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一. 一阶微分方程

定义：含有自变量，未知函数，及其导数或微分的方程。

考点：我们只研究未知函数是一元函数的微分方程，称其为常微分方程。即有：$x,y,y^{\prime }\text{或}{y}^{(n)}$$x,y,y'或y^{(n)}$

1. 微分方程分类

• 线性¹微分方程：$y\text{和}{y}^{(n)}\text{或}d{y}^{(n)}$$y和y^{(n)}或dy^{(n)}$只能进行线性运算。微分方程结果为函数，其中$x$$x$可以看作常数运算。

  如：$y^{″}+cosx·y^{\prime }=x^5$$y''+cosx·y'=x^5$为线性微分方程，其中的$cosx$$cosx$可以看作是常数，而$y^{″}+cosy·y^{\prime }=x^5$$y''+cosy·y'=x^5$不为线性微分方程，$cosy$$cosy$为复合运算。

• 可分离变量一阶微分方程：右边为纯$x$$x$函数与纯$y$$y$的函数相乘或者相除的形式。如：$\frac{dy}{dx}=f(x)·g(y)\text{或}\frac{dy}{dx}=\frac{f(x)}{g(x)}$$\frac{dy}{dx}=f(x)·g(y)或\frac{dy}{dx}=\frac{f(x)}{g(x)}$

• 一阶齐次微分方程：把$y^{\prime }$$y'$放左边，右边是个分式，分式的分子分母除$x$$x$的最高次项，可化为关于$\frac{y}{x}$$\frac{y}{x}$整体的函数，即$y^{\prime }=f(\frac{y}{x})$$y'=f(\frac{y}{x})$

• 可将解微分方程：

  • 不含$y\text{和}{y}^{\prime }$$y和y'$成分方程：$y^{‴}=x{e}^x$$y'''=xe^x$
  • 不含$y$$y$成分方程：$y^{″}=f(x,y^{\prime })$$y''=f(x,y')$
  • 不含$x$$x$成分方程：$y^{″}=f(x,y^{\prime })$$y''=f(x,y')$的方程

2. 一阶微分方程解题思路

1. 判断方程是否是线性

   • $y,y^{\prime },dy\text{之}\text{间}\text{只}\text{能}\text{进}\text{行}\text{加}\text{减}\text{数}\text{乘}⟹\text{线}\text{性}\text{方}\text{程}$$y,y',dy之间只能进行加减数乘\Longrightarrow线性方程$
   • 再化简为$y^{\prime }+p(x)y=Q(x)$$y'+p(x)y=Q(x)$的形式

2. 再判断可分离或齐次

   • 先将$y^{\prime }$$y'$放左边，若右边是纯$x$$x$纯$y$$y$函数相乘或者相除的形式$⟹$$\Longrightarrow$可分离
   • 若不是可分离，对右边分式，分子分母同除$x$$x$的最高次幂，看是否可化为关于$\frac{y}{x}$$\frac{y}{x}$整体的函数，则为齐次方程。

$\text{例}:(x^2+y^2)dy-xydy=0$$\Large 例:(x^2+y^2)dy-xydy=0$

3. 不是任何一种类型的微分方程

做法：把方程看作关于$x$$x$的函数后重新判断是否是可分离、线性、齐次。

$\text{例}\text{子}:\text{求}(y^2-6x)y^{\prime }+2y=0\text{的}\text{通}\text{解}$$\Large 例子:求(y^2-6x)y'+2y=0的通解$

4. 可降解的微分方程

• 不含$y\text{和}{y}^{\prime }$$y和y'$成分方程。解法：直接对方程两边进行$n$$n$次不定积分($n$$n$为阶数)。

• 不含$y$$y$成分方程。解法：

  $$\begin{array}{c}\text{令}{y}^{\prime }(x)=p(x)\text{则}{y}^{″}(x)=p^{\prime }(x)，\text{把}{y}^{\prime }\text{与}{y}^{″}\text{带}\text{入}\text{到}\text{可}\text{降}\text{阶}\text{微}\text{分}\text{方}\text{程}：y^{″}=f(x,y^{\prime })\text{中}\\ \text{即}{p}^{\prime }=f(x,p)，\text{此}\text{时}\text{就}\text{是}\text{一}\text{个}\text{一}\text{阶}\text{微}\text{分}\text{方}\text{程}\end{array}$$

  $\text{例}:x{y}^{″}+y^{\prime }=4x$$\Large 例:xy''+y'=4x$

  $$\begin{array}{r}\begin{array}{c}\\ \text{解}：\\ & \text{令}{y}^{\prime }(x)=p(x)⟹y^{″}(x)=p^{\prime }(x),\text{代}\text{入}\text{原}\text{式}:\\ \\ & x{p}^{\prime }+p=4x,\text{此}\text{时}\text{是}\text{关}\text{于}p\text{和}x\text{的}\text{一}\text{阶}\text{线}\text{性}\text{微}\text{分}\text{方}\text{程}\\ \\ & p^{\prime }+\frac{1}{x}p=4,\text{代}\text{入}\text{公}\text{式}:\\ \\ & p=e^{-\int \frac{1}{x}dx}[\int 4·e^{\int \frac{1}{x}dx}dx+c]\\ \\ & p=\frac{1}{x}[2x^2+c]=2x+\frac{c}{x}\\ \\ & \text{还}\text{原}:y^{\prime }=2x+\frac{c}{x}\stackrel{\text{两}\text{边}\text{积}\text{分}}{\to }y=x^2+c_{1}lnx+c_2\end{array}\end{array}$$

• 不含$x$$x$成分方程。解法：

  $$\text{令}{y}^{\prime }(x)=p(y)\text{则}{y}^{″}(x)=\frac{d{y}^{\prime }}{dx}=\frac{dp}{dx}=\frac{dp}{dy}·\frac{dy}{dx}=\frac{dp}{dy}·y^{\prime }=p^{\prime }(y)·p$$

  $\text{例}\text{子}:y·y^{″}-(y^{\prime }{)}^2=0$$\Large 例子:y·y''-(y')^2=0$

  $$\begin{array}{r}\begin{array}{c}\\ \text{解}：\\ & \text{令}{y}^{\prime }(x)=p(y)⟹y^{″}(x)=\frac{d{y}^{\prime }}{dx}=\frac{dp}{dx}=\frac{dp}{dy}·\frac{dy}{dx}=p^{\prime }(y)·p(y)\\ \\ & \text{此}\text{时}\text{将}{y}^{\prime }=p,y^{″}=p^{\prime }·p\text{代}\text{入}\text{原}\text{式}:\\ \\ & y·p^{\prime }·p-p^2=0\stackrel{\text{两}\text{边}\text{同}\text{除}p}{\to }y{p}^{\prime }-p=0,\text{代}\text{入}\text{线}\text{性}\text{微}\text{分}\text{方}\text{程}\text{公}\text{式}:\\ \\ & p=e^{\int \frac{1}{y}dy}[\int 0·e^{-\int \frac{1}{y}dy}dy+c]\\ \\ & p=y·c\stackrel{\text{还}\text{原}}{\to }{y}^{\prime }=cy\stackrel{\text{可}\text{分}\text{离}}{\to }\frac{dy}{dx}=cy\\ \\ & \text{可}\text{得}:\frac{1}{y}dy=cdx\stackrel{\text{两}\text{边}\text{积}\text{分}}{\to }\int \frac{1}{y}dy=c\int dx\\ \\ & lny=cx+c_1\stackrel{\text{两}\text{边}e\text{抬}\text{高}}{\to }y=e^{cx}·e^{c_1}=c_1{e}^{cx}\end{array}\end{array}$$

二. 二阶常系数线性微分方程

可分为：二阶常系数线性齐次微分方程、二阶常系数线性非齐次微分方程

含义：$y^{″}+p{y}^{\prime }+qy=f(x)$$y''+py'+qy=f(x)$，其中$y,y^{\prime },y^{″}$$y,y',y''$的系数是常数。且都为线性运算。

• 若$f(x)=0$$f(x)=0$是齐次
• 若$f(x)\ne 0$$f(x)\ne0$是非齐次

1. 二阶常系数齐次微分方程

形如：$y^{″}+p{y}^{\prime }+qy=0$$y''+py'+qy=0$的方程称为二阶常系数齐次微分方程

$\text{例}:\text{求}\text{通}\text{解}\text{为}y=C_1{e}^{2x}+C_2{e}^{3x}\text{的}\text{二}\text{阶}\text{常}\text{系}\text{数}\text{齐}\text{次}\text{微}\text{分}\text{方}\text{程}$$\Large 例:求通解为y=C_1e^{2x}+C_2e^{3x}的二阶常系数齐次微分方程$

2. 二阶常系数非齐次微分方程

2.1 二阶常系数非齐次微分方程的特解

形如：$y^{″}+p{y}^{\prime }+qy=f(x),f(x)\ne 0$$y''+py'+qy=f(x),f(x)\ne0$的方程称为二阶常系数非齐次微分方程。其中$f(x)$$f(x)$为非齐次函数

非齐次函数有形式：$f(x)=p_n(x)e^{\lambda x}$$f(x)=p_n(x)e^{\lambda x}$，此形式为：$\text{多}\text{项}\text{式}·\text{指}\text{数}\text{函}\text{数}$$多项式·指数函数$

此时特解：$y^{\ast }=x^k·Q_n(x)·e^{\lambda x}$$y^*=x^k·Q_n(x)·e^{\lambda x}$。其中$e^{\lambda x}$$e^{\lambda x}$为照抄项，$Q_n(x)$$Q_n(x)$为$p_n(x)$$p_n(x)$的一般项。

$\text{例}:\text{求}\text{方}\text{程}{y}^{″}+4y^{\prime }+3y=x-2\text{的}\text{特}\text{解}\text{和}\text{通}\text{解}$$\Large 例:求方程y''+4y'+3y=x-2的特解和通解$

2.2 二阶常系数非齐次微分方程的通解

二阶常系数非齐次微分方程的通解$=\text{二}\text{阶}\text{常}\text{系}\text{数}\text{齐}\text{次}\text{微}\text{分}\text{方}\text{程}\text{通}\text{解}+\text{二}\text{阶}\text{常}\text{系}\text{数}\text{非}\text{齐}\text{次}\text{微}\text{分}\text{方}\text{程}\text{的}\text{特}\text{解}$$=二阶常系数齐次微分方程通解+二阶常系数非齐次微分方程的特解$

即：$y=Y+y^{\ast }$$y=Y+y^*$

$\text{例}:\text{求}\text{方}\text{程}{y}^{″}-5y^{\prime }+6y=x{e}^{2x}\text{的}\text{通}\text{解}$$\Large 例:求方程y''-5y'+6y=xe^{2x}的通解$

2.3 二阶常系数非齐次微分方程2

形如：$f(x)=e^{\lambda x}(Acos\omega x+Bsin\omega x)$$f(x)=e^{\lambda x}(Acos\omega x+Bsin\omega x)$方程称为二阶非齐次方程第二类型。

构成：指数函数、三角函数、多项式

特解：$y^{\ast }=x^k[M_l(x)cos\omega +N_l(x)sin\omega x]e^{\lambda x}$$y^*=x^k\Big[M_l(x)cos\omega+N_l(x)sin\omega x\Big]e^{\lambda x}$

其中：$cos\omega 、sin\omega \text{和}{e}^{\lambda x}$$cos\omega、sin\omega和e^{\lambda x}$为照抄项。$M_l\text{和}{N}_l$$M_l和N_l$为一般项，一般项为$M_l\text{和}{N}_l$$M_l和N_l$的最高次幂的通式。即如果最高次幂为2次，两个一般项为$A{x}^2+Bx+c\text{和}D{x}^2+Ex+F$$Ax^2+Bx+c和Dx^2+Ex+F$

但考试只考：$y^{\ast }=(Acos\omega x+Bsin\omega x)e^{\lambda x}$$y^*=(Acos\omega x+Bsin\omega x)e^{\lambda x}$

其中$k$$k$的取值如下：

$\text{例}:\text{求}{y}^{″}+y=xcos2x{e}^{-x}\text{的}\text{通}\text{解}$$\Large 例:求y''+y=xcos2xe^{-x}的通解$

三. 二阶常系数微分方程补充

线性微分方程解得结构定理：

方程1(齐次方程)：$y^{″}+p(x)y^{\prime }+q(x)y=0$$y''+p(x)y'+q(x)y=0$

方程2(非齐次方程)：$y^{″}+p(x)y^{\prime }+q(x)y=f_1(x)\ne 0$$y''+p(x)y'+q(x)y=f_1(x)\ne0$

方程3(非齐次方程)：$y^{″}+p(x)y^{\prime }+q(x)y=f_2(x)\ne 0$$y''+p(x)y'+q(x)y=f_2(x)\ne0$

定理一：齐次方程两个解($y_1\text{和}{y}_2$$y_1和y_2$)，两个解线性组合²，即$(c_1{y}_1+c_2{y}_2)$$(c_1y_1+c_2y_2)$，此时仍是线性方程得解。 特别的：齐次方程两个线性无关³的解$(y_1\text{和}{y}_2)$$(y_1和y_2)$进行线性组合$(c_1{y}_1+c_2{y}_2)$$(c_1y_1+c_2y_2)$，则是齐次方程的通解。

定理二(叠加定理)：方程2和3特解为$y_1^{\ast }\text{和}{y}_2^{\ast }$$y_1^*和y^*_2$，则方程4：$y^{″}+p(x)y^{\prime }+q(x)y=f_1(x)+f_2(x)$$y''+p(x)y'+q(x)y=f_1(x)+f_2(x)$的特解为$y_1^{\ast }+y_2^{\ast }$$y^*_1+y^*_2$

$\text{例}:\text{求}{y}^{″}+y^{\prime }=x+e^x\text{的}\text{特}\text{解}$$\Large 例:求y''+y'=x+e^x的特解$