\begin{matrix} 数 学 基 础 知 识 点 整 理 \\ a u t h o r : S t e p h e n B o e r . \end{matrix}

数学基础：常用因式分解方法总结

第一章. 函数1. 函数概念与性质2. 函数的特征3. 反函数与复合函数3.1 反函数3.2 复合函数4. 初等函数4.1 幂函数4.2 指数函数4.3 对数函数4.4 三角函数4.5 反三角函数5. 常考题型5.1 复杂函数求定义域5.2 求函数的反函数6. 三角函数周期性第二章. 极限1. 数列的极限2. 函数的极限3. 极限的运算3.1 $\frac{\infty}{\infty}$ 未定式解法3.2 $\frac{0}{0}$ 型解法3.3 $\frac{c}{0}$ 型解法3.4 $\infty\pm\infty$ 型解法3.5 $0·\infty$ 型解法3.6 $1^{\infty}$ 型解法4. 常考题型4.1 极限解法反推5. 无穷小量与无穷大量5.1 无穷小量性质5.2 无穷小量的比较6. 两个重要极限6.1 两个重要准则6.2 两个重要极限6.4 等价无穷小7. 函数的连续性7.1 函数的增量7.2 函数连续性7.3 函数的间断点7.4 连续函数的运算7.5 闭区间上连续函数的性质(证明)8. * 极限的渐近线方程第三章. 导数与微分1. 导数的基本概念1.1 导数的几何意义1.2 函数的可导与连续的关系2. 常考题型2.1 根据导数的定义求导数3. 导函数的运算法则3.1 基本求导法则3.2 反函数求导法则3.3 复合函数求导3.4 隐函数求导3.5 对数求导法3.6 参数方程求导4. 高阶导数5. 微分及其应用5.1 微分公式5.2 微分的几何意义5.3 微分法则5.3 微分在近似计算中的应用第四章. 导数的应用1. 中值定理1.1 罗尔定理1.2 拉格朗日定理1.3 柯西定理2. 函数的单调区间与极值最值2.1 证明不等式2.2 单调区间2.3 求函数极值2.4 求函数的最值3. 函数曲线的凹凸性与拐点3.1 判断凹凸性3.2 求拐点第五章. 不定积分1. 基本积分表2. 不定积分的性质与几何意义3. 积分计算方法3.1 第一类换元积分法3.2 第二类换元积分法3.3 三角函数代换法3.4 分部积分法3.5 简单有理函数积分第六章. 定积分1. 定积分的概念2. 定积分的基本性质3. 微积分基本定理3.1 积分上限的函数及其导数3.2 牛顿-莱布尼兹公式4. 定积分的换元积分法和分部积分法4.1 换元积分法4.2 分部积分法5. 定积分的应用5.1 平面图形的面积5.2 克服重力所作的功5.3 体积5.4 定积分横截面求体积6. 广义积分6.1 积分区间为无限的广义积分6.2 无界函数的广义积分第七章. 常微分方程1. 微分方程的基本概念2. 一阶微分方程2.1 一阶可分离变量微分方程2.2 一阶线性微分方程2.3 一阶齐次微分方程3. 可降阶的高阶微分方程3.1 不含 $y和y'$ 成分方程3.2 不含 $y$ 成分方程3.3 不含 $x$ 成分方程4. 二阶常系数线性微分方程解法4.1 二阶常系数齐次线性微分方程的解法4.2 二阶常系数非齐次线性微分方程的解法

第一章. 函数

函数的构成:

y_{(因 变 量)} = f_{(对 应 法 则)} (x_{(自 变 量)})

1. 函数概念与性质

函数的三要素：自变量、因变量、定义域
$y=f(x)$ 为一元函数
函数的概念有两个基本要素：定义域，对应规则(或称依赖关系).
只有当两个函数的定义域与对应规则 $x^0与\frac{x}{x}$ $1$ ，且定义域一样。

$y=f(x)$ $x_0$ 出有定义，则可以记作：
$y_{0} = f (x_{0})$
函数的定义域
函数的定义域是自变量允许的取值范围。
要使部分函数有意义要满足以下几点：
1. 分母不为0
2. 负数不能开偶次方跟(偶次根下不能为负数)
3. $log_a{b}\longrightarrow (a>0\ne1)(b>0)$
4. $x^a,(x\ne0)$

2. 函数的特征

有界性
$f(x)$ $I$ $x\in I$ $M$ 使得函数：
$| f (x) | \leq M$
$f(x)$ $I$ 上有界。
$x\in I$ $y=f(x)$ $y=M$ $y=-M$ 之间。
如：
- $|sinx|\le 1$ $(-\infty,+\infty)$ 内有界。
- $y=\frac{1}{x}$ $(0,1)$ $(1,2)$ 内有界。
单调性
$f(x)$ $I$ $x_1,x_2$ $I$ $x_1<x_2$ 则：
$f(x_1)<f(x_2)$ $f(x)$ $I$ 上单调增加。
$f(x_1)>f(x_2)$ $f(x)$ $I$ 上单调减少。
$f(x_1) \le f(x_2)$ $f(x_1)\ge f(x_2)$ $f(x)$ $I$ 上是单调不减和单调不增。这样的函数也成为单调函数。

奇偶性

$f(-x)=-f(x)$ $y=f(x),x\in(-1,1)$ $f(x)$ $(-1,1)$ 上是奇函数。
$y轴$ $f(-x)=f(x)$
先判断定义域是否关于原点对称 $f(-x)=-f(x)$ $f(-x)=f(x)$ 的是偶函数。

补充：

奇偶函数运算性质：

运算方式(函数)	结果(函数)
$奇\pm奇$	奇
$偶\pm偶$	偶
$奇\pm偶$	非奇非偶
$奇\times\div奇$	偶
$偶\times\div偶$	偶
$奇\times\div偶$	奇
$奇+常数$	非奇非偶
$偶+常数$	偶

函数的复合运算
内偶则偶，内奇看外。

周期性
$f(x)$ $D$ $T$ $x\in D(x+T\in D)$ 恒有：
$f (x + T) = f (x)$
$T$ $f(x)$ $f(x)$ 得周期是指最小正周期。
$y=sinx$ $y=cosx$ $2\pi$ $tanx$ $cotx$ $\pi$
$T$ $sin/cos(\omega a+b)$ $T=\frac{2\pi}{\omega}$
$T$ $tan/cot(\omega a+b)$ $T=\frac{\pi}{\omega}$

3. 反函数与复合函数

3.1 反函数

$y=f(x)(x\in A)$ $C$ $g(y)$ $x$ $x=g(y)(y\in C)$ $y=f(x)(x\in A)$ $y=f^{-1}(x)$
反函数的定义域和值域分别为原函数的值域和定义域。
比较典型的反函数有：指数函数后的对数函数、三角函数和反三角函数。

求反函数的步骤
1. 反解x
2. 互换x、y
3. 表明定义域(原函数的值域)
$\Large 求f(x)=2x-2的反函数\\$
$\begin{matrix} 因为 & y = 2 x - 2 ⟹ x = \frac{y + 2}{2} \\ 则 & y = \frac{x + 2}{2} \\ x \in R \end{matrix}$

3.2 复合函数

$y=f(u),u=\varphi(x)$ $u=\varphi(x)$ $y=f(u)$ $y$ $u$ $x$ $y=f(u)$ $u=\varphi(x)$ 复合而成的复合函数，记作：
$y = f [φ (x)]$
$u$ $x$ 为自变量。
$y=arcsinu$ $u=x^2+2$ $u$ $[2,+\infty)$ $y=arcsinu$ $[-1,1]$ $y=arcsin(x^2+2)$ 没有意义。

4. 初等函数¹

由基本初等函数（反、对、幂、三、值、常）经过有限次四则运算和有限次复合步骤所构成并且可以用以解析式子表示的函数，称为初等函数。也就是能够用手写出来由一个式子表达的，合理的函数，就是初等函数。
$y=\sqrt{1-x^2}、y=(\sqrt{x}+2sinx)^2、f(x)=2x-e^{2x}、g(x)=\frac{ln(x+\sqrt{1+x^2})}{x^2-1}$ 等都是初等函数。这是高等数学的主要研究对象。
$y=e^{x^2}$ 不是初等函数。
由于初等函数是由基本初等函数构成的，所以下面介绍几种常见的基本初等函数。

4.1 幂函数

$y = x^{a} (a 是任意实数)$
幂函数的定义域²³ $a$ $a$ $(0,+\infty)$ 内总有定义。

常见的幂函数图像：

$\Large y=x$
$\Large y=x^2$
$\Large y=x^3$
$\Large y=\sqrt{x}$ $\Large y=-\sqrt{x}$ (蓝色线)
$\Large y=\frac{1}{x}$

4.2 指数函数

$y = a^{x}$
$(-\infty,+\infty)$ $(0，+\infty)$ $(0,1)$ 上方。

$\Large y=e^x$
$\Large y=-e^x$
$\Large y=e^{-x}$
$\Large y=a^x,(0<a<1 蓝色)，(a>1 绿色)$

4.3 对数函数

$y = l o g_{a} x (a > 0, a \neq 1, 且 x > 0)$
$y=a^x$ $(0,+\infty)$ $(-\infty,\infty)$ $(1,0)$ $x$ 轴右方。

$\Large y=log_ax(0<a<1 绿色)$ $\Large y=log_ax(a>1 蓝色)$
$\Large y=lnx$

4.4 三角函数

$sinx、cosx$ $tanx、cotx$ 无界，所有反三角函数都有界。

$\Large sinx和\Large cosx$
$(-\infty,+\infty)$ $[-1,1]$ $2\pi$ 为周期的周期有界函数。
$sinx$ $cosx$ 为偶函数。
$\Large sinx$ 图像

$\Large cosx$ 图像
$\Large tanx和\Large cotx$
$y=tanx$ $x\ne k\pi+\frac{\pi}{2}(k\in z)$
$y=cotx$ $y\ne k\pi(k\in z)$
$\pi$ 为周期的周期函数。
$\Large tanx$ 图像

$\Large cotx$ 图像

4.5 反三角函数

所有的反三角函数都有界。
$arctan1 \Longrightarrow tan?=1\Longrightarrow ?=\frac{\pi}{4}$ $arctan1=\frac{\pi}{4}$

$\Large arcsinx$
$y=arcsinx$ $[-1,1]$ $[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$ $[-1,1]$ $|arcsinx|\le \frac{\pi}{2}$ 。
图像：
$\Large arccosx$
$y=arccosx$ $[-1,1]$ $[0,\pi]$ $[-1,1]$ $0\le arccosx\le \pi$ 。
图像：
$\Large arctanx$
$y=arctanx$ $(-\infty,+\infty)$ $(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$ $(-\infty,+\infty)$ $|arctanx|< \frac{\pi}{2}$
图像：
$\Large arccotx$
$y=arccosx$ $(-\infty,+\infty)$ $(0,\pi)$ $(-\infty,+\infty)$ $0< arccosx< \pi$ 。
图像：

5. 常考题型

5.1 复杂函数求定义域

抽象函数求定义域：
$f(x)$ $f(u)$ $u$ $x$ 的初等函数(复合函数)。
$f(x)$ $x$ $f(u)$ $u$ $u$ $u$ $x$ 不等式，结果即为复合函数定义域
$\Large 已知f(x)定义域[0,1]，求f(x+1)的定义域\\$
$\begin{matrix} 解： \\ ∵ & 0 ⩽ x ⩽ 1, 则 ⟹ 0 ⩽ x + 1 ⩽ 1 \\ ∴ & - 1 ⩽ x ⩽ 0 \end{matrix}$
$f(u)$ $f(x)$ 简单函数的定义域。
$f(u)$ $x$ $u$ $f(x)$ 定义域。
$\Large 已知f(1-2x)定义域[-1,0]，求f(x)的定义域\\$
$\begin{matrix} 解： \\ ∵ & - 1 ⩽ x ⩽ 0, 则 ⟹ 2 \geq - 2 x \geq 0 \\ ∴ & 3 \geq 1 - 2 x \geq 1 \\ ∴ & 1 ⩽ f (x) ⩽ 3 \end{matrix}$
$f(u)$ $f(t)$ 定义域。
$f(u)$ $x$ $f(u)$ $u$ $f(t)$ $t$ $x$ $f(t)$ 定义域。
$\Large 已知f(2+x)定义域(-1,2]，求f(-x-2)的定义域\\$
$\begin{matrix} 解： \\ ∵ & - 1 < x ⩽ 2, 则 ⟹ 1 < 2 + x ⩽ 4 \\ ∴ & 即 1 < - x - 2 ⩽ 4 \\ ∴ & 3 < - x ⩽ 6 \\ ∴ & - 6 ⩽ x < - 3 \\ ∴ & - 6 < f (x) ⩽ - 3, 即 x \in [- 6, - 3) \end{matrix}$

5.2 求函数的反函数

求反函数的步骤
反解x
互换x、y
标明定义域(原函数的值域)

$\Large 求f(x)=2x-2的反函数\\$

\begin{matrix} 因 为 & y = 2 x - 2 ⟹ x = \frac{y + 2}{2} \\ 则 & y = \frac{x + 2}{2} \\ x \in R \end{matrix}

6. 三角函数周期性

三角函数都有周期性，周其性质如下：

\begin{matrix} 对 于 函 数 y = A \sin (ω x + φ) + B 或 y = A \cos (ω x + φ) + B 的 周 期 公 式 是 T = \frac{2 π}{| ω |} \\ 对 于 函 数 y = A \tan (ω x + φ) + B 或 y = \cot (ω x + φ) + B 的 周 期 公 式 是 T = \frac{π}{| ω |} . \end{matrix}

第二章. 极限

$A$ $A$ 。

1. 数列的极限

定义：按照一定规律排列的无穷多个数：
$x_{1}, x_{2}, x_{3}, . . . . x_{n}, . . . .$
$\{x_n\}$ $x_n$ 称为数列的通项。
性质：
$\{x_n\}$ $x_1\le x_2 \le x_3\le ...\le x_{n-1}\le x_n\le...$ ，此时我们称数列为单调递增数列。相反则为单调递减数列。
$\{x_n\}$ $M$ $n$ $|x_n|\le M$ $\{\sqrt{n}\}$ $n$ $\{\sqrt{n}\}$ 也无限增大。
结论：有极限的数列一定有界，有界数列不一定由极限。

数列极限的概念
$\{x_n\}$ $n$ $n\to\infty$ $x_n$ $A$ $A$ $\{x_n\}$ $\{x_n\}$ $A$ 。记作
$lim_{x \to + \infty} x_{n} = A 或者 x_{n} \to A (n \to + \infty)$
如果数列没有极限，那么就是发散的。
$\epsilon$ $\epsilon$ $A$ $N$ $n>N$ $x_n$ ，不等式
$| x_{n} - A | < ϵ$
$A$ $\{x_n\}$ $A$ 。
$|x_n-A|<\epsilon$ $n\to +\infty$ $|x_n-A|\to 0$
$\Large 证明\underset{x\to\infty}{lim}\frac{2n+3}{n}=2$
$\begin{matrix} 证明： \\ 由于题可得 & | x_{n} - 2 | = | \frac{2 n + 3}{n} - 2 | = \frac{3}{n} (n = 1, 2. . .) \\ 对于任意给定的正数 ϵ 要使： & | x_{n} - 2 | = \frac{3}{n} < ϵ \\ 只要将： & n > \frac{3}{ϵ} \\ 取正整数 N = [\frac{3}{ϵ}], 则当 n > N 时 \\ 就有 | \frac{2 n + 3}{n} - 2 | < ϵ \\ 所以 & lim_{x \to + \infty} \frac{2 n + 3}{n} = 2 \\ 由 x_{n} = \frac{2 n + 3}{n} = 2 + \frac{3}{n}, 可知该数列的极限为 2 \end{matrix}$
数列的几何意义
$\{x_n\}$ $A$ $A$ $|x_n-A|<\epsilon$ $A-\epsilon<x_n<A+\epsilon$ $x_1,x_2...x_n...$ $(A-\epsilon,A+\epsilon)$ ，数列几何意义如下：
$N$ $n>N$ $x_n$ $(A-\epsilon,A+\epsilon)$ $N$ 个点落在该区间以外。

2. 函数的极限

$f(x)$ $(-\infty,-a)$ $(a,+\infty)(a>0)$ $|x|$ $f(x)$ $A(即|f(x)-A|\to 0)$ $A$ $f(x)\to\infty$ 时候的极限。记作：

lim_{x \to \infty} f (x) = A 或 f (x) \to A (x \to \infty)

$\underset{x\to\infty}{lim}\frac{1}{x}=0$

$f(x)$ $x_0$ $x_0$ $x$ $x_0$ $f(x)$ $A(即|f(x)-A|\to 0)$ $A$ $f(x)$ $x\to 0$ 时的极限记作：

lim_{x \to x_{0}} f (x) = A 或 f (x) \to A (x \to x_{0})

$f(x)$ $x_0$ $x_0$ $x$ $x_0$ $x_0$ $f(X)$ $A$ $A$ $f(x)$ $x\to 0$ 时的左极限。记作：

lim_{x \to x_{0}^{-}} f (x) = A 或 f (x_{0}^{-}) = A

如果从右侧趋近，则称为有极限。记作：

lim_{x \to x_{0}^{+}} f (x) = A 或 f (x_{0}^{+}) = A

$x\to x_0$ $f(x)$ 的极限定义及左右极限的概念，可以得到以下定理

$f(x)$ $x\to x_0$ $f(x)$ 的左极限和右极限各自存在并且相等。即：

f (x_{0}^{-}) = f (x_{0}^{+})

同时还可以得到下面三个重要定理：

$f(x)$ 有极限，则其极限值是唯一的。

$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)$ $x_0$ 附近有界

$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=A>0(或<0)$ $x_0$ $f(x)>0(或<0)$

3. 极限的运算

$\lim f(x)=A,\lim g(x)=B$ 则
$\lim [f(x)\pm g(x)]=\lim f(x)\pm \lim g(x)=A\pm B$
$\lim [Cf(x)]=C\lim f(x)=CA$
$\lim [f(x)g(x)]=\lim f(x)\lim g(x)=AB$
$\lim \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim f(x)}{\lim g(x)}=\frac{A}{B}(B\ne 0)$
$\lim [f(x)]^n=[\lim f(x)]^n=A^n$
$\lim f(x)^{g(x)}=\lim f(x)^{\lim g(x)}=A^B$

注意：

$\ne 0$ $\frac{\infty}{\infty}或\frac{0}{0}$ $\frac{0}{0}-\frac{0}{0}$ )型中。
并且极限是否能直接带值，也要分情况：代入不为未定式即可直接代入。具体情况如下：
- 极限的加法，只有两个极限都存在的时候，加法的两部分可以直接带入
- $0·\infty$ 这种不算）
- 连续函数 $e$ 的对数连加次方的形式。

上面运算法则只能解决一些简单的极限，极限还有一种重要的类型叫未定式。其有以下几种分类：

$\frac{\infty}{\infty} 、 \frac{c}{0} 、 \frac{0}{0} 、 \infty \pm \infty 、 0 \cdot \infty 、 1^{\infty}$
下面详细介绍上面几种未定式的解法

$\frac{\infty}{\infty}$ 未定式解法

抓大头
$\infty$ ，且分子分母都为多项式⁴
解法：分别拿出分子和分母最大的项作极限，其他项消去，最大项有几个提几个。
$e^x>x>lnx$
$\Large 例1：求\underset{x\to\infty}{lim}\frac{3x^3+4x^2+2}{7x^3+5x^2-3}$
$\begin{matrix} 解： \\ 原式 = lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{3}}{7 x^{3}} = \frac{3}{7} \end{matrix}$
$\Large 例2：求\underset{x\to\infty}{lim}\frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{5n^3}$
$\begin{matrix} 解： \\ 原式 = lim_{x \to \infty} \frac{n \cdot n \cdot n}{5 n^{3}} = \frac{1}{5} \end{matrix}$
$\Large 例2：求\underset{n\to\infty}{lim}\frac{(\sqrt{n^2+2}+2n)^2}{\sqrt[3]{n^6+4}}$
$\begin{aligned} 解： \\ 通过观察分母, \sqrt{n^{2} + 2} 最大项为 n^{2}, 分子最大项 : \\ (n + 2 n)^{2} = 9 n^{2} \\ 分母最大项为 \sqrt[3]{n^{6}} = n^{2} \\ ∴ & \underset{n \to \infty}{l i m} \frac{(\sqrt{n^{2} + 2} + 2 n)^{2}}{\sqrt[3]{n^{6} + 4}} = lim_{n \to \infty} \frac{9 n^{2}}{n^{2}} = 9 \end{aligned}$
定义法
使用前提：当分子和分母的每一项幂次依次递减可用：
$lim_{x \to \infty} \frac{a_{0} x^{n} + a_{1} x^{n - 1} + . . . + a_{n - 1} x + a_{n}}{b_{0} x^{m} + b_{1} x^{m - 1} + . . . + b_{m - 1} x + b_{m}}$
方法：
$\begin{matrix} {\begin{matrix} 0, & n < m \\ \frac{a_{0}}{b_{0}}, & n = m \\ \infty, & n > m \end{matrix} \end{matrix}$
除大头
方法：将分式分子和分母同时除以整个分式的最大次项(去掉系数)
$\Large 例1：求\underset{x\to\infty}{lim}\frac{3x^2+1}{5x^3+2x}$
$\begin{matrix} 解： \\ 分子分母同时除以 x^{3} & 原式 = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x} + \frac{1}{x^{3}}}{5 + \frac{2}{x^{2}}} = 0 \end{matrix}$
其他方法
可以用洛必达⁵。
$\underset{x\to\Delta}{lim}x^\alpha·e^{\beta x}$ $"0·\infty"$ $=\underset{x\to\Delta}{lim}e^{\beta x}$
$\Large 例1：求\underset{x\to\infty}{lim}\ xe^{-x}$
$\begin{matrix} 解： \\ 原式 = lim_{x \to \infty} e^{- x} = 0 \end{matrix}$

$\frac{0}{0}$ 型解法

$0$ 。
解法：
使用洛必达⁵
有理化(分子分母同乘xxx)
因式分解，高级因式分解(求积分时大量用到)请参考。

$\frac{c}{0}$ 型解法

$c$ $0$
解法：可以用无穷大量和无穷小量的性质⁶。

$\Large 例1：求\underset{x\to\infty}{lim}\frac{2x-3}{x^2-5x+4}$

\begin{matrix} 解 ： \\ 当 x \to 1 时 ， 分 母 的 极 限 为 0 ， 分 子 的 极 限 为 - 1 。 因 此 ， 不 能 用 商 的 极 限 运 算 法 则 。 \\ 原 式 取 倒 数 = lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} - 5 x + 4}{2 x - 3} = 0, 所 以 \\ lim_{x \to 1} \frac{2 x - 3}{x^{2} - 5 x + 4} = \infty \end{matrix}

$\infty\pm\infty$ 型解法

$项1\pm 项2$ $\infty\pm\infty$ 。
解法：
有分母则通分
无分母有根式则有理化。

$\Large 例1：求\underset{x\to\infty}{lim}(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})$

\begin{aligned} 解 ： 原 式 & = lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}) (\sqrt{x + 1} + \sqrt{x})}{(\sqrt{x + 1} + \sqrt{x})} \\ = lim_{x \to \infty} \frac{1}{(\sqrt{x + 1} + \sqrt{x})} = 0 \end{aligned}

$0·\infty$ 型解法

$项1· 项2$ $0·\infty$ 。
$\frac{0}{0}或\frac{\infty}{\infty}$ 后用对应方法求解。(将简单的项化为分母)

$0·\infty=\frac{\infty}{\frac{1}{0}}=\frac{0}{\frac{1}{\infty}}$

$1^{\infty}$ 型解法

该类型统称为幂指型。可分为以下三种：
$\begin{matrix} lim_{x \to Δ} f (x)^{g (x)} {\begin{matrix} ① \to & 1^{\infty} \\ ② \to & 0^{0} \\ ③ \to & \infty^{0} \end{matrix} \end{matrix}$

解法：

第一类方法：该方法只适用于①
步骤：
1. $\underset{x\to0}{lim}(1+x)^{\frac{1}{x}}$
2. $(1+0)^\infty=\lim e^{0·\infty}(此处必为"+")$
$\Large 例1：求\underset{x\to\infty}{lim}(1+\frac{1}{x})^{2x+3}$
$\begin{aligned} 方法一：原式 & = lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^{x \cdot \frac{1}{x} \cdot (2 x + 3)} \\ = e^{\underset{x \to \infty}{l i m} \frac{2 x + 3}{x}} = e^{2} \end{aligned}$
$\begin{aligned} 方法二：因为 & 原式符合 (1 + 0)^{\infty} 形式，所以带入 lim e^{0 \cdot \infty} \\ 原式 & = lim_{x \to \infty} e^{\frac{1}{x} \cdot (2 x + 3)} \\ = e^{\underset{x \to \infty}{l i m} \frac{2 x + 3}{x}} = e^{2} \end{aligned}$
第二类方法：该方法三类都可用
$e$ 为底的指数函数。如：
$f (x)^{g (x)} = e^{g (x) l n f (x)}$
$\Large 例1：求\underset{x\to0}{lim}(\frac{sinx}{x})^{\frac{1}{x}}$
$\begin{aligned} 解：原式 & = lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{x} \cdot l n \frac{s i n x}{x}} \\ = lim_{x \to 0} e^{\frac{l n \frac{s i n x}{x}}{x}} = lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{x} \cdot l n (\frac{s i n x}{x} + 1 - \frac{x}{x})} \\ 由于 lim_{x \to 0} \frac{1}{x} & \cdot (\frac{s i n x - x}{x}) = lim_{x \to 0} \frac{s i n x - x}{x^{2}} \\ 分式用洛必达 & = lim_{x \to 0} \frac{c o s x - 1}{2 x} = lim_{x \to 0} \frac{- s i n x}{2} = 0 \\ ∴ 原式 lim_{x \to 0} e^{0} & = 1 \end{aligned}$

4. 常考题型

除了考察极限的运算外，还考察对于极限解法的反推。

4.1 极限解法反推

$\frac{\infty}{\infty}和\frac{0}{0}型$ 。

$\frac{0}{0}型$ 反问题
$0$ $0$ $0$
$\Large 例1：已知\underset{x\to 1}{lim}\frac{x^2-ax+6}{x-1}=-5,求a的值$
$\begin{aligned} 解： \\ 当 x \to 1 时, 分母 x - 1 = 0 \\ 所以 x^{2} - a x + 6 = 0 \\ 当 x \to 1 时, - a + 7 = 0 \\ 所以： a = 7 \end{aligned}$
$\frac{\infty}{\infty}型$ 反问题
$\frac{\infty}{\infty}型$ 未定式解法的方法二(即定义法)，可以推断出式子中未知数。
$\Large 例1：设\underset{x\to\infty}{lim}(\frac{x^2+1}{x+1}-ax-b)=0,求a,b的值$
$\begin{aligned} 解：原式 & = \frac{x^{2} + 1 - (a x + b) (x + 1)}{x + 1} \\ = \frac{x^{2} + 1 - a x^{2} - a x - b x - b}{x + 1} \\ 由定义可知当分母次幂高于分子次幂时极限 = 0 \\ x^{2} - a x^{2} = 0, 且 - a x - b x = 0 \\ 所以 & a = 1, b = - 1 \end{aligned}$

5. 无穷小量与无穷大量

$0$ 时候，这个式子就是无穷小量。
$f(x)$ $|f(x)|$ $f(x)$ 在这个变化过程中为无穷大量，简称无穷大，无穷大量也可记为：
$lim_{x \to x_{0}} f (x) = \infty (lim_{x \to \infty} f (x) = \infty)$
定理一：无穷小量的倒数是无穷大量，无穷大量的倒数是无穷小量。

5.1 无穷小量性质

$0+0=0$ )

$c·0=0$ )

$0·0=0$ )

性质4：有界变量与无穷小量的乘积是无穷小量。(sinx·0=0)

5.2 无穷小量的比较

无穷小量比较本质上是比较趋近速度，高阶趋近速度比低阶快。
$a=a(x)和b=b(x)$ 是同一变化过程中的两个无穷小量。
$\lim\frac{b}{c}=0$ $\Longrightarrow \frac{0}{c}=0$
$\lim\frac{b}{c}=\infty$ $\Longrightarrow \frac{c}{0}=\infty$
$\lim\frac{b}{c}=c(c为常数且不为0)$ ，则称b与a是同阶(同类)无穷小量。
$\lim\frac{b}{c}=1$ $a\sim b$

技巧
$x\to 0$ 时，次幂越高越高阶且：
1. $\Longrightarrow$ 同阶非等价
2. $\Longrightarrow$ 等价

6. 两个重要极限

6.1 两个重要准则

这里介绍两个判断极限存在的重要准则

夹逼准则
$g(x)\le f(x\le h(x))$ $\lim g(x)=A,\lim h(x)=A，$ 则必有
$lim f (x) = A$
$\Large 例：求\underset{x\to 0}{lim}xsin\frac{1}{x}极限$
$\begin{aligned} 解： ∵ & - | x | \leq | x s i n \frac{1}{x} | \leq | x | \\ 且 & lim_{x \to 0} - | x | = 0, lim_{x \to 0} | x | = 0 \\ ∴ & lim_{x \to 0} x s i n \frac{1}{x} = 0 \end{aligned}$
单调有界数列必有极限
单调递增或者单调递减数列的极限就是边界。
$\frac{2}{x}、\frac{3}{2}、\frac{4}{3}....\frac{n+1}{n}...$ $|x|=|\frac{n+1}{n}|\le2$ .所以可以推出该数列必有极限：
$lim_{x \to \infty} \frac{n + 1}{n} = 1$

6.2 两个重要极限

$\underset{x\to 0}{lim}\frac{sinx}{x}=1$
$\underset{\Delta\to 0}{lim}\frac{sin\Delta}{\Delta}=1$
$\underset{x\to\infty}{lim}(1+\frac{1}{x})^x=e$
$"1"$ $"+"$ $x$ $1$ $\infty$ 。就可以考虑使用。
$\underset{x\to\infty}{lim}(1+\Delta)^{\frac{1}{\Delta}}=e,(\Delta\to 0)$
解决该类极限有几种常用方法：
- 双倒数法
  $1$ 后面的无穷小量倒数之后再对倒数求倒数将这两个倒数放在幂部分。
  $\Large 例：求\underset{x\to 0}{lim}(1+x)^{\frac{1}{2x}}$
  $\begin{aligned} 解：原式 = & lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x} \cdot x \cdot \frac{1}{2 x}} \\ = & e^{x \cdot \frac{1}{2 x}} = e^{\frac{1}{2}} \end{aligned}$
- $1$ $1$ 法
  $1$ $1$ $1$ 。
  $\Large 例：求\underset{x\to\infty}{lim}(\frac{x+1}{x-1})^x$
  $\begin{aligned} 解：原式 = & lim_{x \to \infty} (\frac{x - 1 + 1 + 1}{x - 1})^{x} \\ = & lim_{x \to \infty} (1 + \frac{2}{x - 1})^{x} \\ = & lim_{x \to \infty} (1 + \frac{2}{x - 1})^{\frac{x - 1}{2} \cdot \frac{2}{x - 1} \cdot x} \\ = & e^{\underset{x \to \infty}{l i m} \frac{2 x}{x - 1}} = e^{2} \end{aligned}$

6.4 等价无穷小

等价无穷小是根据两个重要极限和泰勒公式演变的，它能替换掉式子中的复杂项。
使用条件：要代换的量紧邻的运算必须是乘除时才可用。否则会导致高阶精度丢失，运算结果不正确。如：
$\begin{matrix} 当 x \to 0 & \frac{x s i n x}{x + 1} ∽ \frac{x^{2}}{x + 1} . \\ 但 & \frac{x - s i n x}{x + 1} ≁ \frac{x - x}{x + 1} \end{matrix}$

常用等价无穷小代换：

另外还有：
$\begin{matrix} lim_{Δ \to 1} l n Δ ∽ Δ - 1 \\ lim_{Δ \to 0} l n c o s Δ ∽ c o s Δ - 1 ∽ \frac{Δ^{2}}{2} \\ 1 - c o s Δ ∽ \frac{Δ^{2}}{2} \\ c o s^{2} x - 1 ∽ x^{2} \end{matrix}$

7. 函数的连续性

7.1 函数的增量

$f(x)$ $x_0$ $x$ $\Delta x$ $\Delta x=x-x_0$ $x>x_0$ $\Delta x>0$ $x<x_0$ $\Delta x<0$ 。
$f(x)$ $f(x_0+\Delta x)$ $\Delta y$ $\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$ .

函数增量的几何图像：

7.2 函数连续性

$\Delta x=x-x_0$ $\underset{\Delta x\to 0}{lim}\Delta y=0$
$f(x)$ $x_0$ $\underset{x\to x_0^-}{lim}f(x)=f(x_0)$ $x_0$ $\underset{x\to x_0^+}{lim}f(x)=f(x_0)$ $x_0$ 处右连续。
从上面定义我们可以得到函数在点处连续条件：
$f(x)$ $x_0$ 处有定义
函数有极限且左右极限值等于函数值。即
$lim_{x \to x_{0}} f (x) = f (x_{0})$

7.3 函数的间断点

$f(x)$ $x_0$ $x_0$ $f(x)$ 的间断点。间断分几种情况：

\begin{matrix} 第 一 类 间 断 点 {\begin{matrix} ① \to & 在 点 x_{0} 处 无 定 义, 极 限 存 在 (可 去 间 断 点) \\ ② \to & 在 x_{0} 处 有 定 义 (或 无 定 义) 但 \underset{x \to x_{0}}{l i m} f (x) 不 存 在 (跳 跃 间 断 点) \\ ③ \to & 虽 然 在 x_{0} 处 有 定 义 ， 且 \underset{x \to x_{0}}{l i m} f (x) 存 在 ， 但 \underset{x \to x_{0}}{l i m} f (x) \neq f (x_{0}) (可 去) \end{matrix} \end{matrix}

\begin{matrix} 第 二 类 间 断 点 {\begin{matrix} ① \to & 左 右 极 限 存 在 有 一 个 为 \infty ， 则 x 为 无 穷 间 断 点 \\ ② \to & y = s i n \frac{1}{x} 震 荡 型 间 断 ， 且 x = 0 为 间 断 点 (特 例) \end{matrix} \end{matrix}

求函数间断点，并判断类型
步骤：
1. 找可疑间断点(函数无定义处的点)
2. 判断可疑点是否为间断点。

7.4 连续函数的运算

关于连续函数的四则运算有以下几个定理：
$f(x)和g(x)$ $x_0$ 处连续，则：
$f (x) \pm g (x) 、 f (x) \cdot g (x) 、 \frac{f (x)}{g (x)}$
$x_0$ 处也连续。
定理2：基本初等函数在它们的定义域内是连续的。
定理3：一切初等函数在其定义域内都是连续的(分段函数除外)。
定理4：对于连续函数，极限符号与函数符号是可以互换的：
$lim_{x \to x_{0}} f [φ (x)] = f [lim_{x \to x_{0}} φ (x)] = f [φ (x_{0})]$
$\underset{x\to\frac{\pi}{4}}{lim}sinx=sin(\underset{x\to\frac{\pi}{4}}{lim}x)=sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

7.5 闭区间上连续函数的性质(证明)

$f(x)$ $[a,b]$ $[a,b]$ $x_1,x_2\in[a,b]$ 使得：
$f (x_{1}) = \underset{a \leq x \leq b}{m i n} {f (x)}, f (x_{2}) = \underset{a \leq x \leq b}{m a x} {f (x)}$
$x_1和x_2$ $f(x)$ 的最小值点和最大值点。
介值定理： $f(x)$ $[a,b]$ $f(a)\ne f(b)$ $f(a)与f(b)$ $C$ $\xi\in(a,b)$ ，使得：
$f (ξ) = C$
$f(x)$ $[a,b]$ $f(a)\ne f(b)$ $y=C(C介于f(a)和f(b)之间)$ $y=f(x)(a\le x\le b)$ 至少有一个交点。图示如下：

介值定理图示：

上面的介值定理有两个重要推论：

零点定理
常考证明题，一般为最后一题。
$f(x)$ $[a,b]$ $f(x)与f(b)$ $(a,b)$ $\xi$ ，使得：
$f (ξ) = 0 (a < ξ < b)$
$f(x)$ $[a,b]$ $f(x)与f(b)$ $(a,b)$ $\xi$ 在此处的函数值就等于零。
零点定理几何演示：
推论2
$M$ $m$ 之间得任何值。

8. * 极限的渐近线方程⁷

极限的渐近线方程有三种：①水平渐近线、②垂直渐近线、③斜向渐近线
我们最多只考前两种。

水平渐近线
$y=f(x)$ $x$ $x\to\infty$ 时，有:
$lim_{x \to \infty} f (x) = A (A 为常数)$
$y=A$ $f(x)$ 的水平渐近线。
$x\to\infty^+或x\to\infty^-$ $A$ 即可。
垂直渐近线
$y=f(x)$ $x$ $x\to x_0$ 时，有:
$lim_{x \to x_{0}} f (x) = \infty$
$x=x_0$ $f(x)$ 的垂直渐近线。
注意：
1. $x\to x_0^+或x\to x_0^-$ $A$ 即可。
2. $x_0$ $y=f(x)$ 的无定义点。

$\Large 例：曲线y=\frac{x^2-2x-3}{x^2+3x+2}的渐近线有几条$

\begin{aligned} 解 ： & 判 断 有 无 水 平 渐 渐 线 ： \\ lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} - 2 x - 3}{x^{2} + 3 x + 2} = 1 \\ ∴ y = 1 为 水 平 渐 近 线 \\ 判 断 有 无 垂 直 渐 近 线 ： \\ 原 式 = \frac{x^{2} - 2 x - 3}{(x + 1) (x + 2)}, \\ 可 以 看 出 x = - 1 与 x = - 2 为 无 定 义 点 \\ 当 x \to - 1 时 ： lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} - 2 x - 3}{x^{2} + 3 x + 2} = lim_{x \to - 1} \frac{(x - 3) (x + 1)}{(x + 1) (x + 2)} = lim_{x \to - 1} \frac{x - 3}{x + 2} = - 4 \neq \infty \\ ∴ x = - 1 时 不 为 垂 直 渐 近 线 \\ 当 x \to - 2 时 ： lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} - 2 x - 3}{x^{2} + 3 x + 2} = \frac{5}{0} = \infty \\ ∴ x = - 2 为 函 数 垂 直 渐 近 线 \end{aligned}

第三章. 导数与微分

1. 导数的基本概念

$f(x_0)$ $\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$ 表示的是一点到另一点的温差。
$\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$ $x_0$ $y=f(x)$ $x_0$ $y=f(x)$ $x_0$ 处的导数。记作：
$f^{'} (x_{0}) = lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0})}{Δ x}$
该方程也称为导数第一定义式。我们可以通过式子变形得到导数第二定义式：
$f^{'} (x_{0}) = lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}}$
导数第二定义式主要用于分段函数的情况。

通过上面的定义我们可以推出导数存在的充分条件：
$f_{-}^{'} (x_{0}) = f_{+}^{'} (x_{0})$

1.1 导数的几何意义

$y=f(x)$ $x_0$ $f'(x_0)$ $y=f(x)$ $M_0(x_0,f(x_0))$ 处的切线的斜率，即
$f^{'} (x_{0}) = t a n α = k$
$y=f(x)$ $M_0$ 处的切线方程为：
$y - y_{0} = f^{'} (x_{0}) (x - x_{0})$
法线方程为：
$y - y_{0} = - \frac{1}{f^{'} (x_{0})} (x - x_{0})$
$-1$ 。平行则斜率相等。 $x$ 轴的切线

1.2 函数的可导与连续的关系

\begin{matrix} 关 系 ： {\begin{matrix} 可 导 必 连 续 \\ 连 续 不 一 定 可 导 \\ 连 续 一 定 极 限 存 在 \\ 极 限 存 在 不 一 定 连 续 \end{matrix} \end{matrix}

函数的可导与连续的关系图：

注意：对函数加绝对值会让函数图像产生尖点，此时会让函数变为不可导。如果题中让找出下列那个函数在某点处连续但不可导：选叫绝对值函数即可。

2. 常考题型

2.1 根据导数的定义求导数

一般分为两种题型。

考察第一定义(小题居多)
$f(x_0)$ ，让求一个抽象函数的极限。
$x_0$ $\underset{h\to0}{lim}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$
解决方法：
1. $\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$ 的形式
2. $"f"$ $"f"$ 去掉后计算分式，等于几就是几倍的导数。
$\Large 例：f(x)在x=x_0处可导，且f'(x_0)=1,则\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x_0)-f(x_0+3h)}{2h}$
$\begin{aligned} 方法一： \\ 原式 & = lim_{h \to 0} \frac{- [f (x_{0} + 3 h) - f (x_{0})]}{2 h \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} \\ = - \frac{3}{2} lim_{h \to 0} \frac{f (x_{0} + 3 h) - f (x_{0})}{3 h} \\ = - \frac{3}{2} f^{'} (x_{0}) = - \frac{3}{2} \end{aligned}$
$\begin{aligned} 方法二：原式去掉 " f " & ⟹ \frac{x_{0} - (x_{0} + 3 h)}{2 h} \\ = - \frac{3}{2} f^{'} (x_{0}) = - \frac{3}{2} \end{aligned}$
考察第二定义(主要以大题为主)
特征：分段函数在分段点处导数判断分段函数导数是否存在
$x_0$ $\underset{h\to0}{lim}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$
$\begin{matrix} 讨论 f (x) = {\begin{matrix} l n (1 + x), x > 0 \\ x, x \leq 0 \end{matrix} \end{matrix}$ $\begin{aligned} 解： \\ f_{-}^{'} (x_{0}) = lim_{x \to 0^{-}} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0} = lim_{x \to 0^{-}} \frac{x - 0}{x - 0} = 1 \\ f_{+}^{'} (x_{0}) = lim_{x \to 0^{+}} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{l n (1 + x) - 0}{x - 0} = 1 \\ ∴ & f_{-}^{'} (x_{0}) = f_{+}^{'} (x_{0}), 在 x = 0 处可导 \end{aligned}$

3. 导函数的运算法则

3.1 基本求导法则

导数的四则运算：
$[u(x)\pm v(x)]'=u'(x)\pm v'(x)$
$[Cu(x)]'=Cu'(x)(C为常数)$
$[u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)\Longrightarrow [u(x)v(x)w(x)]'=u'(x)v(x)w(x)+u(x)v'(x)w(x)+u(x)v(x)w'(x)$
$[\frac{u(x)}{v(x)}]'=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}$

3.2 反函数求导法则

$f(x)$ $g(x)$ 在对应的区间内也可导，且有：
$g^{'} (x) = \frac{1}{f^{'} (x)}$
也就是说，反函数的导数等于其直接函数的导数的导数(原函数导数和反函数的导数互为倒数)。

3.3 复合函数求导

复合函数求导，主要是运用链式法则，即
$y_{x}^{'} = y_{u}^{'} \cdot u_{x}^{'} 或 \frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$
$先对函数的内部求导·对函数外部求导$ $f(\Delta)$ $对\Delta求导(对内)·f'(\Delta)(对外)$ $y=f(x^2)导数为：y'=2xf'(x^2)$

3.4 隐函数求导

隐函数显函数区别：
$y$ $x$ $e^{tanx+cos}+y^x=x，F(x,y)=0等$
$y$ $x$ $y=f(x)$
隐函数求导方法：
$x$ $y$ $y=y(x)$ $y'$ 即可。

$\Large 例：由方程xy-e^x+e^y=0所确定的隐函数y的导数y'$

\begin{aligned} 解 ： \\ 方 程 两 边 分 别 对 x 求 导 得 ： \\ y + x \cdot y^{'} - e^{x} + e^{y} \cdot y^{'} = 0 \\ 解 出 y^{'} ， 即 可 得 到 隐 函 数 得 导 数 ： \\ y^{'} = \frac{e^{x} - y}{x + e^{y}} (x + e^{y} \neq 0) \end{aligned}

3.5 对数求导法

$y=u^x(u>0)$ 类型得幂指函数。
方法：
左右两边同时取对数。
$x$ 求导。

$\Large 例：求y=x^{sinx}$

\begin{aligned} 解 ： \\ 方 程 两 边 取 对 数 得 ： \\ l n y = s i n x \cdot l n x \\ 方 程 两 边 同 时 对 x 求 导 ： \\ \frac{1}{y} \cdot y^{'} = c o s x l n x + s i n x \cdot \frac{1}{x} \\ ∴ y^{'} = y (c o s x l n x + \frac{s i n x}{x}) = x^{s i n x} (c o s x l n x + \frac{s i n x}{x}) \end{aligned}

3.6 参数方程求导

运用公式：
求一阶导数：
$y^{'} = \frac{d y}{d t} \cdot \frac{d t}{d x} = \frac{d y ∖ d t}{d x ∖ d t}$
求二阶导数：
$y^{″} = \frac{d y^{'}}{d t} \cdot \frac{d t}{d x} = \frac{d y^{'} ∖ d t}{d x ∖ d t}$

\begin{matrix} {\begin{matrix} x = a c o s t \\ y = b s i n t \end{matrix} ， 求 \frac{d^{2} y}{d x^{2}} \end{matrix}

\begin{aligned} 解 ： \\ y^{'} = \frac{d y ∖ d t}{d x ∖ d t} = \frac{b c o s t}{a s i n t} = \frac{b}{a} \cdot c o t t \\ y^{″} = \frac{d y^{'} ∖ d t}{d x ∖ d t} = \frac{\frac{b}{a} c s c^{2} t}{- a s i n y} = - \frac{b}{a^{2} s i n^{3} t} \end{aligned}

4. 高阶导数

$y(x)^{(n)}$ $y(x)$ $n$ 表示项即可。

$\Large 例：y=sinx,求y^{(n)}$

\begin{aligned} 解 ： \\ y^{'} = c o s x = s i n (x + \frac{π}{2}) \\ y^{″} = c o s (x + \frac{π}{2}) = s i n (x + 2 \cdot \frac{π}{2}) \\ y^{‴} = c o s (x + 2 \cdot \frac{π}{2}) = s i n (x + 3 \cdot \frac{π}{2}) \\ . . . . . . . \\ ∴ (s i n x)^{(n)} = s i n (x + n \cdot \frac{π}{2}) \end{aligned}

常见得高阶导：

\begin{matrix} 1. & (e^{x})^{(n)} = e^{x} 、 (e^{a x})^{(n)} = a^{n} e^{(a x)} 、 (a^{x})^{(n)} = (l n a)^{n} a^{x} \\ 2. & (x^{n})^{(n)} = n! (n 次 方 与 n 阶 导 要 相 同) 、 (x^{n})^{(m)} = 0 (m > n) \\ [p_{n} (x)]^{(n)} = a_{n} \cdot n! (a_{n} 为 最 高 阶 次 前 系 数) 例 ： (3 x^{5} + 6 x^{3} + x + 1)^{(5)} = 3 \cdot 5! \\ 3. & (s i n x)^{(n)} = s i n (x + n \cdot \frac{π}{2}) 、 (c o s x)^{(n)} = c o s (x + n \cdot \frac{π}{2}) \end{matrix}

5. 微分及其应用

5.1 微分公式

$y=f(x)$ $x_0$ $f(x)$ $x_0$ $\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$ $\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)$ $o(\Delta x)$ $\Delta x\to0$ $\Delta x$ $A\Delta x$ $x_0$ $dy$ $dy=A\Delta x$ $A=\underset{\Delta x\to0}{lim}\frac{\Delta y}{\Delta x}=f'(x_0)$ 。所以：
$d y = f^{'} (x_{0}) Δ x$
$dx=1·\Delta x=\Delta x$ 。所以微分公式为：
$\frac{d y}{d x} = \frac{f^{'} (x) d x}{d x} = f^{'} (x)$

5.2 微分的几何意义

是一个线性函数，其意义就是变化的具体数值

5.3 微分法则

导数法则微分都可以用，但在复合函数求微分上微分有一个不变性：
$y=f(u)$ $u$ $dy=f'(u)du$ 。

$\Large 例：y=ln(1+e^{x^2})，求dy$

\begin{aligned} 解 ： \\ d y = d [l n (1 + e^{x^{2}})] = \frac{1}{1 + e^{x^{2}}} d (1 + e^{x^{2}}) \\ = \frac{1}{1 + e^{x^{2}}} \cdot e^{x^{2}} \cdot d (x^{2}) = \frac{2 x e^{x^{2}}}{1 + e^{x^{2}}} d x \end{aligned}

5.3 微分在近似计算中的应用

近似计算公式：
$f (x) \approx f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0})$
$整数函数值+整数函数值的导数(先求导再代值)·小数(增量)$
步骤：
$f(x)$
$整数函数值+整数函数值的导数(先求导再代值)·小数(增量)$

$\Large 例：求\sqrt[4]{16.5}$

\begin{aligned} 解 ： \\ 取 f (x) = \sqrt[4]{x} = x^{\frac{1}{4}} . x_{0} = 16, x - x_{0} = 0.5 \\ f (x_{0}) = f (16) = 2 \\ ∴ f (x) \approx f (16) + f^{'} (16) (0.5) \approx 2 + \frac{1}{32} \times 0.5 = 2.01562 \end{aligned}

常见的近似公式：

\begin{matrix} \sqrt[n]{1 + x} \approx 1 + \frac{1}{n} x \\ s i n x \approx x 、 c o s x \approx x \\ e^{x} \approx 1 + x \\ l n (1 + x) \approx x \end{matrix}

第四章. 导数的应用

1. 中值定理

1.1 罗尔定理

$f(x)$ 满足：
$[a,b]$ 上连续
$(a,b)$ 内可导
$f(a)=f(b)$
$(a,b)$ $\xi$ $f'(\xi)=0$

题目类型(与零点定理一样)：
1. 证明跟的存在性
2. 证等式
适用范围：当题目中含有导数或端点值不异号时，用罗尔定理。
证明步骤：
1. $0$ $0$ $0$ $F(x)$
2. $F(x)$ $[a,b]$ $(a,b)$ $F(a)=F(b)$
3. 得出结论。
$f'(x)=x构造积分为：\int_0^xf'(x)dx-\int_0^xxdx=0\Longrightarrow f(x)-\frac{1}{2}x^2=0$

1.2 拉格朗日定理

$f(x)$ 满足：
$[a,b]$ 上连续
$(a,b)$ 内可导
$\xi$ ，使得：
$\begin{matrix} \frac{f (b) - f (a)}{b - a} = f^{'} (ξ) (a < ξ < b) 或 \\ f (b) - f (a) = f^{'} (ξ) (b - a) \end{matrix}$
$f'(\xi)$ $f'(\xi)$ $kab$ $\xi$ $ab$

$a\leqslant x\leqslant b或者|x|\leqslant a$ )
证明步骤：
1. $(a,b)$ $F(x)$ ）
2. $F(x)$ $[a,b]$ $(a,b)$ 可导。
3. $F'(\xi)=\frac{F(b)-F(a)}{b-a}$
4. $F'(x)$ $x=\xi$ $F'(x)$ $F'(\xi)$
5. $F(\xi)$ 联立成一个新的不等式。
6. $\xi$ $\xi\in(a,b),a\le\xi\le b$
$\Large 例：证明当x>0时，\frac{x}{1+x}<ln(1+x)<x$
$\begin{aligned} 证： \\ 1. ∵ & l n (1 + x) = l n (1 + x) - 0 = l n (1 + x) - l n 1 \\ ∴ & F (x) = l n x ，且 x \in (1, 1 + x) \\ 2. ∴ & F (x) 在区间上连续开区间内可导 \\ 3. ∵ & 由定理可得至少存在一点 ξ \in (1, 1 + x) \\ ∴ & F^{'} (ξ) = \frac{F (1 + x) - F (1)}{(1 + x) - 1} = \frac{l n (1 + x) - l n 1}{x} = \frac{l n (1 + x)}{x} \\ 4. & 对 F (x) 求导之后带入 ξ : \\ F^{'} (x) |_{x = ξ} = \frac{1}{x} = \frac{1}{ξ} \\ 5. ∵ & 联立 3 和 4 得： \frac{l n (1 + x)}{x} = \frac{1}{ξ} \\ 6. & 由于 1 < ξ < 1 + x 得 \frac{1}{1 + x} < \frac{1}{ξ} < 1, 且 \frac{l n (1 + x)}{x} = \frac{1}{ξ} \\ ∴ & \frac{1}{1 + x} < \frac{l n (1 + x)}{x} < 1, 两边同乘 x ： \frac{x}{1 + x} < l n (1 + x) < x \\ ∴ & 结论正确 \end{aligned}$
拉格朗日定理推论
$f(x)$ $I$ $f'(x)$ $0$ $f(x)$ $I$ 上恒等于一个常数。即：
$f (x) = C (C 为常数)$
$f(x)$ $g(x)$ $I$ $f'(x)与g'(x)$ $f(x)与g(x)$ $I$ 上不一定相等，但至多相差一个常数，即：
$f (x) = g (x) + C (C 为常数)$

1.3 柯西定理

$f(x)$ 满足下列条件：
$[a,b]$ 上连续
$(a,b)$ 内可导
$(a,b)$ $g'(x)\ne0$
$(a,b)$ $\xi$ ，使得：
$\frac{f (b) - f (a)}{g (b) - g (a)} = \frac{f^{'} (ξ)}{g^{'} (ξ)}$

2. 函数的单调区间与极值最值

$f(x)$ $I$ 内可导，那么：
$I$ $f'(x)$ $I$ $f(x)$ 的单调增加区间。
$I$ $f'(x)$ $I$ $f(x)$ 的单调递减区间。
$f(x)$ $0$ 的点。

题型：证明不等式(二项不等式：x<a)与求单调区间

2.1 证明不等式

证明不等式的步骤：

$0$ $0$ $F(x)$
$f(x)$ 求导进行判断单调性(可进行多次求导，可求导不要超过三阶)
$(a,b)$ $0$ $0$ 比较确定再低一阶单调性)

$\Large 例：当3>x>1时，2\sqrt{x}>3-\frac{1}{x}$

\begin{aligned} 证 ： \\ 1. & 令 F (x) = 2 \sqrt{x} - 3 + \frac{1}{x} \\ 2. & F^{'} (x) = \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{x^{2}} > 0 \\ ∴ 函 数 单 调 递 增 \\ 3. & 由 于 x > 1, 所 以 F (x) > F (1) = 0 \\ ∴ F (x) > 0 ⟹ 2 \sqrt{x} - 3 + \frac{1}{x} > 0 \\ ∴ 2 \sqrt{x} > 3 - \frac{1}{x} \end{aligned}

2.2 单调区间

求单调区间的步骤：

求定义域
求全部驻点和一阶导不存在的点(统称为可能极值点)。
用所有驻点和一阶导存在的点划分定义域为若干区间
$f'(x)$ $f'(x)>0$ $f'(x)<0$ 为减区间。

$f'(x)>0$ $f'(x)<0$ 与定义域交集

单调函数的跟最多只有一个

$\Large 例：确定函数f(x)=x^3-3x的单调区间$

\begin{aligned} 解 ： \\ 1. & f (x) 的 定 义 域 为 (- \infty, + \infty) \\ 2. & f^{'} (x) = 3 (x + 1) (x - 1), 令 f^{'} (x) = 0 得 x_{1} = 1, x_{2} = - 1 \\ 3. & 由 于 f^{'} (x) 没 有 不 可 导 点 ， 用 x_{1} 和 x_{2} 将 定 义 域 区 间 分 为 (- \infty, - 1), (- 1, 1) 和 (1, + \infty) \\ 4. & 当 x \in (- \infty, - 1) 时, f^{'} (x) > 0 ， 所 以 f (x) 在 (- \infty, - 1) 内 单 调 增 加 \\ 当 x \in (- 1, 1) 时 ， f^{'} (x) < 0 ， 所 以 f (x) 在 (- 1, 1) 内 单 调 减 少 \\ 当 x \in (1, + \infty) 时 ， f^{'} (x) > 0 ， 所 以 f (x) 在 (1, + \infty) 单 调 增 加 \\ ∴ 函 数 f (x) 单 调 增 加 区 间 为 (- \infty, - 1) ， (1, + \infty) 。 单 调 递 减 区 间 为 (- 1, 1) \end{aligned}

2.3 求函数极值

$f(x)$ $x_0$ $x_0$ $f'(x_0)=0$

求极值的步骤：

$y'(x)=0$ $一阶不可导点$ ⁸。注意：根据定理2可得：可导函数的极值点一定是驻点⁹，极值点不可能在区间端点处找到。
判断可能极值点是否为极值点：
- $0$ $f''(x)>0为极小值，f''(x)<0为极大值$ (费马定理)
- $x_0$ $f(x)$ $x<x_0(驻点左侧),x>x_0(驻点右侧)$ $f'(x)$ $f'(x)$ $f'(x)$ $x_0$ 为函数的极大值点。反之为极小值点。

$\Large 例：求f(x)=(x-4)\sqrt[3]{(x+1)^2}极值$

\begin{aligned} 解 ： \\ f (x)^{'} = \frac{5}{3} (x + 1)^{- \frac{1}{3}} (x - 1) = \frac{5}{3 \cdot \sqrt[3]{x + 1}} (x - 1) \\ 令 f^{'} (x) = 0 得 x = 1 ， 且 当 x = - 1 为 f^{'} (x) 得 一 阶 不 可 导 点 \\ ① 当 x = 1 时 ： x 左 侧 为 x < 1, 右 侧 为 x > 1 \\ ∴ x < 1 (驻 点 左 侧) 时 ， f^{'} (x) < 0 ， x > 1 (驻 点 右 侧) 时 ， f^{'} (x) > 0 ⟹ x = 1 为 极 小 值 \\ ② 当 x = - 1 时 ： x 左 侧 为 x < - 1, 右 侧 为 x > - 1 \\ ∴ x < - 1 (驻 点 左 侧) 时 ， f^{'} (x) > 0 ， x > - 1 (驻 点 右 侧) 时 ， f^{'} (x) < 0 ⟹ x = 1 为 极 大 值 \end{aligned}

2.4 求函数的最值

比较可能极值点和区间端点对应的函数值，最大的为最大值，最小的为最小值。
最值可能在可能极值点(驻点，一阶不可导点)或区间端点处取得。

步骤：

$f(x)$ 在区间内的所有驻点和不可导点(区间外的排除)
算出区间端点、不可导点及驻点的函数值。
比较

3. 函数曲线的凹凸性与拐点

$\cup$
$\cap$

3.1 判断凹凸性

函数的二阶导数，若在某区间为正则为凹区间，若在某区间为负则为凸区间；

$y''>0时，f(x)为\cup$ $y''<0时，f(x)为\cap$ 。

求凹凸区间的步骤：

$y''>0与定义域交点$

$y''<0$ 与定义域交点

3.2 求拐点

$y=f(x)$ 的凹凸分界点。
$f''(x)$ $f''(x)=0$ 的点不一定为拐点。
$y''=0$ $y''不存在的点(在定义域内)$ 。

求拐点的步骤：
1. 求可能拐点
2. $y''$ $y''>0为凹,y''<0为凸$ ) 方法二：将二阶导为零点代入三阶导，若三阶导非零，二阶导为零的点，一定是拐点。
3. $x$ 轴带入原函数找出坐标。
$y''=0$ 的点

$\Large 例：求曲线y=x^4-2x^3+1的凹凸区间及曲线拐点$

\begin{aligned} 解 ： \\ y^{'} = 4 x^{3} - 6 x^{2} ， y^{″} = 12 x^{2} - 12 x \\ 令 y^{″} = 0 得 x_{1} = 0 ， x_{2} = 1 \\ 在 (- \infty, 0) 内 ， y^{″} > 0, 因 此 ， 在 (- \infty, 0) 内 曲 线 是 凹 的 \\ 在 (0, 1) 内 ， y^{″} < 0, 因 此 ， 在 (0, 1) 内 曲 线 是 凸 的 \\ 在 (1, + \infty) 内 ， y^{″} > 0, 因 此 ， 在 (0, 1) 内 曲 线 是 凹 的 \\ 且 函 数 没 有 二 阶 不 可 导 点 ， 两 个 可 能 拐 点 的 两 侧 都 异 号 。 \\ 则 曲 线 的 凹 区 间 为 (- \infty, 0) \cup (1, + \infty) . 凸 区 间 为 (0, 1), 拐 点 为 (0, 1) 和 (1, 0) \end{aligned}

第五章. 不定积分

求一个函数的不定积分，就是求这个函数的原函数。
关于原函数有以下结论：
$I$ 上的连续函数一定存在原函数
$f(x)$ $I$ $I$ 上就有无穷多个原函数。
$f(x)$ $C$
$F(x)和G(x)$ $f(x)$ $I$ $I$ $x$ $F'(x)=f(x)，G'(x)=f(x)$ 那么就有：
$[G (x) - F (x)]^{'} = G^{'} (x) - F^{'} (x) = f (x) - f (x) = 0$

1. 基本积分表

由不定积分的定义，可以得到以下关系：
$[\int f (x) d x]^{'} = f (x), d [\int f (x) d x] = f (x) d x$
$F(x)$ $F'(x)$ 的一个原函数，所以有：
$\int F^{'} (x) = F (x) + C, \int d F (x) = F (x) + C$

积分表：

积分表2：

2. 不定积分的性质与几何意义

$\int[f(x)\pm g(x)]dx=\int f(x)dx\pm\int g(x)dx$

$\int kf(x)dx=k\int f(x)dx$

几何意义：

$F$ $f$ $y=F(x)$ $f$ $f$ 的某一积分曲线沿着纵轴方向任意平移，所得到的一切积分曲线所组成的曲线族。
$F(x)+C$ $C$ ，进而得到要求的那条积分曲线。

不定积分的几何意义：

$\Large 例：设曲线经过点(1,2),且其上任意一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍，求此曲线方程$

\begin{aligned} 解 ： \\ 设 所 求 曲 线 方 程 为 y = f (x) ， \\ 且 曲 线 上 任 意 一 点 处 的 切 线 斜 率 等 于 该 点 横 坐 标 的 两 倍 可 知 切 线 斜 率 为 : \frac{d y}{d x} = 2 x \\ 两 边 积 分 得 ： y = \int 2 x d x = x^{2} + C \\ 由 条 件 y |_{x = 1} = 2 可 知 ： 1 + C = 2 ⟹ C = 1 \\ 所 求 曲 线 方 程 为 ： y = x^{2} + 1 \end{aligned}

3. 积分计算方法

3.1 第一类换元积分法

$\int 4xcos(2x^2+1)dx$ $d$ $d$ 后不相等的情况。
$d$ $\int 4xcos(2x^2+1)dx$ $d$ $d$ $(2x^2+1)$ $u$ $dx$ $du$ $\frac{1}{du}$ 。此时积分就变为:
$\begin{aligned} \int 4 x c o s (2 x^{2} + 1) d (2 x^{2} + 1) \cdot \frac{1}{d (2 x^{2} + 1)} \\ = & \int 4 x c o s (2 x^{2} + 1) \cdot \frac{1}{4 x} d (2 x^{2} + 1) \\ = & \int c o s (2 x^{2} + 1) d (2 x^{2} + 1) = s i n (2 x^{2} + 1) + C \end{aligned}$

3.2 第二类换元积分法

解决类型：主要解决被积函数又含有根式，且没有公式的不定积分。
解决方法：
$x$ $\frac{1}{1+\sqrt{x+2}}、\frac{1}{\sqrt{x}+1}$ 等。
$\sqrt[n]{ax+b}和\sqrt[m]{ax+b}$ $\sqrt[l]{ax+b}=t$ $l$ $m$ $n$ 最小公倍数。

第一类示例：
$\Large 例：求\int \frac{1}{1+\sqrt{x+2}}dx$
$\begin{aligned} 解： \\ 令 \sqrt{x + 2} = t, 则 x = t^{2} - 2, d x = 2 t d t, 于是 \\ \int \frac{1}{1 + \sqrt{x + 2}} d x = \int \frac{1}{1 + t} 2 t d t = 2 \int \frac{t + 1 - 1}{t + 1} = 2 \int (1 - \frac{1}{1 + t}) d t \\ = & 2 (t - l n | 1 + t |) + C \\ 将变量 t = \sqrt{x + 2} 代回，得： \int \frac{1}{1 + \sqrt{x + 2}} = 2 [\sqrt{x + 2} - l n (\sqrt{x + 2} + 1)] + C \end{aligned}$
第二类示例：
$\Large 例：求\int \frac{1}{(1+\sqrt[3]{x})\sqrt{x}}dx$
$\begin{aligned} 解： \\ ∵ \sqrt[3]{x} 与 \sqrt{x} 中设 m = 3 ， n = 2 ，则 m 与 n 最小公倍数是 l 是 6. \\ ∴ 设 \sqrt[6]{x} = t, x = t^{6}, d x = 6 t^{5} d t \\ ∴ \int \frac{1}{(1 + \sqrt[3]{x}) \sqrt{x}} d x = \int \frac{6 t^{5} d t}{(1 + t^{2}) t^{3}} = 6 \int (1 - \frac{1}{1 + t^{2}}) d t \\ = 6 (t - a r c t a n x) + C \\ 将 t = \sqrt[6]{x} ，带回，得： \int \frac{1}{(1 + \sqrt[3]{x}) \sqrt{x}} d x = 6 (\sqrt[6]{x} - a r c t a n \sqrt[6]{x}) + C \end{aligned}$

3.3 三角函数代换法

$x$ $\sqrt{x^2+a^2}、\sqrt{x^2-a^2}、\sqrt{a^2-x^2}$
类型：
$\begin{matrix} \sqrt{x^{2} - a^{2}} ：令 x = a s e c t \\ \sqrt{x^{2} + a^{2}} ：令 x = a t a n t \\ \sqrt{a^{2} - x^{2}} ：令 x = a s i n t \end{matrix}$

$\Large 例：求\int \sqrt{a^2-x^2}dx(a>0)$

\begin{aligned} 解 ： \\ 令 x = a s i n t (- \frac{π}{2} < t < \frac{π}{2}), 则 \sqrt{a^{2} - x^{2}} = a c o s t ， d x = a c o s t d t \\ 从 而 有 ： \int \sqrt{a^{2} - x^{2}} d x = \int a^{2} c o s^{2} t d t = \frac{a^{2}}{2} \int (1 + c o s 2 t) d t = \frac{a^{2}}{2} (t + s i n t c o s t) + C \\ 为 了 便 于 将 t 换 成 x 得 函 数 ， 由 x = a s i n t 得 ： s i n t = \frac{x}{a} 做 辅 助 直 角 三 角 形 斜 边 为 a ， 对 边 为 x ， 则 临 边 为 c o s t = \frac{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}{a} \\ 于 是 \int \sqrt{a^{2} - x^{2}} d x = \frac{a^{2}}{2} (a r c s i n \frac{x}{a} + \frac{x}{a^{2}} \sqrt{a^{2} - x^{2}}) + C \end{aligned}

3.4 分部积分法

使用场景：用于求两类不同函数乘积的积分，或被积函数只有一个函数的积分。
积分方法：
$"反(反三角函数)、对、幂、三、指"$ $d$ $d$ 后要变为原函数。
$\int udv=uv-\int vdu$ $d$ $u$ 。然后再分部积分

$\Large 例：求\int arctanxdx$

\begin{aligned} \int a r c t a n x d x = x a r c t a n x - \int x d (a r c t a n x) \\ = & x a r c t a n x - \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x \\ = & x a r c t a n x - \frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + x^{2}} d (1 + x^{2}) \\ = & x a r c t a n x - \frac{1}{2} l n | 1 + x^{2} | + C \end{aligned}

3.5 简单有理函数积分

有理函数简称有理分式，它可以表现为两个多项式的商：
$R (x) = \frac{P (x)}{Q (x)} = \frac{a_{0} x^{n} + a_{1} x^{n - 1} + . . . + a_{n - 1} x + a_{n}}{b_{0} x^{m} + b_{1} x^{m - 1} + . . . + b_{m - 1} x + b_{m}}$
计算方法：
$R(x)$ 是一个假分式(分子次幂高于分母次幂)，则可以用多项式除法把他化为一个多项式与一个真分式之和。这样便于计算。
$R(x)$ ~~代数学知识~~ $Q(x)$ 再实数范围内可以分解成一次因式和二次质因式的乘积形式。有理真分式按其分母因式分解的不同情况，可以化为若干个部分分式之和，再对各部分分式进行积分，就可以解决有理真分式的不定积分问题。其解题过程类似裂项相消中的裂项一步。

由于本节涉及到的积分较为复杂涉及代数学分式的分解，步骤繁琐，~~且部分知识点为超纲内容考试涉及较少~~，仍建议花时间学习。

所以想更深入了解的点击这里

第六章. 定积分

1. 定积分的概念

定义1：定积分就是合适的极限
可积的必要条件：函数有界是可积的必要条件，但有界函数不一定可积。
$f(x)$ $[a,b]$ $f(x)$ $[a,b]$ 上除了一处不间断其他都连续，则也可积。
可积不一定连续，连续一定可积。但可积定有界。
$\int_a^bf(x)dx=-\int_a^bf(x)dx$ $a=b$ $\int_a^bf(x)dx=0$

2. 定积分的基本性质

$\int_a^bkf(x)dx=k\int_a^bf(x)dx$
$\int_a^b[f(x)\pm g(x)]dx=\int_a^bf(x)dx\pm\int_a^bg(x)dx$
$[a,b]$ $c$ $[a,c]$ $[c,b]$ ，则：
$\int_{a}^{b} f (x) = \int_{a}^{c} f (x) d x + \int_{c}^{b} f (x) d x$
$c$ $a,b$ $a<b<c$ $f(x)$ $[a,c]$ 上可积，便可得：
$\int_{a}^{c} f (x) = \int_{a}^{b} f (x) d x + \int_{b}^{c} f (x) d x = \int_{a}^{b} f (x) d x - \int_{c}^{b} f (x) d x$
$f(x)和g(x)$ $[a,b]$ $f(x)\le g(x)$ $\int_a^bf(x)dx\le\int_a^bg(x)dx$ ，当区间下限大于上限时，相反。
$f(x)=1$ $\int_a^bdx=b-a$ ，等于积分长度
$f(x)$ $[a,b]$ $M$ $m$ $m(b-a)\le\int_a^bf(x)dx\le M(b-a)$
$4、5、1$ 可得：
$m \int_{a}^{b} d x = \int_{a}^{b} m d x \leq \int_{a}^{b} f (x) d x \leq \int_{a}^{b} M d x = M \int_{a}^{b} d x$
$f(x)$ $[a,b]$ $[a,b]$ $\xi$ ，使下面成立：
$\int_{a}^{b} f (x) d x = f (ξ) (b - a) (a \leq ξ \leq b)$
$(b-a)$ 去除性质6不等式各边，得：
$m \leq \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x \leq M$
我们把 $f(\xi)=\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)dx$ $f(x)$ $[a,b]$ 上的平均值。此定理多用于计算小题的平均值。
$f(x)$ $(a,b)$ 对称空间 $\int_a^bf(x)dx=0$ $\int_{-1}^1\frac{x}{1+x^2}=0$
$f(x)$ 对称空间 $(a,b)$ $\int_a^bf(x)=2\int_0^bf(x)dx$ $\int_{-1}^1f(x)dx=2\int_0^1f(x)dx$
$f(x)\ge0$ $[a,b](b>a)$ $\int_a^b f(x)dx>0$ 恒成立，反之也成立。
$\Big|\int_a^b f(x)dx\Big|\le\int_a^b\Big|f(x)\Big|dx$

3. 微积分基本定理

3.1 积分上限的函数及其导数

$f(x)$ $[a,b]$ 上连续，则积分上限的函数有以下情况：
$f'(x)=\frac{d}{dx}\int_a^xf(t)dt=f(x)(a\le x\le b)$
$f'(x)=(\int_a^{u(x)}f(t)dt)'=f[u(x)]·u'(x)$
$y=\int_{f(x)}^{g(x)}Q(t)dt$ $y'=Q[f(x)]·f'(x)-Q[g(x)]·g'(x)$

$\Large 例：求\underset{x\to 0}{lim}\frac{\int_0^{x^2}sintdt}{x^4}$

\begin{aligned} 解 ： \\ ∵ 极 限 为 \frac{0}{0} 型 ， 利 用 洛 必 达 得 ： \\ lim_{x \to 0} \frac{\int_{0}^{x^{2}} s i n t d t}{x^{4}} = lim_{x \to 0} \frac{s i n x^{2} \cdot 2 x}{4 x^{3}} = \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{s i n x^{2}}{x^{2}} = \frac{1}{2} \end{aligned}

3.2 牛顿-莱布尼兹公式

$f(x)$ $[a,b]$ $F(x)$ $f(x)$ 得一个原函数，则：

\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)

对公式内部求导可得：

\int_{a}^{b} f^{'} (x) d x = f (b) - f (a)

4. 定积分的换元积分法和分部积分法

4.1 换元积分法

$t$ $u$ $x关于t$ 的表达式将积分上下限分别带入，得到的新的积分上下限就是换元积分后的上下限。

$\Large 例：求\int_0^8\frac{1}{1+\sqrt[3]{x}}dx$

\begin{aligned} 解 ： \\ ∵ 令 \sqrt[3]{x} = t ， 则 x = t^{3} ， d x = 3 t^{2} d t \\ ∵ 当 x = 0 时 ， t = 0 ； 当 x = 8 时 ， t = 2 \\ ∴ \int_{0}^{8} \frac{1}{1 + \sqrt[3]{x}} d x = \int_{0}^{2} \frac{3 t^{2}}{1 + t} d t = 3 (\frac{t^{2}}{2} - t + l n (1 + t)) |_{0}^{2} = 3 l n 3 \end{aligned}

4.2 分部积分法

定积分的分部积分法与不定积分方法一样，只不过将去掉积分号的项计算以下积分上下限即可。

$\Large 例：求\int_0^1xe^xdx$

\begin{aligned} 解 ： \\ 原 式 & = \int_{0}^{1} x d e^{x} = x e^{x} |_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x} d x \\ = x e^{x} |_{0}^{1} - e^{x} |_{0}^{1} = e^{x} (x - 1) |_{0}^{1} = 1 \end{aligned}

5. 定积分的应用

5.1 平面图形的面积

$X$ $Y$ 型积分。

$X$ 型积分
$x$ $X$ 型
$x$ $(a,b)$ $y$ $y$ $-$ 下边的函数
$Y$ 型积分
$y$ $Y$ 型
$y$ $(a,b)$ $x$ $x$ $-$ 左边的函数
$\Large 例：求抛物线y^2=2x与直线y=x-4所围成图形的面积$
$\begin{aligned} 解： \\ 围成的图像如下，其图像可以看作 x = y + 4 ， x = \frac{1}{2} y^{2} ，以及直线 y = - 2, y = 4 围成的 Y 型积分 \\ ∴ & S = \int_{- 2}^{4} (y + 4 - \frac{y^{2}}{2}) d y = (\frac{y^{2}}{2} + 4 y - \frac{y^{3}}{6}) |_{- 2}^{4} = 18 \end{aligned}$
积分面积图像：

5.2 克服重力所作的功

克服重力所作的功：

公式为：

W = \int_{0}^{R} γ π g x (R^{2} - x^{2}) d x = γ g \frac{π R^{4}}{4}

5.3 体积

$D$ 绕轴旋转所形成的体积。
分类：
$X$ $D$ $x$ $V_D=V_{XD，x}$
$Y$ $D$ $y$ $V_D=V_{YD，y}$
$V_D=V_{XD，y}$ $V_D=V_{YD，x}$

方法一：

$\pi$ $\pi$ ，被积函数分别平方)
如：
$V_D=V_{XD，x}=\pi\int_a^by_2^2(x)-y_1^2(x)dx$
$V_D=V_{YD，y}=\pi\int_a^bx_2^2(y)-x_1^2(y)dy$

方法二(柱壳法)：

$Y$ $X$ $x$ $y$ 轴)转的体积
$2\pi$ 多乘自变量。
如：
$V_D=V_{XD，y}=2\pi\int_0^1[(2-x)-x^3]xdx$
$V_D=V_{YD，x}=2\pi\int_0^1[(2-y)-y^3]ydy$

5.4 定积分横截面求体积

$A(x)$ 的积分就是体积

$\Large 例:空间一个几何体被垂直于x轴的平面所截得截面积为x^2+2x(1\le x\le3),求体积$

\begin{aligned} 解 ： \\ 几 何 体 的 横 截 面 已 知, 则 体 积 : \int_{1}^{3} x^{2} + 2 x d x = \frac{50}{3} \end{aligned}

6. 广义积分

主要分为两种：
$\int_1^{+\infty}\frac{1}{1+x}dx$
$\int_{-1}^2\frac{1}{x}dx(x\ne 0)$

6.1 积分区间为无限的广义积分

计算步骤：
将广义积分转化为定积分(找原函数)
求极限：不能存在则发散，存在则收敛。

$\Large 例：计算广义积分\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{1+x^2}dx$

\begin{aligned} 解 ： \\ 原 式 & = a r c t a n x |_{- \infty}^{+ \infty} = \frac{π}{2} - (- \frac{π}{2}) = π \end{aligned}

结论：
$\begin{matrix} \int_{a}^{+ \infty} \frac{1}{x^{p}} d x {\begin{matrix} p > 1 ，收敛 \\ p \leq 1 ，发散 \end{matrix} \end{matrix}$
推广：
$\begin{matrix} {\begin{matrix} ① \int_{a}^{+ \infty} \frac{P_{n} (x)}{Q_{m} (x)} & p = m - n \\ ② \int_{e}^{+ \infty} \frac{1}{x^{1} (l n x)^{p}} & 注：可以大于 e ， x 一定是 1 次 \end{matrix} \end{matrix}$

6.2 无界函数的广义积分

被积函数在区间内存在无定义的点。
分两种情况计算：
$\Longrightarrow$ 可以求出积分后极限直接算
$\Longrightarrow$ 拆分区间以无定义点为界分开计算积分

$\Large 例1：计算广义积分\int_0^1lnxdx$

\begin{aligned} 解 ： \\ 原 式 & = (x l n x - x) |_{0}^{1} = lim_{x \to 1} - 1 - lim_{x \to 0} (x l n x - x) = - 1 - 0 = - 1 \end{aligned}

$\Large 例2：计算广义积分\int_{-1}^1\frac{1}{x^2}dx$

\begin{aligned} 解 ： \\ 原 式 & = \int_{- 1}^{0} \frac{1}{x^{2}} d x + \int_{0}^{1} \frac{1}{x^{2}} d x = - \frac{1}{x} |_{- 1}^{0} - \frac{1}{x} |_{0}^{1} \\ 求 极 限 得 ： \\ = \infty - 1 - 1 + \infty = \infty \\ ∴ & 广 义 积 分 发 散 \end{aligned}

结论：
$\begin{matrix} \int_{0 (或 - 1)}^{1 (或 0)} \frac{1}{x^{q}} d x {\begin{matrix} q < 1 ，收敛 \\ q \geq 1 ，发散 \end{matrix} \end{matrix}$
推广：
$\begin{matrix} {\begin{matrix} ① \int_{a}^{b} \frac{1}{(x - a)^{q}} d x, q 同上 \\ ② \int_{a}^{b} \frac{1}{(x - b)^{q}} d x, q 同上 \end{matrix} \end{matrix}$

第七章. 常微分方程

1. 微分方程的基本概念

定义：
$x,y,y'或y^{(n)}$ ；如果未知函数是多元函数，方程中出现未知函数的偏导数，则称为偏微分方程(不考)。即含有自变量，未知函数，及其导数或微分的方程。
$n$ 阶微分方程有如下形式：
$F (x, y, y^{'}, y^{″}, . . ., y^{(n)}) = 0$
$x$ $y$ $y^{(n)}$ 。
$y=\varphi(x)$ $y=\varphi(x)$ 为微分方程的解。
通解、特解和全解：
通解：如果方程的解中所含独立任意常数的个数等于这个方程的阶数，则为方程的通解
特解：方程不含任意常数的解称为特解。
$+$ 部分解(只能通过观察得到)

2. 一阶微分方程

一阶微分方程分为三类：一阶可分离变量微分方程、一阶线性微分方程、一阶齐次微分方程

2.1 一阶可分离变量微分方程

$x$ $y$ $\frac{dy}{dx}=f(x)·g(y)或\frac{dy}{dx}=\frac{f(x)}{g(x)}$
$f(x)dx=g(y)dy$ 的形式。
解法：
$f(x)dx=g(y)dy$ 的形式
两边积分得通解。
$C$ 的值。

$\Large 例：求y(x-1)dy-(y^2-1)dx=0满足初始条件y(0)=2的特解$

\begin{aligned} 解 ： \\ 分 离 变 量 变 为 ： \frac{y}{y^{2} - 1} d y = \frac{1}{x - 1} d x \\ 两 边 积 分 ： \int \frac{y}{y^{2} - 1} d y = \int \frac{1}{x - 1} d x \\ 得 ： \frac{1}{2} l n (y^{2} - 1) = l n (x - 1) + \frac{1}{2} l n C \\ 化 简 得 ： y^{2} - 1 = C (x - 1)^{2} ⟹ y^{2} = C (x - 1)^{2} + 1 ， 该 方 程 为 通 解 \\ 把 y (0) = 2 带 入 上 式 ， 得 C = 3 ， 固 所 求 方 程 的 特 解 为 ： y^{2} = 3 (x - 1)^{2} + 1 \end{aligned}

$ln\Delta$ 不用加绝对值符号。

2.2 一阶线性微分方程

$y$ $y$ $xy'+2y''+x^2y=0(\surd)、(y')^2+5yy''+xy=0(\times)$
一阶线性微分方程通解解法：
$y'+P(x)y=Q(x)$ 中的各项带入下面公式之一：
$\begin{matrix} 公式一： y = e^{- \int P (x) d x} [\int Q (x) e^{\int P (x) d x} d x + C] \\ 公式二： y = C e^{- \int P (x) d x} + e^{- \int P (x) d x} \int Q (x) e^{\int P (x) d x} d x \end{matrix}$
$C$ ，即可。

$\Large 例：求方程\frac{dy}{dx}-\frac{3}{y}x=-\frac{1}{2}y$

\begin{aligned} 解 ： \\ ∵ 将 方 程 x 视 为 未 知 数 ， y 视 为 自 变 量 ， 方 程 可 化 为 ： \\ \frac{d x}{d y} - \frac{3}{y} x = - \frac{1}{2} y ⟹ x^{'} - \frac{3}{y} x = - \frac{1}{2} y \\ 这 是 一 节 非 齐 次 线 性 微 分 方 程 ， 由 通 解 公 式 得 ： \\ x = e^{\int \frac{3}{y} d y} \int (- \frac{1}{2} y e^{- \int \frac{3}{y} d y} d y + C) \\ = y^{3} (- \int \frac{y}{2} \cdot \frac{1}{y^{3}} d y + C) = y^{3} \cdot (\frac{1}{2 y} + C) = \frac{1}{2} y^{2} + C y^{3} \\ 所 以 所 求 方 程 通 解 为 ： x = \frac{1}{2} y^{2} + C y^{3} \end{aligned}

2.3 一阶齐次微分方程

$y'$ 分式 $x$ $\frac{y}{x}$ $y'=f(\frac{y}{x})$
解法：通过换元的方法化为可分离变量微分方程：
$y'=f(\frac{y}{x})$
$u=\frac{y}{x}$ $y=ux$ $y'=u'x+u$
$y=ux和y'=u'x+u$ $y'=f(\frac{y}{x})$ 中即可化为可分离变量微分方程或线性微分方程。
$u$ $\frac{y}{x}$

$\Large 例：求方程(x^2+y^2)dy-xydx=0通解$

\begin{aligned} 解 ： \\ 分 析 ： & 方 程 可 化 为 ： (x^{2} + y^{2}) d y = x y d x \overset{两 边 同 除 d x}{\Rightarrow} (x^{2} + y^{2}) y^{'} = x y ⟹ y^{'} = \frac{x y}{x^{2} + y^{2}} \\ 方 程 右 边 除 x 的 最 高 次 项 得 ： y^{'} = \frac{\frac{y}{x}}{1 + (\frac{y}{x})^{2}} ⟹ (x^{2} + y^{2}) d y - x y d x = 0 为 一 阶 线 性 齐 次 微 分 方 程 \\ 1. & 将 方 程 化 为 标 准 形 式 ： y^{'} = \frac{\frac{y}{x}}{1 + (\frac{y}{x})^{2}} \\ 2. & 换 元 ： 令 u = \frac{y}{x} ， 则 y = u x, y^{'} = u^{'} x + u \\ 把 u = \frac{y}{x} 、 y = u x 、 y^{'} = u^{'} x + u 带 入 标 准 式 得 ： u^{'} x + u = \frac{u}{1 + u^{2}} (可 分 离 变 量 微 分 方 程) \\ 按 照 可 分 离 变 量 方 法 将 方 程 求 解 ： u^{'} x + u = \frac{u}{1 + u^{2}} ⟹ \frac{d u}{d x} = \frac{\frac{u}{1 + u^{2}} - u}{x} ⟹ \\ \frac{1 + u^{2}}{- u^{3}} d u = \frac{1}{x} d x . \overset{两 边 积 分}{\Rightarrow} \int \frac{1 + u^{2}}{u^{3}} d u = - \int \frac{1}{x} d x ⟹ - \frac{1}{2 u^{2}} + l n u x = C \\ \overset{两 边 e 抬 高 化 简 得}{\Rightarrow} e^{- \frac{1}{2 u^{2}}} \cdot u x = c \\ 3. & 还 原 ： 将 u 替 换 为 \frac{y}{x} ： e^{- \frac{x^{2}}{2 y^{2}}} \cdot y = C \end{aligned}

3. 可降阶的高阶微分方程

$x$ $y$ $y'$ $y^{(n)}(n\ge2)$
解法：将可降阶的高阶微分方程降为一阶微分方程。

$y和y'$ 成分方程

$y^{(n)}=f(x)$ 类型的方程。
$n$ $n$ 为阶数)。
$n$ $n$ $C$ $C_1,C_2...C_n$ 代替

$\Large 例：求方程y'''=xe^x通解$

详细步骤：

$y$ 成分方程

$y''=f(x,y')$ 类型的方程
解法：
$\begin{matrix} 令 y^{'} (x) = p (x) 则 y^{″} (x) = p^{'} (x) ，把 y^{'} 与 y^{″} 带入到可降阶微分方程： y^{″} = f (x, y^{'}) 中 \\ 即 p^{'} = f (x, p) ，此时就是一个一阶微分方程 \end{matrix}$

$\Large 例：求微分方程x^2y''-(y')^2=0满足过点(1,0)且在该点与直线y=x-1相切的积分曲线$

\begin{aligned} 解 ： \\ 令 y^{'} = p, 则 y^{″} = p^{'} ， 方 程 变 为 ： x^{2} y^{″} - (y^{'})^{2} = 0 \\ 分 离 变 量 后 可 得 ： \frac{1}{p^{2}} d p = \frac{1}{x^{2}} d x \\ 两 边 积 分 得 ： \frac{1}{p} = \frac{1}{x} + C_{1} ， 即 ： \frac{1}{y^{'}} = \frac{1}{x} + C_{1} \\ ∵ & 微 分 方 程 与 直 线 y = x - 1 在 点 (1, 0) 相 切, 则 他 们 得 斜 率 相 等 。 \\ ∴ & y^{'} |_{x = 1} = 1 代 入 \frac{1}{y^{'}} = \frac{1}{x} + C_{1} 得 C = 0 \\ ∴ & y^{'} = x \overset{两 边 积 分 得}{\Rightarrow} y = \frac{1}{2} x^{2} + C \\ 将 初 始 条 件 y |_{x = 1} = 0 代 入 方 程 得 ： y = \frac{1}{2} (x^{2} - 1) \end{aligned}

$x$ 成分方程

$y''=f(y,y')$ 的方程
解法：
$y'(x)=p(y)$ $y''(x)=\frac{dy'}{dx}=\frac{dp}{dx}=\frac{dp}{dy}·\frac{dy}{dx}=\frac{dp}{dy}·p$
$y'=p和y''=\frac{dp}{dy}·y'$ $y''=f(y,y')$ $\frac{dp}{dy}·y'=f(y,p)$ ，此时是一阶微分方程。

$\Large 例：求微分方程y''-e^{2y}·y'=0,y\big|_{x=0}=0,y'\big|_{x=0}=\frac{1}{2}$

解题步骤：

4. 二阶常系数线性微分方程解法

结构：
$\begin{matrix} y^{″} + p y^{'} + q y = f (x) 为非齐次方程 \\ y^{″} + p y^{'} + q y = 0 为齐次方程 \end{matrix}$
$y_1(x)和y_2(x)$ 是否线性：
$\frac{y_1(x)}{y_2(x)}=k$
$\frac{y_1(x)}{y_2(x)}\ne k$
$y_1,y_2$ $y=C_1y_1+C_2y_2(C_1,C_2为任意常数)$ $y=C_1y_1+C_2y_2(C_1,C_2为任意常数)$ 是齐次线性方程的通解， $y_1,y_2$ 必须线性无关。
定理二(线性非齐次方程的叠加性)：设二阶常系数非齐次方程的右端是几个函数之和，如：
$y^{″} + p y^{'} + q y = f_{1} (x) + f_{2} (x)$
$y_1^*(x)与y_2^*(x)$ 分别是：
$y^{″} + p y^{'} + q y = f_{1} (x) 与 y^{″} + p y^{'} + q y = f_{2} (x)$
$y^*(x)=y_1^*(x)+y_2^*(x)$ $y''+py'+qy=f_1(x)+f_2(x)$ 的特解。

4.1 二阶常系数齐次线性微分方程的解法

$y''+py'+qy=0$ 方程为二阶常系数齐次线性微分方程。
解法：
$r^2+pr+q=0$ $\Delta(b^2-4ac)$
$\Delta$ 取值，判断有几个特征根，再选取不同的方程代入：
$\begin{matrix} {\begin{matrix} 若 Δ > 0, y = C_{1} e^{r_{1} x} + C_{2} e^{r_{2} x} (r 为方程特征根) \\ 若 Δ = 0, y = (C_{1} + C_{2} x) e^{r_{1} x} (r 为方程特征根) \end{matrix} \end{matrix}$
$\Delta<0$ 时，没有特征根，我们可以根据欧拉公式¹⁰得
$y = e^{a x} (C_{1} c o s β x + C_{2} s i n x β x)$
$i^2=-1$ $\Delta$ $r_{1,2}=a\pm\beta i$
$\frac{e^{r_{1}x}}{e^{r_2x}}=e^{r_1-r_2}\ne常数$ ，则线性无关。

4.2 二阶常系数非齐次线性微分方程的解法

$f(x)=P_m(x)e^{\lambda x}$ $f(x)=e^{\lambda x}(Acos\omega x+Bsin\omega x)$
$通解=y^*(非齐次方程特解)+Y(齐次方程通解)$

$f(x)=P_m(x)e^{\lambda x}$ 解法
$P_m(x)$ $m$ 次多项式，且每一项都为幂函数。
特解公式：
$y^{*} = x^{k} Q_{m} (x) e^{λ x}$
$e^{\lambda x}$ $Q_m(x)$ $x^k$ $k$ $\lambda$ 与齐次方程跟来判断：
$\begin{matrix} {\begin{matrix} λ 为齐次方程的单根， k = 1 \\ λ 为齐次方程的重根， k = 2 \\ λ 不为齐次方程跟， k = 0 \end{matrix} \end{matrix}$
$\lambda$ $Q''(x)=P_m(x)$ $Q(x)$ $x^kQ_m(x)$
解题步骤：
1. $y^*=x^kQ_m(x)e^{\lambda x}$ 形式。
2. $\lambda$ $k$ 的值
3. $y^*$ 求导代入原方程左端
4. $y(x)\equiv g(x)$ ，得方程两端同次项系数恒等，求出特解系数。
$\Large 例：求微分方程y''-6y'+9y=(x+1)e^{3x}的通解$
$\begin{aligned} 解： \\ 所给方程得齐次方程为： y^{″} - 6 y^{'} + 9 y = 0 \\ 它得特则方程为： r^{2} - 6 r + 9 = 0 ，得特征方程跟为： r_{1} = r_{2} = 3 \\ 从而对应齐次方程通解为： Y = (C_{1} + C_{2}) e^{3 x} \\ 由于所给方程 e^{3 x} 中 λ = 3 是特征方程单根，所以 k = 2 \\ ∴ & 可以设特解为： y^{*} = x^{2} (b_{0} x + b_{1}) e^{3 x}, 令一般项 Q (x) = x^{2} (b_{0} x + b_{1}) \\ 由于公式 Q^{″} (x) = P_{m} (x) 可得： 6 b_{0} x + 2 b_{1} = x + 1 \\ 解得： b_{0} = \frac{1}{6} ， b_{1} = \frac{1}{2} ⟹ y^{*} = x^{2} (\frac{1}{6} x + \frac{1}{2}) e^{3 x} \\ 通解： y = y^{*} + Y = (C_{1} + C_{2} x) e^{3 x} + \frac{x^{2}}{2} (\frac{1}{3} x + 1) e^{3 x} \end{aligned}$
$f(x)=e^{\lambda x}(Acos\omega x+Bsin\omega x)$ 解法
方程为：
$y^{″} + p y^{'} + q y = e^{λ x} (A c o s ω x + B s i n ω x)$
特解方程如下：
$y^{*} = x^{k} e^{λ x} (C c o s ω x + D s i n ω x)$
$k$ 的取值如下：
$\begin{matrix} {\begin{matrix} λ + ω i 为齐次方程的特征根， k = 1 \\ λ + ω i 不为齐次方程跟， k = 0 \end{matrix} \end{matrix}$
做题步骤：
1. $y^*$ 形式。
2. 求出方程左端齐次方程通解
3. $k$ $y^*$
4. $C、D$ 的值
$\Large 例：求微分方程y''-4y'+8y=sinx的特解$
$\begin{aligned} 解： \\ 方程对应的特征方程为： r^{2} - 2 r + 8 = 0 ，特征跟为： r_{1, 2} = 2 \pm 2 i \\ 由方程右端可得 λ + ω i = \pm i 不是特征方程的特征根 \\ 所以设 y^{*} = C_{1} s i n x + C_{2} c o s x, 则 (y^{*})^{'} = C_{1} c o s x - C_{2} s i n x \\ (y^{*})^{″} = - C_{1} s i n x - C_{2} c o s x ，代入原方程得： \\ 7 C_{1} s i n x + 7 C_{2} c o s x - 4 C_{1} c o s x + 4 C_{2} s i n x = s i n x \\ 由此可得： 7 C_{1} + 4 C_{2} = 1 ， 7 C_{2} - 4 C_{1} = 0 \\ 从而的： C_{1} = \frac{7}{65} ， C_{2} = \frac{4}{65} \\ y^{*} = \frac{7}{65} s i n x + \frac{4}{65} c o s x \end{aligned}$

1 在其定义域内是连续可导的 ↩

2 函数在

x

$x$ 轴上的映射 ↩

3 函数在

y

$y$ 轴上的映射 ↩

4 有多个项且每一项为幂函数 ↩

5 对分子分母分别求导，每次求导后都带入趋近值，若趋近值带入后，几项有意义，但仍有其他项无意义，则再次求导。 ↩ ↩

6 无穷小量的倒数是无穷大量，无穷大量的倒数是无穷小量。 ↩

7 该内容为补充内容，考点较少。 ↩

8 在图像上的尖点处取得 ↩

9 光滑的图像上的顶点 ↩

e^{i θ} = c o s θ + i s i n θ

$e^{i\theta}=cos\theta+isin\theta$ ↩