一. 求函数定义域

1. 求具体函数定义域六种情况

通常为选择题第一题

1. $\frac{1}{u},(u\ne 0)$$\frac{1}{u},(u\ne0)$
2. $\sqrt[2n]{u},(u\ge 0)$$\sqrt[2n]u,(u\ge0)$
3. $lo{g}_{a}u,(u>0)$$log_au,(u>0)$
4. $tanu(u\ne k\pi +\frac{\pi }{2}),cotu(u\ne k\pi )$$tanu(u\ne k\pi+\frac{\pi}{2}),cotu(u\ne k\pi)$
5. $arcsinu,arccosu(-1\le u\le 1)$$arcsinu,arccosu(-1\le u\le1)$
6. $x^a,(x\ne 0)$$x^a,(x\ne0)$

如果一题中有多个定义域，我们要算出每个定义域，之后取交集

$\text{例}1：y=\frac{1}{\sqrt{4-x^2}}+\frac{1}{\ln x}\text{的}\text{定}\text{义}\text{域}$$\Large例1：y=\frac{1}{\sqrt{4-x^{2}}}+\frac{1}{\ln x}的定义域$

2. 求抽象函数定义域

通常为填空题第一题

2.1 复合函数求简单函数定义域

题型：已知复合函数$f(u)$$f(u)$定义域，求$f(x)$$f(x)$简单函数的定义域。

做法：端点代入法。直接将题中所给定义域代入复合函数，开区间仍然是开区间，闭区间仍然是闭区间，结果为$f(x)$$f(x)$定义域

$\begin{array}{c}\text{例}\text{题}：\text{已}\text{知}f(1-2x)\text{定}\text{义}\text{域}[-1,0]，\text{求}f(x)\text{的}\text{定}\text{义}\text{域}\end{array}$$\Large 例题：已知f(1-2x)定义域[-1,0]，求f(x)的定义域\\$

2.2 简单函数求复合函数定义域

题型：已知简单函数$f(x)$$f(x)$的定义域求复合函数$f(u)$$f(u)$的定义域。$u$$u$为关于$x$$x$的初等函数(复合函数)。

做法：可以根据对应法则意义：如果两个函数对应法则都是$f$$f$，则$f$$f$后括号内的变量的范围相同，运算相同。

$\begin{array}{c}\text{例}\text{题}：\text{已}\text{知}f(x)\text{定}\text{义}\text{域}[0,1]，\text{求}f(x+1)\text{的}\text{定}\text{义}\text{域}\end{array}$$\Large 例题：已知f(x)定义域[0,1]，求f(x+1)的定义域\\$

2.3 复合函数求复合函数定义域

题型：已知复合函数$f(u)$$f(u)$定义域，求复合函数$f(t)$$f(t)$定义域。

做法：由$f(u)$$f(u)$的定义域确定$f(x)$$f(x)$定义域(题型一)，再由$f(x)$$f(x)$定义域，求$f(v)$$f(v)$定义域(题型二)

例题：$\begin{array}{c}\text{已}\text{知}f(2+x)\text{定}\text{义}\text{域}(-1,2]，\text{求}f(-x-2)\text{的}\text{定}\text{义}\text{域}\end{array}$$\Large 已知f(2+x)定义域(-1,2]，求f(-x-2)的定义域\\$

二. 判断函数相同

函数的概念有两个基本要素：定义域，值域，对应规则(或称依赖关系).

只有当两个函数的定义域与对应规则完全相同时，才认为它们是同一个函数，函数有三种表示方法：解析法，图象法，表格法. 如：$x^0\text{与}\frac{x}{x}$$x^0与\frac{x}{x}$为同一函数，因为他们对应法则都为$1$$1$，且定义域一样。

注意：判断定义域和值域时，不能化简。

三. 求反函数

求反函数的步骤

1. 反解x(将函数写为$x$$x$关于$y$$y$的函数)
2. 互换x、y
3. 标明定义域(原函数的值域)

$\begin{array}{c}\text{例}：\text{求}f(x)=2x-2\text{的}\text{反}\text{函}\text{数}{f}^{-1}(x)\end{array}$$\Large 例：求f(x)=2x-2的反函数f^{-1}(x)\\$

四. 判断奇偶性

1. 常见奇偶函数

• 奇函数

  $y=x^{\text{奇}},y=sinx,y=tanx,y=cotx,y=arcsinx,y=arctanx,y=ln(\sqrt{x^2+1}\pm x),y=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$$y=x^奇,y=sinx,y=tanx,y=cotx,y=arcsinx,y=arctanx,y=ln(\sqrt{x^2+1}\pm x),y=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$

• 偶函数

  $y=x^{\text{偶}},y=cosx,y=|x|,y=c$$y=x^偶,y=cosx,y=|x|,y=c$

2. 奇偶运算性质

3. 奇偶复合运算性质

内偶则偶，内奇看外。如：$e^{x^2}$$e^{x^2}$中内部$x^2$$x^2$为偶函数，所以$e^{x^2}$$e^{x^2}$为偶函数。

4. 奇偶反函数性质

在定义域对称的前提下，反函数不改变奇偶性。

关于$y$$y$轴对称是：偶函数

关于原点对称是：奇函数

关于$y=x$$y=x$对称是：反函数

• 当分子分母含有同样指数函数，则分子分母同乘该指数函数

  判断奇偶性，先看部分，如果判断不出来，再用定义判断整体。

  $\text{例}1：\text{判}\text{断}f(x)=\frac{x(e^x-1)}{e^x+1}\text{奇}\text{偶}\text{性}$$\Large 例1：判断f(x)=\frac{x(e^x-1)}{e^x+1}奇偶性$

  $$\begin{array}{r}\\ \text{解}：\\ & f(-x)=\frac{-x(e^{-x}-1)}{e^{-x}+1}\\ \\ & \text{分}\text{子}\text{分}\text{母}\text{含}\text{有}\text{相}\text{同}\text{指}\text{数}\text{函}\text{数}{e}^x\\ \\ & \therefore \text{分}\text{子}\text{分}\text{母}\text{同}\text{乘}{e}^x：f(-x)=\frac{-x(e^{-x}-1)e^x}{[e^{-x}+1]e^x}=\frac{x(e^x-1)}{e^x+1}\\ \\ & \therefore f(-x)=f(x),\text{为}\text{偶}\text{函}\text{数}\end{array}$$

  $\text{例}2：\text{判}\text{断}f(x)=\frac{1}{1+2^x}-\frac{1}{2}\text{奇}\text{偶}\text{性}$$\Large 例2：判断f(x)=\frac{1}{1+2^x}-\frac{1}{2}奇偶性$

  $$\begin{array}{r}\\ \text{解}：\\ f(-x)& =\frac{1}{1+2^{-x}}-\frac{1}{2}\\ \\ & =\frac{2^x}{1+2^x}-\frac{1}{2}\\ \\ & =\frac{2^x+1-1}{1+2^x}-\frac{1}{2}\\ \\ & =1-\frac{1}{1+2^x}-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{1+2^x}\\ \\ & =-(\frac{1}{1+2^x}-\frac{1}{2})=-f(x)\\ \\ & \therefore f(-x)=-f(x),\text{为}\text{奇}\text{函}\text{数}\end{array}$$

五. 求表达式

1. 已知复合函数表达式求简单函数表达式

换元找法则，设$u=t$$u=t$，计算处$x$$x$关于$t$$t$的表达式，将$x$$x$的表达式代入$u$$u$，求得$f(t)$$f(t)$，此时$f(t)$$f(t)$就是对应法则。

$\text{例}：\text{设}f(\frac{x+1}{x})=\frac{x+1}{x^2}(x\ne 0),\text{则}f(x)=?$$\Large 例：设f(\frac{x+1}{x})=\frac{x+1}{x^2}(x\ne0),则f(x)=?$

2. 已知简单函数表达式求复合函数表达式

做法：直接代入，$f(x)$$f(x)$的对应法则$x$$x$，用$f(u)$$f(u)$中的$u$$u$替换

$\text{例}：\text{设}f(x)=2x+5,\text{则}f[f(x)-1]=?$$\Large 例：设f(x)=2x+5,则f[f(x)-1]=?$

3. 已知复合函数表达式求另一复合函数表达式

做法：换元法找出$f(x)$$f(x)$表达式，再代入$f(t)$$f(t)$中

$\text{例}：\text{设}f(x-1)=x^2-x,\text{则}f(\sqrt{x})=?$$\Large 例：设f(x-1)=x^2-x,则f(\sqrt{x})=?$