知函数可微。

二元函数连续和偏导：

三. 复合函数的偏导

$x$ 的偏导数可表示为：

f_{x}^{'} (x_{0}, y_{0}) = lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ z_{x}}{Δ x} = lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x_{0} + Δ x, y_{0}) - f (x_{0}, y_{0})}{Δ x}

$y$ 的偏导数可表示为：

f_{y}^{'} (x_{0}, y_{0}) = lim_{Δ y \to 0} \frac{Δ z_{y}}{Δ y} = lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x_{0}, y_{0} + Δ x) - f (x_{0}, y_{0})}{Δ y}

1. 一元函数和多元函数各个性质间的关系

1.1 一元函数各性质之间的关系

$可微\Longleftrightarrow可导\underset{\nleftarrow}{\rightharpoonup}连续\underset{\nleftarrow}{\rightharpoonup}极限存在\underset{\nleftarrow}{\rightharpoonup}可积$

可积即形成面积。注意：有有限个第一类间断间都可以推出可积

1.2 二元函数个性质之间的关系

关系如上节1.1

2. 二元函数求偏导

$x$ $y$ $y$ 值代入。反之亦然。

$\Large 例:设f(x,y)=e^{arctan\frac{y}{x}}ln(x^2+y^2)cosxy^2.则f'_x(1,0)值$

\begin{aligned} 解 ： \\ 由 于 函 数 对 x 求 具 体 点 处 的 偏 导, 可 将 y = 0 代 入 \\ 即 f (x, 0) = 1 \cdot (l n x^{2})_{x}^{'} = \frac{2}{x} |_{x = 1} = 2 \end{aligned}

3. 抽象复合函数求偏导

3.1 抽象函数求一阶偏导数

$z=f(x+y,x^2)$ $x$ 求偏导，即：

$f(x+y,x^2)$ $x$ $u,v$ 代入：
$[f (u, v)]^{'} = f_{u}^{'} (u, v) \cdot u^{'} + f_{v}^{'} (u, v) \cdot v^{'}$
$u,v$ 对应的变量代入
$[f (u, v)]^{'} = f_{u}^{'} (x + y, x^{2}) \cdot 1 + f_{v}^{'} (x + y, x^{2}) \cdot 2 x$

3.2 抽象函数求二阶偏导数

$z=f(x+y,x^2)$ $\frac{\partial z}{\partial x\partial y}$

$f'_u(u,v)$ $y$ 求偏导
$\begin{matrix} [f_{u}^{'} (x + y, x^{2})]_{y}^{'} = f_{u u}^{″} (x + y, x^{2}) \cdot 1 + f_{v u}^{″} (x + y, x^{2}) \cdot 0 \\ [f_{v}^{'} (x + y, x^{2})]_{y}^{'} = f_{v u}^{″} (x + y, x^{2}) \cdot 1 + f_{v v}^{″} (x + y, x^{2}) \cdot 0 \\ 代入 [f (u, v)]^{'} = f_{u}^{'} (x + y, x^{2}) \cdot 1 + f_{v}^{'} (x + y, x^{2}) \cdot 2 x 中 : \\ \frac{\partial z}{\partial x \partial y} = [f_{u u}^{″} (x + y, x^{2}) \cdot 1 + f_{v u}^{″} (x + y, x^{2}) \cdot 0] + [f_{v u}^{″} (x + y, x^{2}) \cdot 1 + f_{v v}^{″} (x + y, x^{2}) \cdot 0] \cdot 2 x \end{matrix}$
$f''_{uu}(x+y,x^2)可以简写为f''_{uu}$

4. 隐函数求导

一元隐函数由二元方程决定，二元隐函数由三元方程决定。

4.1隐函数求偏导

一元隐函数求导公式：

\frac{d y}{d x} = - \frac{F_{x}^{'}}{F_{y}^{'}} (所 给 方 程 关 于 x 的 导 数 除 以 关 于 y 的 导 数)

二元隐函数的求导公式：

\frac{\partial z}{\partial x} = - \frac{F_{x}^{'}}{F_{z}^{'}} ， \frac{\partial z}{\partial y} = - \frac{F_{y}^{'}}{F_{z}^{'}}

$\Large 例:对方程x^2+y^2+z^2-4z=0求导$

\begin{aligned} 解 ： \\ F (x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 z \\ \frac{\partial z}{\partial x} = - \frac{F_{x}^{'}}{F_{z}^{'}} = - \frac{x}{2 z - 4} \\ \frac{\partial z}{\partial y} = - \frac{F_{y}^{'}}{F_{z}^{'}} = - \frac{y}{2 - z} \end{aligned}

4.2 隐函数求全微分

全微分公式：

d z = \frac{\partial z}{\partial x} d x + \frac{\partial z}{\partial y} d y (z 对 x 求 偏 导 \cdot d x + z 对 y 求 偏 导 \cdot d y)

$\Large 例:对方程x^2+y^2+z^2-4z=0求全微分dz$

\begin{aligned} 解 ： \\ F (x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 z \\ Z_{x}^{'} = \frac{\partial z}{\partial x} = - \frac{F_{x}^{'}}{F_{z}^{'}} = - \frac{x}{2 z - 4} = \frac{x}{2 - z} \\ Z_{y}^{'} = \frac{\partial z}{\partial y} = - \frac{F_{y}^{'}}{F_{z}^{'}} = - \frac{y}{2 - z} \\ 则 d z = \frac{x}{2 - z} d x + \frac{y}{2 - z} d y \end{aligned}

四. 方向导数与梯度

1. 方向导数

方向：方向余弦。导数：偏导数。

$方向余弦\times偏导数$ 。即：

\frac{\partial f}{\partial l} = \frac{\partial f}{\partial x} c o s α + \frac{\partial f}{\partial y} c o s β

其中方向余弦为：

\begin{matrix} {\begin{matrix} c o s α = & \frac{a_{x}}{\sqrt{a_{x}^{2} + a_{y}^{2} + a_{z}^{2}}} \\ c o s β = & \frac{a_{y}}{\sqrt{a_{x}^{2} + a_{y}^{2} + a_{z}^{2}}} \\ c o s γ = & \frac{a_{z}}{\sqrt{a_{x}^{2} + a_{y}^{2} + a_{z}^{2}}} \end{matrix} \end{matrix}

2. 梯度

其本质是：以偏导为分量的向量

$grad/\bigtriangledown$

$gradf(x,y)=\{f'_x,f'_y\}$

$gradf(x,y,z)=\{f'_x,f'_y,f'_z\}$

$grad(x_0,y_0,z_0)=\{f'_x|_{(x_0,y_0,z_0)},f'_y|_{(x_0,y_0,z_0)},f'_z|_{(x_0,y_0,z_0)}\}$

$=$ $=-$ 梯度的模长。

\begin{matrix} g_{m a x} = | g r a d f | \\ g_{m i n} = - | g r a d f | \end{matrix}

五. 多元函数微分学的应用

可以分为：

空间曲线的切线与法平面
曲面的切平面与法线

$(切线和法线)$ $\overrightarrow{s}$

$(法平面和切平面)$ $\overrightarrow{n}$

无论是法向量还是方向向量，其再多元函数中都是一样的，都是多元函数在具体点处的三个偏导数。即是方向向量又是法向量。

注意：曲线用参数方程，曲面用隐函数。

1. 空间曲线的切线与法平面

$\varphi'(t_0)$ 是多元函数在三个具体点处的偏导数。

切线方程(点向式)：

\frac{x - x_{0}}{φ^{'} (t_{0})} = \frac{y - y_{0}}{ψ^{'} (t_{0})} = \frac{z - z_{0}}{ω^{'} (t_{0})}

法平面方程(点法式)：

φ^{'} (t_{0}) (x - x_{0}) + ψ^{'} (t_{0}) (y - y_{0}) + ω^{'} (t_{0}) (z - z_{0}) = 0

2. 空间曲面的切平面与法线

$F'_x(x_0,y_0,z_0)$ 是多元函数在三个具体点处的偏导数。

切平面方程：

F_{x}^{'} (x_{0}, y_{0}, z_{0}) (x - x_{0}) + F_{y}^{'} (x_{0}, y_{0}, z_{0}) (y - y_{0}) + F^{'} z (x_{0}, y_{0}, z_{0}) (z - z_{0})

法线方程：

\frac{x - x_{0}}{F_{x}^{'} (x_{0}, y_{0}, z_{0})} = \frac{y - y_{0}}{F_{y}^{'} (x_{0}, y_{0}, z_{0})} = \frac{z - z_{0}}{F_{z}^{'} (x_{0}, y_{0}, z_{0})}

$z=f(x,y)$ $f(x,y)$ $(x_0,y_0)$ $f(x,y)-z=0$ ，此时法向量为：

\vec{n} = {f_{x}^{'} (x_{0}, y_{0}), f_{x}^{'} (x_{0}, y_{0}), - 1}

六. 多元函数极值

$(目标函数+约束条件)$ $(目标函数)$

1. 无条件极值点

$z=f(x,y)$

判断方法：

\begin{matrix} Δ 判 别 法 {\begin{matrix} A = f_{x x}^{″} (x_{0}, y_{0}) \\ B = f_{x y}^{″} (x_{0}, y_{0}) \\ C = f_{y y}^{″} (x_{0}, y_{0}) \end{matrix} ⟹ Δ = B^{2} - A C {\begin{matrix} Δ < 0 ⟹ 驻 点 (x_{0}, y_{0}) 是 极 值 点 \\ Δ > 0 ⟹ 驻 点 (x_{0}, y_{0}) 不 是 极 值 点 \\ Δ = 0 ⟹ 方 法 失 效 (无 法 判 断) \end{matrix} \end{matrix}

\begin{matrix} 判 断 出 极 值 点 后 {\begin{matrix} A > 0 ⟹ 极 小 值 点 \\ A < 0 ⟹ 极 大 值 点 \end{matrix} \end{matrix}

$\Large 例:求函数f(x,y)=xy(a-x-y)的极值，其中a\ne0$

\begin{aligned} 解 ： \\ 1. & 求 助 点 : 令 {\begin{array}{c} f_{x}^{'} = a y - 2 x y - y^{2} = 0 \\ f_{y}^{'} = a x - 2 x y - x^{2} = 0 \end{array} ⟹ 通 过 观 察 我 们 可 以 看 到 函 数 对 x, y 求 导 后 x = y \\ 将 x = y 代 入 方 程 任 意 一 个 方 程 可 得 ： a x - 2 x^{2} - x^{2} = 0, 解 方 程 后 得 出 两 个 驻 点 (0, 0), (\frac{a}{3} . \frac{a}{3}) \\ 2. & f_{x x}^{″} = - 2 y = A, f_{x y}^{″} = a - 2 x - 2 y = B, f_{y y}^{″} = - 2 x = C \\ (1) 对 于 驻 点 (0, 0) : A = 0, B = a, C = 0 ⟹ B^{2} - A C = a^{2} > 0 \\ ∴ 点 (0, 0) 不 是 极 值 点 \\ (2) 对 于 驻 点 (\frac{a}{3}, \frac{a}{3}) : A = - \frac{2}{3} a, B = - \frac{1}{3} a . C = - \frac{2}{3} a ⟹ B^{2} - A C = - \frac{1}{3} a^{2} < 0 \\ ∴ 驻 点 (\frac{a}{3}, \frac{a}{3}) 是 极 值 点 。 \\ 且 如 果 a > 0, A = - \frac{a}{3} < 0 ⟹ 极 大 值 点 \\ 如 果 a < 0, A = - \frac{a}{3} > 0 ⟹ 极 小 值 点 \end{aligned}

2. 条件极值

$求z=f(x,y)在\varphi(x,y)=0条件下得极值$

$z=f(x,y)$ $\varphi(x,y)=0$ 为约束函数。

方法：

$l(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$
$l_x'=0,l'_y=0,l_{\lambda}'=0'\Longrightarrow驻点(x_0,y_0)$
$(最值)$ $(最值点)$ 。

注意：驻点我们可以观察可知.

$\Large 例:某工厂生产两种型号的精密机床,其产量分别为x,y台,总成本函数为\\\Large C(x,y)=x^2+y^2-xy这两种机床的需求量共8台,如何生产,成本最小$

\begin{aligned} 解 ： \\ 由 题 中 两 台 机 床 共 8 台 可 知, 该 题 用 条 件 极 值 \\ 令 {\begin{array}{c} 目 标 函 数 : C (x, y) = x^{2} + y^{2} - x y \\ 约 束 条 件 : x + y = 8 \end{array} \\ 拉 格 朗 日 函 数 : l (x, y, z) = (x^{2} + y^{2} - x y) + λ (x + y - 8) \\ 驻 点 {\begin{array}{c} l_{x}^{'} = 2 x - y + λ = 0 \\ l_{y}^{'} = 2 y - x + λ = 0 \\ l_{λ}^{'} = x + y - 8 = 0 \end{array} ⟹ 观 察 l_{x}^{'} 和 l_{y}^{'} 可 知 : x = y \\ 将 x = y 代 入 l_{λ}^{'} 中 可 得 : 2 x - 8 = 0 ⟹ x = y = 4 \\ 由 实 际 问 题 可 知 该 问 题 的 最 小 值 一 定 存 在, 故 此 驻 点 一 定 为 最 小 值 点 。 \\ 即 两 种 机 器 共 生 产 4 台 时 ， 成 本 最 少 \end{aligned}

1 分子和分母的幂次一致。如：

\frac{x y}{x^{2} + y^{2}}

$\frac{xy}{x^2+y^2}$ ，此时分子相乘幂次还是二次 ↩