前言

本文根据《高等数学》第三版，及网上资料整理所得。

本文将介绍区间再现公式的解释、使用条件及运用。

一. 区间再现公式

使用条件：被积函数含有较复杂的三角函数时，区间通常为$0$到$\pi$内。其本质就是利用了函数的对称性，通过变量换元替换前后积分式的积分且区间不变。

1. 区间再现公式

通过对式子变形可以得到以下公式：

我们可以通过①变换积分，当通常情况下，变换成①式仍然很难算，所以我们还需要将其变为②式，这样可以解决部分复杂积分。

2. 证明过程

通过换元可以得到以上公式

$\Large 变换\int_{a}^{b}f(x)dx$

像上面这种由换元得到另一种形式,但积分区间不变，这种称为区间再现。

3. 几何意义

之前提到过区间再现是利用函数的对称性。我们通过之前所学知识可以得到$f(x)$和$f(a+b-x)$关于$\frac{a+b}{2}$轴对称。

简单来说，如果两个函数对应法则一致，并且两个函数变量相加为常数，那么这两个函数就具有对称性。对称轴为相加之后的常数$A$的一半，即$\frac{A}{2}$。如：$f(3-x)$与$f(5+x)$关于$x=4$轴对称。

特别的如果$f(x)=f(a+b-x)$那么此时我们可以得到曲线$f(x)$自身关于$\frac{a+b}{2}$对称。

几何意义：$\int_{2}^4f(x)dx$图像如下：

区间再现几何意义1：

而$\int_{2}^{4}f(4+2-x)dx$图像如下：

区间再现几何意义2：

我们由此可以得知两个图像关于$x=\frac{4+2}{2}=3$对称，由定积分几何意义可知两个积分在该区间内面积相等，所以$\int_{2}^4f(x)dx=\int_{2}^{4}f(4+2-x)dx$积分相等。顺便说一下，如果变形之前积分函数$f(x)$是增函数，那么变形之后函数$f(a+b-x)$就是减函数，反之亦然。注意一个现象，增函数$+$减函数可能导致积分变平$(面积抵消)$，这也就是区间再现可以简化积分本质。

二. 区间再现应用

通过区间再现公式我们可以解决式子中带三角函数的定积分，准确说是纯三角函数与常数组成的函数式。有时候也可以用于计算含有指数函数的积分。

1. 区间再现简单应用

$\Large 例1:求定积分\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\sin x+\cos x} d x$

以上是区间再现简单应用。再看一个稍微经典的例子。

$\Large 例2:求定积分\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin^2 x}{1+\sin x \cos x}dx$

这里有个思想是切割化弦。

2. 区间再现公式推广

由定积分的可加性可知：

我们对右边进行换元，令$x=a+b-t$可得：

结合①③得：

即：$\Large ⑤\int_{a}^{b} f(x)dx=\int_{a}^{\frac{a+b}{2}}\Big[f(x)+f(a+b-x)\Big]dx$

同样的，结合式①和式④可得

即：$\Large ⑥\int_{a}^{b} f(x)dx=\int_{\frac{a+b}{2}}^{b}\Big[f(x)+f(a+b-x)\Big]dx$

3. 推广应用

$\Large 例:证明\int_0^{\pi}xf(\sin x)dx=\pi\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(\cos x)dx$

三. 总结

关于区间再现公式总结如下：

结语

关于区间再现题目核心是通过区间变化，让两边可加从而达到"简化"积分的目的。方法十分灵活，需要具体问题具体分析换元的方法。