前言

本文根据《高等数学》第三版，及网上资料整理所得。

本文将介绍常考应用题类型方法及应用，本文较长，可能会分几篇。内容主要为：一元函数应用题、二元函数应用题、可分离变量微分方程应用题。读者可以根据自己薄弱项自行浏览观看。

一. 应用题分类

1. 一元函数最值问题
2. 二元函数条件最值
3. 二元函数无条件最值
4. 可分离变量微分方程的应用
5. 导数$/$几何应用问题

注：应用题涉及最值问题$(用材)$、经济问题$(利润、成本)$、导数应用、函数性态、几何问题$(面积、体积)$

二. 一元函数应用题

解题逻辑：

• 恰当设元，建立目标函数
• 求导，令导数为零，得出唯一可能的极值点(一般一个驻点)
• 根据实际问题说明所求目标函数在定义域内部有唯一最值存在，从而这个极值点就是最值点。( 由极值第二充分条件判定)

常用求面积和体积的公式：

例题：某工厂某产品一年共生产$a$吨，分若干批生产，设生产每批产品需要固定支出1000元，而每批生产直接消耗的费用(不包括固定支出)与每批产品数量的平方成正比，又知每批产品40吨时，直接消耗费用为800元，问每批产品生产多少吨时，才能使总费用最少?

例题：某公司有汽车100辆，当每月租金为3000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加50元，未租出的车将会增加一辆，租出的车辆每月需要维护费150元，未租出的每月需要维护费50元，当每辆车的租金为多少时，租赁公司的月收入收益最大？

三. 二元函数应用题

主要分为有条件极值和无条件极值，两者可以转换。

1. 无条件极值应用题

解题步骤：

• 设出变量，列出目标函数；
• 令偏导数方程组为零，得出唯一可能的极值点(驻点)
• 根据实际问题，由于驻点唯一，该极值点即为最值点(利用二阶导数$B^2- AC$结论判别)

例题：某产品的产量依赖于两种生产要素的投入量，当两种生产要素投入量一次为$x,y$时，产量为$z=20-x^2 +10x-2y^2 + 5y$
已知两种生产要素的单价依次为1和2，产品单价为5，求$x,y$为何值时，所获得的利润最大?

2. 有条件极值应用题

解题步骤：

• 构造辅助函数$l(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$
• 求驻点：令$l_x'=0,l'_y=0,l_{\lambda}'=0'\Longrightarrow驻点(x_0,y_0)$
• 由于驻点唯一，且由实际意义可知，该问题的极值$(最值)$一定存在，故驻点即为极值点$(最值点)$。

例题：窗的形状由半圆置于矩形上面形成，若窗框的所用材料长为$l$，试求半圆的半径 $x$及矩形的高$y$，使通过的光线最为充足。