一. 导数概念

1. 导数第一定义(小题)

$\Large f'(x_0)=\underset{\Delta x\to0}{lim}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$

特征：
$f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$ $\Delta y$
$x_0$ 后是无穷小量且和分母一致。
$(f(x_0+\Delta x))$ $f(x_0)$
$-$ $=$ $f(x_0)+\Delta x-f(x_0)=\Delta x$ )
$=$ 右导数

1.1 导数特征判断真假导数

$\Large 例：设函数f(x)在x=a的某个领域内有定义，则f(x)在x=a处可导的一个充要条件是()$

\begin{aligned} 解 ： \\ A . lim_{h \to 0} \frac{f (a + 2 h) - f (a + h)}{h} 存 在 \\ B . lim_{h \to 0} \frac{f (a + h) - f (a - h)}{2 h} 存 在 \\ C . lim_{h \to 0} \frac{f (a) - f (a - h)}{h} 存 在 \\ D . lim_{h \to 0} h [f (a + \frac{1}{h}) - f (a)] 存 在 \\ 选 项 A 中 极 限 h \to 0, 分 子 为 一 动 一 静 不 符 合 极 限 性 质 \\ 选 项 B 极 限 h \to 0, 分 子 为 一 动 一 静 不 符 合 极 限 性 质 \\ 选 项 D 化 简 为 lim_{x \to + \infty} \frac{f (a + \frac{1}{n}) - f (a)}{\frac{1}{n}}, 符 合 极 限 性 质, 但 极 限 趋 近 于 正 区 间, 无 法 判 断 负 区 间 。 \end{aligned}

1.2 已知具体点处的导数求抽象函数的极限。

方法：

$f$ $"f"$ 去掉后计算分式，等于几就是几倍的导数。
$\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$ 的形式

$\Large设f'(x)在点x=x_0的某邻域内存在f(x_0)为f(x)的极大值,则\underset{h\to0}{lim}\frac{f(x_0+2h)-f(x_0)}{h}值$

\begin{aligned} 解 ： \\ ∵ & f^{'} (x) 在 点 x_{0} 邻 域 内 存 在 极 大 值 \\ ∴ & 由 可 导 函 数 的 极 值 点 定 为 驻 点 可 得 ⟹ f^{'} (x_{0}) = 0 \\ 去 f 法 ： \frac{f (x_{0} + 2 h) - f (x_{0})}{h} = \frac{x_{0} + 2 h - x_{0}}{h} = 2 \\ ∴ & 原 导 数 = 2 f^{'} (x_{0}) = 0 \end{aligned}

1.3 已知一个极限，求导数

方法：

$f$ 法
洛必达

$\Large设f(x)在x=1处可导,则\underset{h\to0}{lim}\frac{f(1-2h)-f(1)}{h}=\frac{1}{2},则f'(1)值$

\begin{aligned} 方 法 一 ： \\ 由 题 目 可 知 h \to 0, 且 函 数 极 限 为 \frac{1}{2} \\ ∴ & 分 子 也 定 趋 近 于 0, 对 函 数 极 限 洛 必 达 \\ 原 式 = lim_{h \to 0} \frac{- 2 f^{'} (1 - 2 x) - 0}{1} \overset{h \to 0 代 入}{\to} - 2 f^{'} (1) \\ 且 - 2 f^{'} (1) = \frac{1}{2} \\ ∴ & f^{'} (1) = - \frac{1}{4} \\ 方 法 二 ： \\ 设 f^{'} (1) = a, lim_{x \to 0} \frac{f (1 - 2 h) - f (1)}{h} \overset{去 f}{\to} - 2 a = \frac{1}{2} \\ ∴ & a = - \frac{1}{4} \end{aligned}

2. 导数第二定义(大题)

$\Large f'(x_0)=\underset{ x\to x_0}{lim}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

分段函数在分段点处的导数：

求分段函数在点处导数，要分左右导。
绝对值函数本质是分段函数
绝对值函数在其零点处连续，但不可导。
$|f(x)|$ $y=|f(x)|·\varphi(x)$ $\varphi(x)$ $|f(x)|$ $y=|x|·x^2$ 前后两个函数零点相同。
$\Longrightarrow$ 把分段点直接代入各段的导函数，相等即可。
$\Longrightarrow$ 把分段点直接代入各段函数，相等即可。

$\Large例1：f(x)在x=0处可导,f(x)=f(0)-3x+a(x),且\underset{x\to0}{lim}\frac{a(x)}{x}=0,则f'(0)值$

\begin{aligned} 解 ： \\ f^{'} (0) & = \frac{f (x) - f (0)}{x - 0} = lim_{x \to 0} \frac{f (0) - 3 x + α (x) - f (0)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{- 3 x + α (x)}{x} \\ = lim_{x \to 0} \frac{- 3 x}{x} + lim_{x \to 0} \frac{α (x)}{x} = - 3 \end{aligned}

\begin{matrix} 例 2 ： 讨 论 f (x) = {\begin{matrix} l n (1 + x), x > 0 \\ x, x \leq 0 \end{matrix} \end{matrix}

\begin{aligned} 解 ： \\ f_{-}^{'} (x_{0}) = lim_{x \to 0^{-}} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0} = lim_{x \to 0^{-}} \frac{x - 0}{x - 0} = 1 \\ f_{+}^{'} (x_{0}) = lim_{x \to 0^{+}} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{l n (1 + x) - 0}{x - 0} = 1 \\ ∴ & f_{-}^{'} (x_{0}) = f_{+}^{'} (x_{0}), 在 x = 0 处 可 导 \end{aligned}

3. 不可导情况

$\infty$ $f'_-(x)\ne f'_+(x)$ 。

证明导数在某一点处的可导性
$=$ 右导数，即可证明在该点处可导
$\Large例：设y=x^2|x-1|判断x=1处可导性$
$\begin{aligned} 解： \\ y = {\begin{array}{c} x^{2} (x - 1), x > 1 \\ - x^{2} (x - 1), x \leq 1 \end{array} \\ f_{-}^{'} (1) = lim_{x \to 1^{-}} \frac{- x^{2} (x - 1) - 0}{x - 1} = lim_{x \to 1^{-}} - x^{2} = - 1 \\ f_{+}^{'} (1) = lim_{x \to 1^{+}} \frac{x^{2} (x - 1) - 0}{x - 1} = lim_{x \to 1^{+}} x^{2} = 1 \\ f_{-}^{'} (1) \neq f_{+}^{'} (1), 所以导数在 x = 1 处不可导 \end{aligned}$

4. 讨论函数的连续性和可导性

$\underset{\longrightarrow}{\not\longleftarrow}$ $\underset{\longrightarrow}{\not\longleftarrow}$ 极限存在

可积与连续关系：可积一定连续，连续不一定可积

$\Large例：讨论函数f(x)=|sinx|在x=0处的连续性和可导性$

\begin{aligned} 解 ： \\ 连 续 {\begin{array}{c} ① \underset{x \to 0^{+}}{l i m} s i n x = 0 \\ ② \underset{x \to 0^{-}}{l i m} - s i n x = 0 \\ ③ f (0) = 0 \end{array} \\ ∴ & 函 数 连 续 \\ f_{+}^{'} (0) = lim_{x \to 0^{+}} \frac{s i n x - 0}{x - 0} = 1 \\ f_{-}^{'} (0) = lim_{x \to 0^{-}} \frac{- s i n x - 0}{x - 0} = - 1 \\ 两 导 数 值 不 等 ， 所 以 导 数 在 x = 0 处 不 可 导 \end{aligned}

5. 导数的几何应用

定义：曲线在切点处的导数等于切线的斜率

$y-y_0=k_切(x-x_0)$ $k=y'(x_0)$

$y-y_0=k_法(x-x_0)$ $k=-\frac{1}{y'(x_0)}$

$(x_0,y_0),(a,b)$ $k_切=\frac{y_0-b}{x_0-a}$

考点：

求曲线上一点的切线方程
求曲线外一点的切线方程

$\Large 例：若曲线y=x^2+1上点M处的切线与直线方程y=4x+1平行，求M的坐标$

\begin{aligned} 解 ： \\ ∵ & 曲 线 切 线 与 直 线 平 行, 设 M 点 为 (x_{0}, y_{0}) \\ ∴ & y^{'} (x_{0}) = 2 x |_{x_{0}} = 2 x_{0} \\ 由 于 直 线 方 程 斜 率 可 得 ： y^{'} (x_{0}) = 2 x |_{x_{0}} = 2 x_{0} = 4 \\ ∴ & x_{0} = 2, 所 以 y_{0} = 5 \end{aligned}

$\Large 例：曲线y=x^{\frac{3}{2}}通过点(0,-4)的切线方程$

\begin{aligned} 解 ： \\ 由 题 目 可 知, 所 给 的 点 是 直 线 外 的 一 点, 设 切 点 为 (x_{0}, x_{0}^{\frac{3}{2}}) \\ k_{切} = y^{'} (x_{0}) = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} |_{x = x_{0}} = \frac{3}{2} \sqrt{x_{0}} \\ 且 斜 率 用 两 点 式 表 示 为 ： k_{切} = \frac{x_{0}^{\frac{3}{2}} + 4}{x_{0} - 0} = \sqrt{x_{0}} + \frac{4}{x_{0}} \\ 联 立 两 个 方 程 可 得 \frac{3}{2} \sqrt{x_{0}} = \sqrt{x_{0}} + \frac{4}{x_{0}} \\ ∴ & x_{0} = 4, y_{0} = 8 \\ ∴ & k_{切} = 3, 切 线 方 程 为 ： y - 8 = 3 (x - 4) \end{aligned}

三. 求导计算

导数计算总结：

$导数计算总结$

$=$ 原函数导数的倒数

$\Large例1：y=x(x+1)(x+2)...(x+100)求y'(0)$

\begin{aligned} 解 ： \\ 设 (x + 1) (x + 2) . . . (x + 100) 为 g (x) \\ 则 y = x g (x) ⟹ y^{'} = 1 \cdot g (x) + x g^{'} (x) \\ 则 y^{'} (0) = g (0) + 0 = 100! \end{aligned}

$\Large例2：已知y=f(\frac{3x-2}{5x+2}),f'(x)=arctanx^2,求\frac{dy}{dx}\Big|_{x=0}和\frac{dx}{dy}\Big|_{x=0}$

\begin{aligned} 解 ： \\ y^{'} = f^{'} (\frac{3 x - 2}{5 x + 2}) \cdot \frac{3 (5 x + 2) - 5 (3 x - 2)}{(5 x + 2)^{2}} \\ ∵ & f^{'} (x) = a r c t a n x^{2} ⟹ f^{'} (\frac{3 x - 2}{5 x + 2}) = a r c t a n (\frac{3 x - 2}{5 x + 2})^{2} \\ y^{'} = a r c t a n (\frac{3 x - 2}{5 x + 2})^{2} \cdot \frac{16}{(5 x + 2)^{2}} \\ y^{'} (0) = \frac{π}{4} \cdot 4 = π \\ ∴ & \frac{d x}{d y} |_{x = 0} = \frac{1}{\frac{d y}{d x}} |_{x = 0} = \frac{1}{π} \end{aligned}

四. 隐函数导数计算

$x$ $y$ $y$ $y$ $y$ $y$ $y$ $y'$ $(y^2)'=2yy"$

$y'=\frac{F'_x}{F'_y}$ ，其中对谁求导谁就是未知数，剩下的都是常数。

$\Large 求椭圆\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1在点(2,\frac{3}{2}\sqrt3)处的切线方程$

\begin{aligned} 解 ： \\ 令 F (x, y) = \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} - 1 \\ k_{切} = - \frac{F_{x}^{'}}{F_{y}^{'}} = - \frac{\frac{x}{8} + 0 - 0}{0 + \frac{2 y}{9} - 0} |_{x = 2, y = \frac{3}{2} \sqrt{3}} = - \frac{\sqrt{3}}{4} \\ ∴ & 切 线 方 程 ： (y - \frac{3}{2} \sqrt{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{4} (x - 2) \end{aligned}

五. 幂指函数求导

1. 基本求导

$e$ 抬高(化为指数函数——显函数)

方法二：取对数(化为对数型函数——隐函数)

$\Large 例：求y=x^{sinx}$

\begin{aligned} 解 ： \\ 方 程 两 边 取 对 数 得 ： \\ l n y = s i n x \cdot l n x \\ 方 程 两 边 同 时 对 x 求 导 ： \\ \frac{1}{y} \cdot y^{'} = c o s x l n x + s i n x \cdot \frac{1}{x} \\ ∴ y^{'} = y (c o s x l n x + \frac{s i n x}{x}) = x^{s i n x} (c o s x l n x + \frac{s i n x}{x}) \end{aligned}

2. 多乘除多乘方，开方的复杂复合函数

方法：用对数化简复杂函数

$\Large 例：求函数y=\frac{(2x+3)^4\sqrt{x^2-6}}{\sqrt[3]{x+1}}的导数$

\begin{aligned} 解 ： \\ 方 程 两 边 取 对 数 ： l n y = l n \frac{(2 x + 3)^{4} \sqrt{x^{2} - 6}}{\sqrt[3]{x + 1}} \\ l n y = 4 l n (2 x + 3) + \frac{1}{2} l n (x^{2} - 6) - \frac{1}{3} l n (x + 1) \\ 求 导 ： \frac{1}{y} y^{'} = \frac{8}{2 x + 3} + \frac{x}{x^{2} - 6} - \frac{1}{3} l n (x + 1) \\ y^{'} = y [\frac{8}{2 x + 3} + \frac{x}{x^{2} - 6} - \frac{1}{3 (x + 1)}] \\ y^{'} = \frac{(2 x + 3)^{4} \sqrt{x^{2} - 6}}{\sqrt[3]{x + 1}} [\frac{8}{2 x + 3} + \frac{x}{x^{2} - 6} - \frac{1}{3 (x + 1)}] \end{aligned}

六. 参数方程求导法

\begin{matrix} 设 参 数 方 程 为 {\begin{matrix} y = y (t) \\ x = x (t) \end{matrix} \\ 则 y^{'} = \frac{d y / d t}{d x / d t} \\ y^{″} = \frac{d y^{'} / d t}{d x / d t} \end{matrix}

$\Large 例：已知椭圆的参数方程为:x=acost,y=bsint(a>0,b>0,t为参数),\\\Large求椭圆在t=\frac{\pi}{4}处的切线方程$

\begin{aligned} 解 ： \\ 将 t = \frac{π}{4} 代 入 参 数 方 程 求 切 点 ⟹ (\frac{a \sqrt{2}}{2}, \frac{b \sqrt{2}}{2}) \\ k_{切} = \frac{d y / d t}{d x / d t} = \frac{b c o s t}{a s i n t} |_{t = \frac{π}{4}} = - \frac{b}{a} \\ ∴ & 切 线 为 ： (y - \frac{b \sqrt{2}}{2}) = - \frac{b}{a} (x - \frac{a \sqrt{2}}{2}) \end{aligned}

七. 高阶导数

常见得高阶导：

\begin{matrix} 1. & (e^{x})^{(n)} = e^{x} 、 (e^{a x})^{(n)} = a^{n} e^{(a x)} 、 (a^{x})^{(n)} = (l n a)^{n} a^{x} \\ 2. & (x^{n})^{(n)} = n! (n 次 方 与 n 阶 导 要 相 同) 、 (x^{n})^{(m)} = 0 (m > n) \\ [p_{n} (x)]^{(n)} = a_{n} \cdot n! (a_{n} 为 最 高 阶 次 前 系 数) 例 ： (3 x^{5} + 6 x^{3} + x + 1)^{(5)} = 3 \cdot 5! \\ 3. & (s i n x)^{(n)} = s i n (x + n \cdot \frac{π}{2}) 、 (c o s x)^{(n)} = c o s (x + n \cdot \frac{π}{2}) \end{matrix}

1. 非初等函数求高阶导

对于非初等函数求高阶导，需要对整体几次导数，然后归纳法解决。主要求高阶导找两部分：①系数。②次数

$(-1)^n$ 有关。

$\Large 例：求对数函数y=ln(1+x)的n阶导数$

\begin{aligned} 解 ： \\ 当 n = 1 时, y^{'} = \frac{1}{(1 + x)^{1}} \\ 当 n = 2 时, y^{″} = \frac{- 1}{(1 + x)^{2}} \\ 当 n = 3 时, y^{‴} = \frac{2}{(1 + x)^{3}} \\ 当 n = 4 时, y^{⁗} = \frac{- 2 \cdot 3}{(1 + x)^{4}} \\ ∴ & y^{(n)} = (- 1)^{n - 1} \frac{(n - 1)!}{(1 + x)^{n}} \end{aligned}

$0!=1$

2. 抽象函数求高阶导数

直接根据抽象函数求导方法，对函数求导

$\Large 例：求y=f(x^3)二阶导数$

\begin{aligned} 解 ： \\ y^{'} = f^{'} (x^{3}) \cdot 3 x^{2} \\ y^{″} = f^{″} (x^{3}) \cdot 9 x^{4} + f^{'} (x^{3}) \cdot 6 x \end{aligned}

3. 隐函数求高阶导数

$y'=\frac{F'_x}{F'_y}$

$x$ $y'$ 代入二阶即可

$y''=-\frac{F_{xx}F^2_y-2F_{xy}F_xF_y+F_{yy}F^2_x}{F^3_y}$

$\Large 例：求F(x,y)=xe^y-y+e的二阶导数$

\begin{aligned} 解 ： \\ 一 阶 导 ： & y^{'} = - \frac{F_{x}^{'}}{F_{y}^{'}} = - \frac{e^{y} - 0 + 0}{x e^{y} - 1 + 0} = \frac{e^{y}}{1 - x e^{y}} \\ 二 阶 导 ： & 方 程 两 边 对 x 求 导 \\ y^{″} = \frac{e^{y} \cdot y^{'} (1 - x e^{y}) - e^{y} [0 - (e^{y} + x e^{y} \cdot y^{'})]}{(1 - x e^{y})^{2}} \\ = \frac{e^{2 y} (2 - x e^{y})}{(1 - x e^{y})^{3}} \end{aligned}

八. 微分的意义

微分几何意义：

$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$

$dy=y'dx=y'\Delta x$

$\Delta y$ $y$ $dy$ $y$ $\Delta y\approx dy$ $\Delta x=dx$ 。

$\Delta y$ $dy$ $\Delta y=dy+o(\Delta x)$ ，且

\begin{matrix} Δ x = d x ⟹ Δ y = y^{'} d x + o (Δ x) \\ Δ y = y^{'} Δ x + o (Δ x) \end{matrix}

$\Delta x\to0$ 时：

$dy$ $\Delta x$ 同阶无穷小
$\Delta y-dy$ $\Delta x$ 高阶无穷小
$\Delta y$ $dy$ 的等价无穷小

$\Large 例：设f'(x)=g(x),则df(sin^2x)值$

\begin{aligned} 解 ： \\ d f (s i n^{2} x) = [f^{'} (s i n^{2} x) \cdot 2 s i n x c o s s x] d x \\ 且 f^{'} (x) = g (x) ⟹ [g (s i n^{2} x) \cdot 2 s i n x c o s s x] d x \end{aligned}

$\Delta y$ $dy$ 关系

$y=f(x)$ $\Delta y$ $dy$ 关系：

$\Delta y>dy>0$
$dy>\Delta y>0$
$0>\Delta y>dy$
$\Delta y<dy<0$

$\Large 例子：曲线y'>0,y''>0,\Delta y和dy关系$

\begin{aligned} 解 ： \\ ∵ & y^{'} > 0. y^{″} > 0, ⟹ 曲 线 单 调 递 增, 且 为 凹 区 间 \\ ∴ & Δ y > d y > 0 \end{aligned}

$\Large 例：求函数y=x^2在点x=1处\Delta x=0.01的微分dy和增量\Delta y$

\begin{aligned} 解 ： \\ d y = y^{'} Δ x = 2 \cdot 0.01 = 0.02 \\ Δ y = y (1 + 0.01) - y (1) = (1 + 0.01)^{2} - 1^{2} = 0.0201 \end{aligned}

2. 微分的近似值

近似计算公式：

f (x) \approx f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0})

$整数函数值+整数函数值的导数(先求导再代值)·小数(增量)$

步骤：

$f(x)$
$整数函数值+整数函数值的导数(先求导再代值)·小数(增量)$

$\Large 例1：求\sqrt[4]{16.5}$

\begin{aligned} 解 ： \\ 取 f (x) = \sqrt[4]{x} = x^{\frac{1}{4}} . x_{0} = 16, x - x_{0} = 0.5 \\ f (x_{0}) = f (16) = 2 \\ ∴ f (x) \approx f (16) + f^{'} (16) (0.5) \approx 2 + \frac{1}{32} \times 0.5 = 2.01562 \end{aligned}

$\Large 例2：函数f(x)=e^{1-x}再点x=0.99出的近似值$

\begin{aligned} 解 ： \\ f (0.99) & \approx f (1 - 0.01) \approx f (1) + f^{'} (1) \cdot (- 0.01) \\ \approx 1 + (- 1) \cdot (- 0.01) \\ \approx 1.01 \end{aligned}