前言

本文根据《高等数学》第三版，及网上资料整理所得。

本文将介绍夹逼定理概念、使用条件及运用。

1. 什么是夹逼定理

夹逼定理其定义如下：

设函数$g(x)\le f(x)\le h(x)$，如果在自变量的同一变化过程中$\lim g(x)=A,\lim h(x)=A，$则必有：

这是书上定理，通俗讲就是：函数$A\ge B$，函数$B\le C$，函数$A$的极限是常数$A$，函数$C$的极限也是$A$ ，那么函数$B$的极限就一定是$A$，这个就是夹逼定理。

2. 夹逼定理使用情况

上面介绍了夹逼定理的基本概念。那么在什么情况下才会需要用到夹逼定理：

夹逼准则适用于求解无法直接用极限运算法则，求极限的函数或数列极限。

下面的极限我们不能通过一般方法求出，需要用到夹逼定理：

以上极限仅代表部分题型不适用于所有问题。

3. 极限夹逼定理应用

由定义我们可以知道：夹逼定理的思维就是放大和缩小，即把一个复杂的数列放大或缩小成简单的。并且要放大和缩小极限都存在，且相等。以上四个是使用夹逼定理经典例子，我把它分为三类：①一类、②③是一类、④是一类。

3.1 第一类极限夹逼定理应用

我们先看最简单的第一类极限$④$。他的特点就是极限有$n$项相加，且都为分式。这类极限比较好缩放。

具体缩放法是我们可以根据分式性质来找到较大的$G(n)$和较小的$h(n)$。即我们对第一项和最后一项同时放大$n^\alpha$倍，此时较大项$G(n)$就是放大$n^\alpha$倍的第一项，较小项$h(n)$就是放大$n^\alpha$倍的最后一项。$\alpha$为分母同次幂，其作用是消除多余系数。

具体做法如下：

$\Large求\underset{n\to\infty}{\lim}(\frac{n}{n^2+\pi}+\frac{n}{n^2+2\pi}+...+\frac{n}{n^2+n\pi})极限$

再看一道比较有代表性的例子

$\Large 求\underset{n\to\infty}{\lim}(\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+...+\frac{1}{\sqrt{n^2+n}})$

总结：

1. 观察极限${a_n}$首项和尾项
2. 通过对首项和尾项放大$n^\alpha$倍，$\alpha$为分母同次幂。分别得到$G(n)$和$h(n)$
3. 分别对$G(n)$和$h(n)$求极限，相等即为${a_n}$的极限值。

3.2 第二类极限定理应用

对于$①$这种极限相除形式，我们可以不用夹逼定理而是通过函数趋势变化解决。变化如下：

当$x\to\infty$时，基本初等函数趋势变化为：$\ln^{\alpha}x\le x^{\beta}\le a^x\le x!\le x^x(其中\alpha>0,\beta>0,a>1)$

当$x\to 0$时，基本初等函数趋势变化为：$\ln^{\alpha}x\ge x^{\beta}\ge a^x\ge x!\ge x^x(其中\alpha>0,\beta>0,a>1)$

注意：对数函数变化趋势越来越慢，幂函数相对平稳，指数函数变化趋势越来越快。$0!=1$。

基本初等函数变化趋势：

通过函数趋势我们就可以解决这类问题

$\Large求\underset{n\to\infty}{\lim}\frac{10^n}{n!}极限$

总结：牢记函数变化趋势。

3.3 第三类极限夹逼定理应用

第三类极限$②③$是多项式相乘，这种极限不能通过技巧解决。我们需要先判断极限值，再用夹逼定理解决。

判断极限值方法还是通过极限变化趋势。

$\Large 例1:\underset{n\to\infty}{\lim}\sqrt[n]{1^n+2^n+3^n}$

$\Large 例2:\underset{n\to\infty}{\lim}\sqrt[n]{1^3+2^3+...+n^3}$

总结：

1. 大胆猜想极限值。
2. 小心谨慎求证。

结尾

以上仅仅是三类题型介绍，我们面对问题时还是要具体问题具体分析。如：$\underset{n\to\infty}{\lim}(\frac{1}{n^2+n+1}+\frac{2}{n^2+n+2}+...+\frac{n}{n^2+n+n})$极限。显然此时在两边同时乘$n或n^2$，不能消掉通项。关于这类问题，以后再说。