前言

本文根据《高等数学》第三版，及网上资料整理所得。

本文将介绍无穷级数敛散性其他判别法，以及无穷级数的求和。如果时间充足，我会再整理级数的展开，及和函数变为幂级数方法技巧。读者可以根据自己薄弱项来合理学习。

对数判别法(正项级数)

我们要介绍一种关于对数正项级数的判别法，可以称之为对数判别法。先上结论：

其证明我们可以使用极限的保号性质来证明：$若\underset{x\to x_0}{\lim}f(x)= A> 0(或f(x)< 0)则在x_0附近函数f(x) > 0(或f(x)<0)$

我们可以推广理解为当$x\to\infty$时，若$\underset{x\to\infty}{\lim}a_n=A$，则$a_n$可以大于任何比$A$小的常数。证明如下：

1. 对数判别法使用条件

形式：形如$a_n=\frac{1}{[f(n)]^{g(n)}},(幂指函数)$

其目的使用对数运算法则$\ln a^b=b\ln a$，将$g(n)$提前。

2. 对数判别法应用

$\Large 例1:\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^{\sqrt{n}}}$

$\Large 例2:\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^{\ln n}}$

交错级数判别法

以下存在性质可以推广到其他概念$(极限存在,导数存在,积分存在,级数收敛...)$

存在$+$存在$=$存在

存在$+$不存在$=$不存在

不能存在$+$不存在$=$不确定

我们先记住以下推论：

1. 若$a_n\sim b_n$，且$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$收敛，但$\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n$不一定收敛。如$a_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}(收敛),b_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}+\frac{1}{n}(发散)$

   同理，若$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$收敛，则$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\Big[a_n+o(a_n)\Big]$也不一定收敛。$(\Big[a_n+o(a_n)\Big]=b_n)$

2. 若$a_n\sim b_n$，且$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$绝对收敛，则$\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n$为绝对收敛.

   同理，若$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$绝对收敛，则$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\Big[a_n+o(a_n)\Big]$也绝对收敛。

还可以根据级数定义推出以下结论：

1. 收敛$+$收敛$=$收敛
2. 收敛$+$发散$=$发散
3. 发散$+$发散$=$不确定
4. 绝收$+$绝收$=$绝收
5. 条收$+$绝收$=$条件收敛
6. 条收$+$条收$=$$条收/绝收$

泰勒展开在级数中判别中的应用

之前泰勒公式在极限中的应用我们可以发现，泰勒公式最难处在于展开到几项问题。而由之前推论我们可以知道当级数绝对收敛，则与其等价级数也绝对收敛。所以泰勒展开到级数绝对收敛为止。

$\Large 例1:\sum\limits_{n=2}^{\infty}=\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}+(-1)^n}$

$\Large 例2:\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^n}{\sqrt{n+(-1)^n}}$

$\Large 例3:\sum\limits_{n=2}^{\infty}\ln\Big[1+\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\Big]$

求幂级数和函数

求和函数步骤方法我们在数学知识点梳理下-级数求和函数中总结过，读者自行观看(可能会有加载延迟)。

这里再展示几个级数求和公式，级数求和用到的全是化归思想。

$\Large 例1:求幂级数\sum\limits_{n=0}^{\infty}(n+1)(n+3)x^n的和函数(不考虑收敛域)$

根据上面麦克劳林公式结合题中级数，合理变形(化归)再套用公式即可。