前言

本文根据《高等数学》第三版，及网上资料整理所得。

本文将介绍常考应用题类型方法及应用，本文较长，可能会分几篇。内容主要为：一元函数应用题、二元函数应用题、可分离变量微分方程应用题。读者可以根据自己薄弱项自行浏览观看。

可分离变量微分方程应用题

分为两部分考察：

1. 几何应用

   题中求出切线方程，得到区域$D$范围求函数面积$(定积分几何应用)$。

2. 物理应用

   变化率问题

   牛顿第二定律

1. 关于几何应用

涉及到：切线、法线、截距等，通过关键句构建微分方程的结构求解。需要了解切线方程和法线方程。

两点式求切线：已知切线过点$(x,y)和(x_0,y_0)$则

截距方程：

已知曲线$y=f(x)$在点$(x_0,y_0)$处切线方程如下：

分别令$x,y$等于$0$，得到切线在$x,y$轴上截距为：

$\Large 例题:$过点$P(1,0)$做抛物线$y=\sqrt{x-2}$的切线$L,L$与上述抛物线及$x$轴所围成一平面图形，求此图形绕$x$轴旋转一周所成旋转体体积

计算旋转体体积2：

画函数图形时可以使用平移变换：左加右减，上加下减。$f(x-2)$相当于$f(x)$在图形上向右平移两个单位，$f(x)-2$相当于$f(x)$在图形上向下平移两个单位

2. 变化率问题

主要涉及：变化率、增长率、减少率、繁殖率等，且$t$时刻某量$y$对$t$的变化率与$t$时刻某量$\Delta$成正比$/$反比。一定要理解这句话。

如：$y$对$t$的变化率与$t$时刻某量$\Delta$成正比，即$\frac{dy}{dt}=k\Delta$，还要分析$y$与$t$变化大小判断是否加负号。

注意：

1. 题中正比例关系为：$\frac{dy}{dx}=k\Delta$,$y$随$x$增大而增大。$\frac{dy}{dx}=-k\Delta$,$y$随$x$增大而减小。
2. 反比例关系：$\frac{dy}{dx}=\frac{k}{\Delta}$,$y$随$x$增大而增大。$\frac{dy}{dx}=-\frac{k}{\Delta}$,$y$随$x$增大而减小。

解题步骤：

• 设目标函数；(可分离变量型微分方程，也即题中变化率)$\frac{dy}{dx}$，其中$y$是因变量，$x$是自变量。
• 依题意列出偏导关系，并找出题目初始条件;
• 解方程即可

$\Large 例题1:$根据冷却定律知，物体在空气中的冷却速度与物体温度和空气温度之差成正比，一个装有100°C热水的水瓶，加上盖，放在20°C的环境温度中冷却， 在24小时后，测量温度为60°C，求水瓶中水温下降的函数表达式。

$\Large例题2：$在某池塘内养鱼，该池塘最多能养$1000$尾，在时刻$t$，鱼数$y$是时间$t$的函数，其变化率与鱼数$y$及$1000- y$之积成正比。已知在池塘内放养鱼$100$尾，3个月后池塘内有鱼250尾，求放养$t$月后池塘内鱼数的函数。

$\Large 例题3:$某文物与1972年8月发掘出土，经研究测算该文物出土时$C-14(放射性同位素碳十四)$标本存量为初始量$R_0$的$0.7761$倍。已知$C-14$的衰变速度与他的现存量成正比，且它的半衰期$(由初始量R_0衰变至\frac{R_0}{2}所需要时间)$为5740年。

$(1)$试求$C-14$的现存量与时间$t(年)$的函数关系(其中对数不必写出具体数值)。

$(2)$计算该文物至1972年8月大约经历了多少年，能否认为该文物为西汉时期(公元前202$\sim$公园8年)的作品并说明理由。(计算结果取整数；其中$\ln2\approx0.6931,\ln0\approx-0.2535$).

总结

应用题还是要具体问题具体分析，可分离变量微分方程应用题还是要找到变化率与某刻变化量比例关系，前者$=$比例关系倍的后者。特别是要体会那个与字前后变量关系。其本质也就是找到因变量$(变化率)$和自变量$(变化量)$之间的关系，与$y=f(x)$这样的一元函数变量关系实际上没有区别，只不过$y$变为了$\frac{dy}{dt}(t为y的自变量)$。

当然还要找到题中两个初始量求出比例常数$k$和分离变量后常数$C$。题中可能隐藏$0$时刻初始量，读者自行判别。